- 1.29 MB
- 2024-05-07 发布
绝密★启用前
广东省深圳市高级中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∪B=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
运用集合的并集的定义与运算，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合A={x|x＞0}，B={x|-1＜x＜1}，
根据集合的并集的运算可得A∪B={x|x＞-1}=（-1，+∞），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集的概念与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2．是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限．故选.
3．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.
【详解】
因为由，由推不出，有可能，
所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.
【点睛】
本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.
4．已知向量，且，则实数（ ）
A．3 B．1 C．4 D．2
【答案】A
【解析】,根据得,解得,故选A.
5．已知曲线关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，对选项逐一排除，可得到正确选项.
【详解】
由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，显然，当时，符合题意，其它选项不符合.故选D.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值.属于基础题.
6．直线l：3x+4y+5=0被圆M：（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦长为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【解析】
【分析】
求出圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．
【详解】
∵圆（x–2）2+（y–1）2=16，∴圆心（2，1），半径r=4，圆心到直线l：3x+4y+5=0的距离d==3，∴直线3x+4y+5=0被圆（x–2）2+（y–1）2=16截得的弦长l=2=2．
故选:C．
【点睛】
本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．
7．已知在极坐标系中，点A，B，O(0，0)，则△ABO为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，可得，∴，
又，∴为等腰直角三角形，故选D.
8．下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④()′＝x；⑤(x·ex)′＝ex＋1.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】
试题分析：,所以正确的有②③.
考点：函数导数的运算.
9．已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
（1）；
（2）；
（3），输出，即不满足循环条件，
所以①处应填3。故选B。
10．已知，在⊙O： 上任取一点P，则满足的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为OA=2,OP=1,所以当时∠，所以满足的概率为=，选C.
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
11．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件得，利用“乘1法”与基本不等式的性质，即可求解．
【详解】
由题意知，可得：，
则，
当且仅当时，等号成立，
则的最小值为。
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，乘1法”与基本不等式的性质使用时要注意“一正，二定，三相等”．属于中档题．
12．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，则E的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
由题意可知，双曲线的右焦点，关于原点的对称点为，
则，
四边形为平行四边形
则，
由，根据椭圆的定义
，，
在中，，，
则，整理得
则双曲线的离心率
故选
点睛：本题主要考查的是双曲线的简单性质。由题意可知，四边形为平行四边形，利用双曲线的定义和性质，求得，在在中，利用勾股定理即可求得，根据双曲线的离心率公式即可求得答案。
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．函数的定义域为_________________________
【答案】(-1,2) .
【解析】分析：由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．
详解：由，解得﹣1＜x＜2．
∴函数f（x）=+ln（x+1）的定义域为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．
14．若实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可求最大值．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；
由得，
平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大；
由，解得，即，
代入目标函数得，
即目标函数的最大值为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
15．已知直线l的普通方程为x+y+1=0，点P是曲线为参数）上的任意一点，则点P到直线l的距离的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据曲线的参数方程，设，再由点到直线的距离以及三角函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意，设，
则到直线的距离，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了曲线的参数方程的应用，其中解答中根据曲线的参数方程设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p、q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1，则数列{f（3n）}的前2019项和为______．
【答案】31010-1
【解析】
【分析】
由题意得为偶数时，求得；为奇数时，求得，把数列的前2019项和转化为等比数列求和，即可求解。
【详解】
由题意，当为偶数时，，当为奇数时，，
则
。
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题。
评卷人
得分
三、解答题
17．在中，角的对边分别为 ，且满足.
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为1，求边.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理化简即得A的值.(2)通过三角形的面积以及余弦定理，转
化求解即可．
【详解】
（1）∵bcosA+asinB=0
∴由正弦定理得：sinBcosA+sinAsinB=0
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA+sinA=0
∵，∴tanA=﹣1又0＜A＜π
∴
（2）∵，S△ABC=1，∴
即：
又
由余弦定理得：
故：
【点睛】
本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形底面积的求法，考查计算能力．
18．已知等比数列的各项为正数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求证数列的前项和＜2．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】试题分析：（1）先根据条件列关于首项与公比的方程组，解出首项与公比，再代入等比数列通项公式即可，（2）先根据对数性质化简得，再根据裂项相消法求数列的前项和，最后根据n取值范围证不等式.
