数学卷·2018届湖南省长沙市望城一中高二上学期第一次调研数学试卷（文科）（解析版） 18页

‎2016-2017学年湖南省长沙市望城一中高二（上）第一次调研数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题（本题共12小题，每小题5分）‎ ‎1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0‎ ‎2．若命题“p且q”为假，且p为真，则（　　）‎ A．“p或q”为假 B．q为假 C．q为真 D．不能判断q的真假 ‎3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（　　）‎ A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1‎ C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1‎ ‎4．双曲线﹣=1的焦距是（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．2‎ ‎5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x ‎6．等比数列{an}中，a2=4，，则a3a6+a4a5的值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎7．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎9．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1‎ ‎10．“x＞0”是“x≠0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．若直线y=kx+2与椭圆+=1相切，则斜率k的值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．函数的最小正周期是　　．‎ ‎14．已知椭圆的方程为x2+4y2=16，若P是椭圆上一点，且|PF1|=7，则|PF2|=　　．‎ ‎15．若点P是椭圆+=1上的一点，F1，F2是焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　．‎ ‎16．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎17．（10分）已知双曲线焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为，求双曲线的标准方程．‎ ‎18．（12分）在等差数列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}．‎ ‎（1）当a=﹣时，求A∩B；‎ ‎（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若椭圆离心率为，焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）求线段AB的长．‎ ‎22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省长沙市望城一中高二（上）第一次调研数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本题共12小题，每小题5分）‎ ‎1．命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若ab=0，则a=0 B．若a≠0，则ab≠0 C．若ab=0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．‎ ‎【解答】解：因为原命题是“a=0，则ab=0”，‎ 所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考察命题中的逆否关系，可以从字面理解“逆否”：先逆后否．‎ ‎　‎ ‎2．若命题“p且q”为假，且p为真，则（　　）‎ A．“p或q”为假 B．q为假 C．q为真 D．不能判断q的真假 ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据复合命题真假判断的真值表，判断出命题“p或q”和命题q的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：若命题“p且q”为假，‎ 则命题p，q中存在假命题，‎ 若p为真，则q为假，‎ 但“p或q”为真，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，主要考查逻辑联结词，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（　　）‎ A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1‎ C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1‎ ‎【考点】全称命题；命题的否定．‎ ‎【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解 ‎【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，‎ ‎∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1‎ 故选A ‎【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题 ‎　‎ ‎4．双曲线﹣=1的焦距是（　　）‎ A．8 B．4 C．2 D．2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线﹣=1，求出c，即可求出双曲线﹣=1的焦距．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1中a=2，b=2，‎ ‎∴c=4，‎ ‎∴焦距是2c=8．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c的关系，并灵活运用．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线﹣y2=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±2x B．y=±4x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】利用双曲线的简单性质直接求解．‎ ‎【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，‎ 整理，得y=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}中，a2=4，，则a3a6+a4a5的值是（　　）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】由等比数列的定义和性质可得 a3a6=a4a5=a2•a7，由此求得a3a6+a4a5的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=4，，‎ ‎∴a3a6=a4a5=a2•a7=4×=，‎ 故a3a6+a4a5 =+=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，则 ‎，‎ 化简后得m=1.5，‎ 故选A ‎【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．‎ ‎　‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（　　）‎ A．3 B．2 C．2 D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．‎ ‎【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，‎ 由余弦定理可得，‎ a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 即有4=b2+12﹣4×b，‎ 解得b=2或4，‎ 由b＜c，可得b=2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ ‎　‎ ‎9．已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜k＜1 B．k＞0 C．k≥0 D．k＞1或k＜﹣1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】表示双曲线则或解出．‎ ‎【解答】解：由双曲线标准方程的形式，表示双曲线须 或，‎ ‎∴﹣1＜k＜1．‎ 故选A ‎【点评】要准确把握双曲线标准方程形式．表示双曲线的充要条件是mn＞0．‎ ‎　‎ ‎10．“x＞0”是“x≠0”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：对于“x＞0”⇒“x≠0”；‎ 反之不一定成立，‎ 因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．‎ ‎　‎ ‎11．若直线y=kx+2与椭圆+=1相切，则斜率k的值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】将直线方程代入椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得k的值．‎ ‎【解答】解：将直线y=kx+2代入椭圆+=1，消去y，可得：‎ ‎（2+3k2）x2+12kx+6=0，‎ 由直线和椭圆相切，可得△=144k2﹣24（2+3k2）=0，‎ 解得k=±．