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- 2024-05-08 发布
德阳五中2018-2019学年高二下期5月月考
理科数学试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是
A. B.
C. D.
2．设，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
3．已知a、，则“”是“直线“和直线平行”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图，社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域随机用一种颜色的花卉，且相邻区域用公共边的所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有
A. 96 B. 114 C. 168 D. 240
5．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则能得出的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 2 B.
C. D.
7．阅读如下程序框图，如果输出，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，若是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A． B． 8 C． 9 D． 10
9．在区间上随机取两个实数，记向量，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，则不同放置方法的种数共有
A．15 B．21 C．64 D．81
11．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12．己知函数，若关于的方程 恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是( ）
A. B. C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
x
0
2
4
6
y
a
3
5
3a
13．已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程，则a的值为______．
14．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2
”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．
15．已知 则的取值范围为______．
16．已知函数，若在区间上单调递增，则a的最小值是______．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
18.（12分）设数列的前n项和为，，满足，，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
19.（12分）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
已知．
（1）求C的大小；
（2）若，求周长的最大值．
20.（12分）四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E、F分别为CD、PB的中点．
（1）求证：平面PAD；
（2）求证：平面平面PAB；
（3）设，求直线AC与平面AEF所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆C：上的动点P到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，Q是椭圆C的左顶点，若，试证明直线l经过不同于点Q的定点．
22．（12分）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（1）讨论f(x) 的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（3）如果f(x)＞g(x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
1-12 CBCCCCDCBACC
13 2.15 14 1和3 15 16 1
17.解：圆C的参数方程为，为参数，
则，，
，可得，
即圆C的普通方程为，
又，，
圆C的极坐标方程为；
设，则由解得，，
设，则由解得，，
．
18.证明：，，，
，
，
，
，
数列是以1为首项，以2为公比的等比数列
解：由知，
，
，
，
由错位相减得
，
．
19.解：Ⅰ中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
．
由正弦定理得，
即，
，
由，
．
Ⅱ，，
，．
设周长为l，则
．
，，
周长的最大值为．
20.证明：方法一：取PA中点G，连结DG、FG．
是PB的中点，
且，
又底面ABCD为矩形，E是DC中点，
且
且，
四边形DEFG为平行四边形
平面PAD，平面PAD，
平面PAD．
底面ABCD，面ABCD
又底面ABCD为矩形
又
平面PAD
平面PAD
，G为AP中点
又，
平面PAB
又由知
平面PAB，
又面平面平面PAB．
证法二：以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系设．
，
0，，a，，a，，0，，
、F分别为CD，PB的中点
，．
，
0，，0，，0，，
，
故、、共面，
又平面PAD
平面PAD．
由知，，．
，，
，，
又，
平面PAB，
又平面AEF，
平面平面PAB，
由知，
，0，
设平面AEF的法向量，
则，
令，则，，
，
又，
，，
，．
21.解：由已知可得，，解得，，
椭圆的方程；
证明：由，得，
当直线AB的斜率不存在时，由对称性知QA的倾斜角为或。
不妨设QA：，易求 故AB方程为
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为，，，
联立，得．
．
，．
由题意，，则，，
由，得
，
即，得
当时，满足，此时直线方程为：
过定点；
当时，满足，此时直线方程为：，过点不合题意．
综上，直线l经过不同于点Q的定点
22.解：（1） ………………1分
<0， 在内单调递减. ………………2分
由=0有.
当 时， <0， 单调递减；
当 时， ＞0， 单调递增. ………………4分
（2）
令= ，则=.
当时， ＞0，所以单调递增，又，，
从而时，=＞0. ………………7分
（3）由（Ⅱ），当时， ＞0.
当， 时， = .
故当＞在区间内恒成立时，必有.………………8分
当时， ＞1.
由（Ⅰ）有,而，
所以此时＞在区间内不恒成立. ………………10分
当时，令= （）.
当时， = .因此， 在区间单调递增.
又因为=0，所以当时， = ＞0，即＞恒成立. 综上， .………………12分