试题解析：（1）设数列N的公比为q，
∵9a32=a2a6，即9a22q2=a2•a2q4，解得q2=9．
又q＞0，则q=3，
∵a3=2a2+9，即9a1=6a1+9，解得a1=3，
∴．
（2）a1a2…an=31+2+3+…+n=3，
∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=log3（a1a2…an）=，
∴．
∴<2．
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
19．2018年为我国改革开放40周年，某事业单位共有职工600人，其年龄与人数分布表如下：
年龄段
人数（单位：人）
180
180
160
80
约定：此单位45岁～59岁为中年人，其余为青年人，现按照分层抽样抽取30人作为全市庆祝晚会的观众．
（1）抽出的青年观众与中年观众分别为多少人？
（2）若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12人和5人不热衷关心民生大事，其余人热衷关心民生大事．完成下列2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关？
（3）若从热衷关心民生大事的青年观众（其中1人擅长歌舞，3人擅长乐器）中，随机抽取2人上台表演节目，则抽出的2人能胜任才艺表演的概率是多少？
．
【答案】（1）青年观众为18人，中年观众12人；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用分层抽样原理计算抽出的人数即可；
（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（3）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值．
【详解】
（1）抽出的青年观众为18人，中年观众12人；
（2）2×2列联表如下：
热衷关心民生大事
不热衷关心民生大事
总计
青年
6
12
18
中年
7
5
12
总计
13
17
30
计算观测值，
∴没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关；
（3）热衷关心民生大事的青年观众有6人，记能胜任才艺表演的四人为，
其余两人记为，则从中选两人，可得
共有如下15种情况,
抽出的2人都能胜任才艺表演的有,共有6种情况，
所以所求的概率为．
【点睛】
本题考查了分层抽样原理与列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．
20．已知抛物线的焦点为是曲线上的一点，且．
（1）求的方程；
（2）直线交于A、B两点，且的面积为16，求的方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入得，再根据抛物线的定义可得，即可求得抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线，根据斜率公式和韦达定理以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】
（1）由题意，将代入，得，
又，解得，
∴抛物线的方程为。
（2）直线的斜率显然存在，设直线，
由，得，所以，
又由，解得，
∴直线方程为，所以直线恒过定点，
原点到直线的距离，
∴
，
所以，解得，
所以直线的方程为。
【点睛】
本题主要考查抛物线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
21．已知函数（）.
（1）求在上的单调性及极值；
（2）若，对任意的，不等式都在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）在递减， 递增，极小值，无极大值；（2）.
【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用求导求函数的单调性和极值. （2）转化成证明g(x)的最大值小于零，在上， 有解，再证明，只需存在使得即可，
试题解析：
（1）当时， ， ，
令，∴
∴在递减， 递增，
∴极小值，无极大值.
（2）因为，令， ，
则为关于的一次函数且为减函数，
根据题意，对任意，都存在，使得成立，
则在上， 有解，
令，只需存在使得即可，
由于，
令，∵，∴，
∴在上单调递增， ，
①当，即时， ，即，
∴在上单调递增，∴，不符合题意.
②当，即时， ， ，
若，则，所以在上恒成立，即恒成立，
∴在上单调递减，
∴存在使得，符合题意.
若，则，∴在上一定存在实数，使得，
∴在上恒成立，即恒成立，
∴在上单调递减，
∴存在使得，符合题意.
综上所述，当时，对任意的，都存在，使得成立.
点睛：本题的第（2）问中， ， .在这里，利用了反客为主的技巧.一般情况下，把x看作自变量，如果这样，这里的化简转化就比较复杂.由于已知b的范围，所以可以看作是b的一次函数，问题迎刃而解.大家要理解掌握这个技巧，并注意灵活运用.
22．已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是．射线OT：与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求的值.
【答案】（1），；（2）12.
【解析】
【分析】
(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化为极坐标方程即可；
(2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解的值即可.
【详解】
（1）因为曲线的参数方程为（为参数），
消去参数得曲线的普通方程为，
又，，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）由，
故射线与曲线的交点的极坐标为；
由，
故射线与直线的交点的极坐标为，
∴.=12.
【点睛】
本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23．设函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）不等式的解集为；（2）.
【解析】
试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围.
试题解析：（1）当时，，
无解，
，
3分
综上，不等式的解集为. 5分
（2），转化为，
令，
因为a>0,所以， 8分
在a>0下易得,令得10分
考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.