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- 2024-03-06 发布
3
．三个正数的算术
—
几何平均不等式
a
＝
b
＝
c
算术平均
几何平均
a
，
b
，
c
均为正
数
a
＝
b
＝
c
a
1
＝
a
2
＝
…
＝
a
n
(1)
不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．
(2)
运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意
“
一正、二定、三相等
”
，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在
“
相等
”
条件相同时，才能取到等号．
2
．已知
a
1
，
a
2
，
…
，
a
n
都是正数，且
a
1
a
2
…
a
n
＝
1
，求证：
(2
＋
a
1
)(2
＋
a
2
)…(2
＋
a
n
)≥3
n
.
(1)
利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为
“
积定和最小，和定积最大
”
．
(2)
应用平均不等式定理，要注意三个条件
“
即一正二定三相等
”
同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
答案：
D
4
．已知
x
，
y
∈
R
＋
且
x
2
y
＝
4
，试求
x
＋
y
的最小值及达到最
小值时
x
、
y
的值．
5
．已知长方体的表面积为定值
S
，试问这个长方体的长、
宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．