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- 2024-05-20 发布
课时作业(六十三) [第63讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布]
[时间：45分钟 分值：100分]
1．下面说法正确的是( )
A．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值
B．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C．离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平
D．离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值
2．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名同学，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B，则E(2X＋1)等于( )
A. B.
C．3 D.
3．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员、2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的数学期望是( )
A. B.
C. D.
4．某种摸奖活动的规则是：在一个袋子中装有大小、质地完全相同、编号分别为1,2,3,4的小球各一个，先从袋子中摸出一个小球，记下编号后放回袋子中，再从中取出一个小球，记下编号，若两次编号之和大于6，则中奖．某人参加4次这种抽奖活动，记中奖的次数为X，则X的数学期望是( )
A. B.
C. D.
5．已知X～B，Y～B，且E(X)＝15，则E(Y)等于( )
A．5 B．10
C．15 D．20
6． 某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100
B．200
C．300
D．400
7．已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)等于( )
A．1 B．0.6
C．2.44 D．2.4
8． 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝( )
A．0.1588
B．0.1587
C．0.1586
D．0.1585
9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( )
A．7.8 B．8
C．16 D．15.6
10．某同学解答两道试题，他能够解出第一道题的概率为0.8，能够解出第二道题的概率为0.6，两道试题能够解答与否相互独立，记该同学解出题目的个数为随机变量X，则X的数学期望E(X)＝________.
11．体育课的投篮测试规则是：一位同学投篮一次，若投中则合格，停止投篮，若投不中，则重新投篮一次，若三次投篮均不中，则不合格，停止投篮．某位同学每次投篮的命中的概率为，则该同学投篮次数X的数学期望E(X)＝________.
12．袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，每次摸取一个球记下颜色后放回，现连续取球8次，记取出红球的次数为X，则X的方差D(X)＝________.
13．据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，交保险费100元，若一年内万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>1000)，为确保保险公司有可能获益，则a的取值范围是________．
14．(10分) 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2.
(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X的分布列和数学期望．
15．(13分) 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3.取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为X.
(1)求随机变量X的分布列；
(2)求随机变量X的期望E(X)．
16．(12分) 低碳生活成为人们未来生活的主流，某市为此制作了两则公益广告：
(1)80部手机，一年就会增加一吨二氧化碳的排放……
(2)人们在享受汽车带来的便捷与舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气……
活动组织者为了解市民对这两则广告的宣传效果，随机从10～60岁的人群中抽查了n人，统计结果如图K63－1表示抽查的n人中，各年龄段的人数的频率分布直方图，
下表表示抽查的n人中回答正确情况的统计表．
图K63－1
广告一
广告二
回答正确
的人数
占本组人
数的频率
回答正确
的人数
占本组人数
的频率
[10,20)
90
0.5
45
a
[20,30)
225
0.75
240
0.5
[30,40)
378
0.9
252
0.6
[40,50)
160
b
120
0.5
[50,60)
15
0.25
6
0.1
(1)分别写出n，a，b的值；
(2)若上表中的频率近似值看作各年龄组正确回答广告内容的频率，规定正确回答广告一的内容得20元，正确回答广告二的内容得30元，组织者随机请一家庭的两成员(大人45岁，孩子17岁)回答两广告内容，求该家庭获得资金的期望(各人之间，两广告之间相互独立)．
课时作业(六十三)
【基础热身】
1．C [解析] 离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平，它的方差反映X取值的离散程度．
2．D [解析] 因为X～B，所以E(X)＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝.
3．D [解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝.
4．D [解析] 根据乘法原理，基本事件的总数是4×4＝16，其中随机事件“两次编号之和大于6”含有的基本事件是(3,4)，(4,3)，(4,4)，故一次摸奖中奖的概率为.4次摸奖中奖的次数X～B，根据二项分布的数学期望公式，则E(X)＝4×＝.
【能力提升】
5．B [解析] 因为X～B，所以E(X)＝，又E(X)＝15，则n＝30.
所以Y～B，故E(Y)＝30×＝10.
6．B [解析] X的数学期望概率符合(n，p)分布；n＝1 000，p＝0.1，∴E(X)＝2×1 000×0.1＝200.
7．C [解析] 因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
8．B [解析] 通过正态分布对称性及已知条件得P(X＞4)＝＝＝0.1587，故选B.
9．A [解析] X的取值为6,9,12，相应的概率
P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
10．1.4 [解析] X＝0,1,2.P(X＝0)＝0.2×0.4＝0.08，P(X＝1)＝0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44，P(X＝2)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48＝1.4.
11. [解析] 试验次数X的可能取值为1,2,3，且P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝.
随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
12．2 [解析] 每次取球时，红球被取出的概率为，8次取球看做8次独立重复试验，
红球出现的次数X～B，故D(X)＝8××＝2.
13．(1 000,20 000) [解析] X表示保险公司在参加保险者身上的收益，其概率分布为
X
100
100－a
P
0.995
0.005
E(X)＝0.995×100＋(100－a)×0.005＝100－.若保险公司获益，则期望大于0，解得a<20 000，所以a∈(1 000,20 000)．
14．[解答] (1)记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P(A)＝＝.
(2)X可取1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝·＝，
P(X＝3)＝··＝，
P(X＝4)＝···＝；
故X的分布列为
X
1
2
3
4
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
答：X的数学期望为.
15．[解答] (1)由题意知随机变量X的取值为2,3,4,5,6.
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝×＋×＝，
P(X＝4)＝×＋×＋×＝，
P(X＝5)＝×＋×＝，
P(X＝6)＝×＝.
所以随机变量X的分布列为
X
2
3
4
5
6
P
(2)随机变量X的期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.
【难点突破】
16．[解答] (1)根据频率分布表，可知年龄在[10,20)岁的人数为＝180.
根据频率分布直方图可得＝0.015×10，得n＝1200，
∴a＝＝，＝1200×0.02×10，b＝.
∴n＝1200，a＝，b＝.
(2)依题意：孩子正确回答广告一、广告二的内容的概率分别是P1＝，P2＝.
大人正确回答广告一、广告二的内容的概率分别为P3＝，P4＝.
设随机变量X表示该家庭获得的资金数，则X的可能取值是：0,20,30,40,50,60,70,80,100.
其分布列为
X
0
20
30
40
50
60
70
80
100
P
∴E(X)＝0×＋20×＋30×＋40×＋50×＋60×＋70×＋80×＋100×＝45.