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- 2024-05-10 发布
2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．复数的虚部为
A． B． C．2 D．-2
3．已知向量，且，那么的值为
A． B． C． D．
4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是
A．6 B．10 C．91 D．92
5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，得到函数，那么的值为
A． B． C． D．
6．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
7．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
8．，则的大小关系为
A． B． C． D．
9．在中，为上一点，是的中点，若，，则
A． B． C． D．
10．设函数，下述四个结论：
①是偶函数；②的最小正周期为；③的最小值为0；④在上有3个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
11．四面体的四个顶点都在球的表面上，，
是边长为3的等边三角形，若，则球的表面积为
A． B． C． D．
12．已知抛物线，圆，若点分别在上运动，且设点，则的最小值为
A． B． C．4 D．4
第II卷 非选择题（90分）
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数满足约束条件，则的最大值为_______.
14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____．
15.已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
16．已知数列满足)， ,则数列中最大项的值是__________．
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数（万人）与餐厅所用原材料数量（袋），到如下统计表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会人数
13
9
8
10
12
（万人）
原材料（袋）
32
23
18
24
28
（I）根据所给5组数据，求出关于的线性回归方程；
（II）已知购买原材料的费用（元）与数量（袋）关系为，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润销售收入原材料费用）..参考公式：，.参考数据：，，.
18．(12分)如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，．
（I）证明：平面．
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）的内角，，的对边分别为，，，设.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的周长为8，求的面积的取值范围.
20．（12分）已知的两个顶点的坐标分别为，，且所在直线的斜率之积等于，记顶点的轨迹为.
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，点在曲线上，且为的重心（为坐标原点），求证：的面积为定值，并求出该定值.
21．（12分）已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）.
（Ⅰ）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；
（Ⅱ）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并求出曲线与公共弦所在直线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与曲线交于点，且，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若正数，，满足，求的最小值.
2020年春四川省泸县第五中学高三第二学月考试
文科数学参考答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．D 9.B 10．B 11．A 12．B
13．6 14． 15．-3 16．
17．解：(1)由所给数据可得：，，
，，
则关于的线性回归方程为.
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当时，，即预计需要原材料袋，
因为，所以当时，
利润，当时，；
当时，利润，当时，.
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元.
18.（1）证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .
又，，
所以平面，所以.
因为，，所以是正方形，所以.
又，所以平面.
（2）由等体积法求解点到平面AEC的距离最后求解得直线与平面
所成角的正弦值为.
19．（1）且，
又，
（2）由题意知：
，
或（舍）（当时取“”）
综上，的面积的取值范围为
20．解：（Ⅰ）设，因为点的坐标为，所以直线的斜率为
同理，直线的斜率为由题设条件可得，.
化简整理得，顶点的轨迹的方程为：.
（Ⅱ）设，，，
因为为的重心，所以，所以，，
由得，
，，，，∴，又点在椭圆上，所以，∴，
因为为的重心，所以是的倍，
，原点到直线的距离为，
.所以，所以，的面积为定值，该定值为.
21解：（1）（），
所以切线的斜率，整理得，显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数，所以方程有唯一实数解，故．
（2），，
设，则，
易知在上是减函数，从而．
①当，即时， ，在区间上是增函数，
∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∴在区间上是减函数，所以满足题意．
②当，即时，设函数的唯一零点为，则在上递增，在上递减，
又∵，∴，又∵，
∴在内有唯一一个零点，当时，，当时，.
从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.
∴不合题意．综上①②得，．
22．解：（1）曲线的直角坐标方程为，将极坐标与直角坐标的互化公式：代入，
可得曲线的极坐标方程为.联立与，得
∴曲线与公共弦所在直线的极坐标方程,（或和）
（2）把，代入，，得；
又，则=2，可得所以，
23．解：（1）化简得.
①当时，，由，即，解得，又
，所以；②当时，，由，即，
解得，又，所以；③当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为：.
（2）由于，故，
∴，
∵，∴由柯西不等式：
上式
.
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.