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- 2024-06-02 发布
2019-2020学年第一学期期末考试
高二数学（理科）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题的说法错误的是（ ）
A．对于命题则
B．“”是””的充分不必要条件
C．“”是””的必要不充分条件
D．命题”若，则”的逆否命题为：”若，则”
4.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5.已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（ ）
A．80 B．180 C．20 D．166
6.已知斐波那契数列的前七项为：1、1、2、3、5、8，13.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种"雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层.
A．5 B．6 C．7 D．8
7.若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
8.设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.设等差数列的前项和分别为，若，则使的的个数为（ ）
A． B． C． D．
11.在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支两点，以线段为直径的圆过右焦点，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.
13.已知椭圆与双曲线有共同的焦点,则________.
14.若满足约束条件， 则的最小值为________.
15.已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为________.
16.点是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为________.
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.
17.（本小题10分）已知，命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得成立．
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若为假，为真，求的取值范围．
18.（本小题12分）在中,角所对的边分别是且
（1）求边的长；
（2）若点是边上的一点，且的面积为求的正弦值.
19.（本小题12分）如图，在四面体中，分别是线段的中点，，，，直线与平面所成的角等于．
（1）证明： 平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
20.（本小题12分）已知双曲线
（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
21.（本小题12分）数列的前n项和记为，，，，，．
（1）求的通项公式；
（2）求证：对，总有．
22.（本小题12分）设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为B，离心率为，是坐标原点，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆C的两交点为M，N，若，求直线的方程.
2019-2020学年第一学期期末考试
高二数学（理科）答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
ABCDB CCADC AB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分.
13.4 14.-1 15. 16.
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.
17.（本小题10分）
（1）对任意x∈[0，1]，不等式恒成立，
当x∈[0，1]，由对数函数的性质可知当x＝0时，y＝log2（x+1）﹣2的最小值为﹣2，
∴﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1，2]
（2）存在x∈[﹣1，1]，使得成立，∴．
命题q为真时，m≤1．
∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则解得1＜m≤2；
当p假q真时，，即m＜1．
综上所述，m的取值范围为（﹣∞，1）∪（1，2]
18.（本小题12分）
（1）
（2）
解得
在中，由余弦定理得
在中，由正弦定理得.
．
19.（本小题12分）（Ⅰ）在中，是斜边的中点，所以.
因为是的中点，所以，且，
所以，
又因为，所以，且，故平面
因为平面，所以平面平面
（Ⅱ）方法一：取中点，则 因为，所以.
又因为，所以平面，故平面
因此是直线与平面所成的角
所以
过点作于，则平面，
过点作于，连接，
则为二面角的平面角
因为，
所以
因此二面角的余弦值为
方法二：
如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA为y，z轴建立空间直角坐标系.
因为 (同方法一,过程略)
则，,
所以,, 设平面的法向量
则即取,得
设平面的法向量 则即取,得
所以
因此二面角的余弦值为
20.（本小题12分）
解 （1）
（2）假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
由消去y得2x2－4x＋3＝0，
因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点.
21.（本小题12分）
解：（1）由．可得，
两式相减得，∴，
又，．
故是首项为9，公比为3的等比数列，
∴
（2）
当时，
又符合上式，．
∴．
则
∵，
∴．
22.（本小题12分）
（1）由题意，又，∴，
∴椭圆方程为；
（2）由（1），
直线斜率不存在时不合题意，设方程为，，
由得，
，
∵，∴，即，
∴，，
，整理得，，
∴直线的方程为，即或。