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，主要是相切的条件，注意运用判别式为0，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．‎ ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎13．函数的最小正周期是　　．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由正弦函数的周期公式可知T=，则函数的最小正周期T==．‎ ‎【解答】解：由正弦函数的周期公式可知T=，‎ ‎∴函数的最小正周期T==，‎ 函数的最小正周期，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正弦函数的图象及性质，考查正弦函数的周期公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知椭圆的方程为x2+4y2=16，若P是椭圆上一点，且|PF1|=7，则|PF2|=　1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由|PF1|，|PF2|为椭圆上一点到两个焦点的距离和椭圆的定义，知|PF1|+|PF2|=2a=10，由此能求出|PF2|值．‎ ‎【解答】解：椭圆的方程为x2+4y2=16化简为：的两个焦点分别为F1、F2，点P为该椭圆上一点，‎ 根据椭圆的定义，‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=8，‎ 若|PF1|=7，则|PF2|=1‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．‎ ‎　‎ ‎15．若点P是椭圆+=1上的一点，F1，F2是焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先由椭圆定义得两个焦半径之和为20，再在焦点三角形中运用余弦定理，二者结合求得焦半径之积，最后运用面积公式计算△F1PF2的面积即可 ‎【解答】解：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则 d1+d2=2a=20，‎ 在三角形PF1F2中，|F1F2|2=d12+d22﹣2d1d2cos60°‎ 即122=d12+d22﹣d1d2=（d1+d2）2﹣3d1d2=400﹣3d1d2‎ ‎∴d1d2=‎ ‎∴S△F1PF2=d1d2sin60°=‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，椭圆定义即应用，焦点三角形的处理方法，解题时要认真总结．‎ ‎　‎ ‎16．过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2=，然后通过可得，再分子分母同除a2得求解．‎ ‎【解答】解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，‎ ‎∴k=tan∠BAF2=，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎17．（10分）（2016秋•望城区校级月考）已知双曲线焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为，求双曲线的标准方程．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设出双曲线的方程，求得b=6，由离心率公式，再由a，b，c的关系，求得a2，即可得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：根据题意可知2b=12，解得b=6 ①‎ ‎②，‎ 根据双曲线的性质可得a2=c2﹣b2③，‎ 由①②③得，‎ a2=64，‎ 所以满足题意的双曲线的标准方程为：．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•岳阳校级月考）在等差数列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用通项公式计算首项a1，代入通项公式即可；‎ ‎（2）先判断出{an}中负数项的项数，再代入求和公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，‎ ‎∴an=﹣24+3（n﹣1）=3n﹣27．‎ ‎（2）令an=3n﹣27≤0可得n≤9，‎ ‎∴a9=0，当n＜9时，an＜0，当n＞9时，an＞0．‎ ‎∴当n=8或n=9时，Sn取得最小值．‎ 最小值为S8=8a1+28d=8×（﹣24）+28×3=﹣108．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•广州校级二模）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】解三角形；三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；‎ ‎（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，‎ 又△ABC的面积等于，sinC=，‎ ‎∴，‎ 整理得：ab=4，‎ 联立方程组，‎ 解得a=2，b=2；‎ ‎（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）‎ 联立方程组，‎ 解得：，，‎ 又sinC=，‎ 则△ABC的面积．（10分）‎ ‎【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014秋•吉安县校级期中）已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}．‎ ‎（1）当a=﹣时，求A∩B；‎ ‎（2）命题p：x∈A，命题q：x∈‎ B，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】（1）当a=﹣时求出集合A，B，根据集合的基本运算即可．‎ ‎（2）然后利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，进行确定范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣时，B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}={x|＜x＜}，A={x|＜0}={x|2＜x＜3}，‎ 则A∩B={x|2＜x＜}．‎ ‎（2）B={x|（x﹣a）（x﹣a﹣4）＜0}={x|a＜x＜a+4}．‎ 因为￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，‎ 则A⊆B，‎ 则，‎ 即，‎ 解得﹣1≤a≤2．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2013秋•雁塔区校级期中）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若椭圆离心率为，焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）求线段AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆方程．‎ ‎（2）由，得5x2﹣6x﹣3=0，由此能求出线段AB的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，焦距为2，‎ ‎∴，解得a=，b=，‎ ‎∴椭圆方程．‎ ‎（2）由，得5x2﹣6x﹣3=0，‎ ‎△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎，，k=﹣1，‎ ‎∴线段AB的长|AB|==．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014•凉州区二模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出过点A（0，﹣b） 和B（a，0）的直线，利用直线L与坐标原点的距离为，椭圆的离心率 ‎，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线过点A（0，﹣b）和B（a，0），‎ ‎∴直线L：与坐标原点的距离为，∴ =．①…（2分）‎ ‎∵椭圆的离心率 e=，∴．②…‎ 由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2﹣c2）=3a2+3（a2﹣c2）③‎ 由②③得a2=3，c2=2‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1‎ ‎∴所求椭圆的方程是+y2=1…‎ ‎（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0‎ ‎∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1…（8分）‎ 设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=…（10分）‎ ‎∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，‎ ‎∴EC⊥ED…（12分）‎ ‎∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0‎ ‎∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0‎ ‎∴（1+k2）×+（2k+1）×+5=0，解得k=＞1，‎ ‎∴当k=时以CD为直径的圆过定点E…（14分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．‎ ‎　‎