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- 2024-03-06 发布
东台市安丰中学2019-2020学年度第二学期
期中考试高二数学试卷
分值150分 时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数（是虚数单位）的虚部为 ( ▲ )
A. B. C. D.
2．已知随机变量之间具有关系，如，则= ( ▲ )
A. B. C. D.
3. 在二项式的展开式中，含的项的系数是 ( ▲ )
A． B． C． D．
4.从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的个数均为偶数”，则 ( ▲ )
A． B． C． D．
5．若函数在上递减，则的取值范围是 ( ▲ )
A. B. C. D.
6.盒中装有个兵乓球，其中个是新的，个是旧的，从盒中任取个球来用（用完后新的变旧的）.用完后放回盒中，记此时盒中旧球的个数为，则的值为 ( ▲ )
A． B． C． D．
7. 若个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为( ▲ )
A． B． C． D．
8．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的个数为
( ▲ )
①； ②； ③； ④．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9. 在年月日，某市物价部门对本市的家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：
价格
9
9.5
10
10.5
11
销售量
11
10
8
6
5
根据公式计算得相关系数，其线性回归直线方程是：，则下列说法正确的有( ▲ )
参考：
A. 有的把握认为变量具有线性相关关系 B. 回归直线恒过定点
C. D. 当时，的估计值为
10. 下列说法中正确的有 ( ▲ )
A. 在复平面内，复数对应的点位于第二象限
B. 两个事件相互独立的充要条件是
C. 若函数在区间上存在最小值，则实数的可能取值是
D. 若随机变量服从正态分布，且,则实数的值为
11. 设随机变量的分布列为，则 ( ▲ )
A. B. C. D.
12.关于的说法，正确的是 ( ▲
)
A. 展开式中的二项式系数之和为 B. 展开式中只有第项的二项式系数最大
C. 展开式中第项和第项的二项式系数最大 D. 展开式中第项的系数最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数满足（是虚数单位），则= ▲ ．
14. 在的展开式中含有常数项，则正整数的最小值是 ▲ ．
15. 已知随机变量，，若，，
则 ▲ ．
16.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，若物理和历史不能同时选，选法总数为 ▲ ；若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为 ▲ ．（用数字作答，本题第一空分，第二空分）
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）年，“非典”爆发，以钟南山为代表的医护工作者经长期努力，抗击了非典。年岁高龄的钟院士再次披挂上阵，逆行武汉抗击新冠疫情。为调查中学生对这一伟大“逆行者”的了解程度，某调查小组随机抽取了某市物化生、政史地的名高中生，请他们列举钟南山院士在医学上的成就，把能列举钟南山成就不少于项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：
组合
0项
1项
2项
3项
4项
5项
5项以上
物化生（人）
1
10
17
14
14
10
4
政史地（人）
0
8
10
6
3
2
1
（1）请将下面的2×2列联表补充完整；
组合
比较了解
不太了解
合计
物化生
政史地
合计
(2)判断是否有99%的把握认为，了解钟南山与选择物化生、政史地组合有关？
参考：，．
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
18．（本题满分12分）已知数列满足
(1)求证:数列是等差数列，并求其通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．（本题满分12分）王同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间没有影响，第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，那么第三次投篮命中的概率为，否则为.
(1) 求王同学三次投篮至少命中一次的概率；
(2) 记王同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布及数学期望．
20．（本题满分12分）已知函数
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：在上存在唯一的极大值.
21．（本题满分12分）已知
(1) 求；
(2) 我们知道二项式的展开式若等式两边对求导得，令得.利用此方法解答下列问题：
①求；
②求.
22.（本题满分12分）已知函数
（1）若，求的最大值；
（2）如果函数在公共定义域上，满足，那么就称为的“伴随函数”.已知函数，.若在区间上，函数是的“伴随函数”，求实数的取值范围；
（3）若，正实数满足，证明：．
安丰中学2019-2020学年度第二学期高二数学期中试卷参考答案
一、单项选择题：
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
D
C
B
A
B
C
C
D
二、多项选择题：
题 号
9
10
11
12
答 案
ABCD
BCD
ABC
ACD
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15 . 16. ;
三、解答题
17．解：（1）依题意填写列联表如下：
组合
比较了解
不太了解
合计
物化生
42
28
70
政史地
12
18
30
合计
54
46
100
………………………………4分
（2）提出假设了解钟南山与选择物化生、政史地组无关
……………8分
没有的把握认为，了解钟南山与选择物化生、政史地组有关. ………………………………10分
18．解：(1)证明：
∴－＝2………………………………2分
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2………………………………4分
∴＝2＋2(n－1)＝2n. ………………………………6分
(2)由(1)知an＝2n2，………………………………8分
∴bn＝－15＝2n－15，………………………………10分
则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n. ………………………………12分
19. 解：(1)记“王同学三次投篮至少命中一次”为事件………………………………2分
王同学三次投篮都没有命中的概率为××＝
所以=1－＝.………………………………4分
(2) ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，………………………………8分
故随机变量ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
3
P
………………………………10分
所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.………………………………12分
20. 解：（1）………………………………1分
……………………………………3分
所以在点处的切线方程为………5分
（2）证明：，设……7分
在上递减，
由零点存在定理可知，存在使得……………………10分
当，递增；当，递减
所以在上存在唯一的极大值………………………12分
21. 解：(1) 对于(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
取x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝1. ……………………………………3分
(2) ①对(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边求导得2n(2x－1)n－1＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1，
取x＝1得a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n. ……………………………………6分
②将2n(2x－1)n－1＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋nanxn－1两边乘以x得
2n(2x－1)n－1·x＝a1x＋2a2x2＋3a3x3＋…＋nanxn，……………………………………9分
两边求导得
2n[2(n－1)(2x－1)n－2x＋(2x－1)n－1]＝a1＋22a2x＋32a3x2＋…＋n2anxn－1，
取x＝1得12a1＋22a2＋32a3＋…＋n2an＝4n2－2n. ……………………………………12分
22. 解：（1）当时，，
当时，令，解得．…………………………1分
0
↑
极大值
↓
所以，当时取得极大值，也即是最大值.所以的最大值是.…………3分
（2）在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立，
且对恒成立，
（*）
① ，令，得极值点，当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，也不合题意； ………5分
② ，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只需满足，所以. ………………7分
又因为在上是减函数.，所以.
综合可知的取值范围是. ………………………………8分
另解：（接（*））先考虑，，
在上递减，只要，即，解得.……………… 5分
而对，且有.
只要，即，解得，所以，
即的取值范围是. ………………………………8分
（3）当时，.因为，
所以.
令，则，………………10分
令则令解得当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以当时取得极大值即最大值，所以，解得.………………12分