- 439.00 KB
- 2024-03-29 发布
上海市嘉定区2013届高三一模数学试题（理科）
参考答案与评分标准
一．填空题（每小题4分，满分56分）
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11． 12．
13． 14．
二．选择题（每小题5分，满分20分）
15．A 16．C 17．B 18．D
三．解答题
19．（本题满分12分）
方程的根为．………………（3分）
因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………（5分）
所以，解得，因为，所以，……（8分）
所以，所以，故．…………（11分）
所以，．…………（12分）
G
P
A
B
C
F
E
20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）
（1）取中点，中点，中点，
连结，，，则∥，∥，
所以就是异面直线与所成的角（或
其补角）．…………（2分）
连结，则，……（3分）
， …………（4分）
又，所以．…………（5分）
在△中，，……（7分）
故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）
（2）因为底面，所以，，，
又，所以平面，所以，…………（2分）
所以△、△、△、△都是直角三角形．……（3分）
所以，．……（6分）
21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
O
A
B
M
x
y
（1）将与代入椭圆的方程，得
，…………（2分）
解得，．…………（5分）
所以椭圆的方程为．…………（6分）
（2）由，知在线段的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知、关于原点对称．
①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时
．……（1分）
同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时
．……（2分）
②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），
则直线的方程为．设，，
由，解得，，……（4分）
所以，同理可得，
所以．……（7分）
综上，为定值．…………（8分）
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
（1）由题意，得，……（2分）
即 ，解得 ．…………（4分）
（2）由（1）知， ①
当时， ② …………（1分）
①－②，得（），又，…………（3分）
所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………（4分）
所以的通项公式为（）．…………（6分）
（3）由（2），得，…………（1分）
由，得，即，
即．因为，所以，
所以且， （*）
因为，所以或或．……………………（2分）
当时，由（*）得，所以； …………（3分）
当时，由（*）得，所以或； …………（4分）
当时，由（*）得，所以或或． …………（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：
，，，，，． …………（6分）
23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
（1）当，时，…（2分）
作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）
O
a
y
x
（2）……（1分）
①当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增．…………（3分）
②当时，，
因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）
综上，函数的单调递增区间是和，
单调递减区间是．………………（6分）
（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）
②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．
即．…………（5分）
令，在时是增函数，故．…………（7分）
所以，实数的取值范围是．…………（8分）