2019年高考数学总复习检测第7讲　函数的奇偶性与周期性 3页

第7讲　函数的奇偶性与周期性 ‎1．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－()x，则f(x)(B)‎ A．是偶函数，且在R上是增函数 B．是奇函数，且在R上是增函数 C．是偶函数，且在R上是减函数 D．是奇函数，且在R上是减函数 ‎ 因为函数f(x)的定义域为R，‎ f(－x)＝3－x－()－x＝()x－3x＝－f(x)，‎ 所以函数f(x)是奇函数．‎ 因为函数y＝()x在R上是减函数，‎ 所以函数y＝－()x在R上是增函数．‎ 又因为y＝3x在R上是增函数，‎ 所以函数f(x)＝3x－()x在R上是增函数．‎ ‎2．(2014·新课标卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(C)‎ A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 ‎ 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，‎ 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，‎ 所以f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，‎ 所以f(x)g(x)为奇函数．‎ ‎|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，‎ 所以|f(x)|g(x)为偶函数．‎ f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，‎ 所以f(x)|g(x)|为奇函数．‎ ‎|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，‎ 所以|f(x)g(x)|为偶函数．‎ ‎3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－)＝(A)‎ A．－ B．－ C. D. ‎ f(－)＝f(－＋4)＝f(－)＝－f()＝－(1＋)＝－.‎ ‎4．(2016·安徽皖北联考)已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,2]上是递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系为(A)‎ A．f(0)0，则实数m的取值范围为　[－，)　.‎ ‎ 由f(m－1)＋f(2m－1)>0‎ ‎⇒f(m－1)>－f(2m－1)，‎ 因为f(x)为奇函数，所以－f(x)＝f(－x)，‎ 所以f(m－1)>f(1－2m)，‎ 又f(x)在[－10,10]上是减函数，‎ 所以解得－≤m<.‎ ‎7．已知函数f(x)＝是奇函数．‎ ‎(1)求实数m，n的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎ (1)设x<0，则－x>0，‎ f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，‎ 又因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝n＝0，‎ f(－x)＝－f(x)，‎ 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.‎ ‎(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，‎ 结合f(x)的图象可知有所以1时，f(x＋)＝f(x－)，则f(6)＝(D)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ ‎ 由题意知，当x＞时，f(x＋)＝f(x－)，‎ 则当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)．‎ 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，‎ 所以f(6)＝f(1)＝－f(－1)．‎ 又当x＜0时，f(x)＝x3－1，‎ 所以f(－1)＝－2，所以f(6)＝2.故选D.‎ ‎9．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝　2　.‎ ‎ f(x)＝1＋，‎ 设g(x)＝f(x)－1＝，则g(x)是奇函数，‎ 因为f(x)的最大值为M，最小值为m，‎ 所以g(x)的最大值为M－1，最小值为m－1.‎ 所以M－1＋m－1＝0，所以M＋m＝2.‎ ‎10．已知定义域为R的函数f(x)＝的图象关于原点对称．‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若对任意的t∈R，不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．‎ ‎ (1)因为f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，‎ 即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.‎ 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.‎ 故a＝2，b＝1.‎ ‎(2)由(1)知 f(x)＝＝＝－＋，‎ 易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．‎ 又f(x)是奇函数，所以不等式f(2t2－2t)＋f(t2－k)<0等价于f(2t2－2t)<－f(t2－k)＝f(k－t2)，‎ 因为f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，‎ 所以2t2－2t>k－t2.‎ 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，‎ 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.‎ 所以k的取值范围为(－∞，－)．‎