江西省宜春市上高县第二中学2020届高三上学期月考数学（文）试题 20页

‎2020届高三年级第二次月考数学（文）试卷 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合P={}，Q=｛|｝，则P∩Q=（ ）‎ A. （-，2） B. [0，+‎ C. D. （2，+）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出Q中不等式的解集确定集合Q，找出P与Q的交集即可．‎ ‎【详解】由Q中的不等式变形得：，且，‎ 解得：或，即，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，‎ 考点：全称命题与特称命题 ‎3.在锐角△ABC中，角所对的边长分别为，则是成立的( )条件：‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切函数在区间上的单调性证明充分条件和必要条件即可.‎ ‎【详解】由于正切函数在区间上单调递增 ‎，所以是成立的充分条件 ‎，所以是成立的必要条件 综上，是成立的充要条件 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充要条件的判断,属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析各选项中函数的奇偶性与单调性，可得出正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，函数的定义域为，，该函数为奇函数，不合乎题意；‎ 对于B选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，且该函数在上单调递增，合乎题意；‎ 对于C选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数，不合乎题意；‎ 对于D选项，函数的定义域为，，该函数为偶函数，由于，所以，该函数在上不可能为增函数，不合乎题意.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，考查函数单调性与奇偶性定义的应用，属于中等题.‎ ‎5.函数 f（x）=lnx+2x-6的零点x0所在区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间．‎ ‎【详解】∵连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0， ‎ ‎∴f（2）•f（3）＜0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎6.已知直线 是曲线的一条切线，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出.‎ ‎【详解】设切点为 因为切线，‎ 所以，‎ 解得（舍去）‎ 代入曲线得，‎ 所以切点为 代入切线方程可得，解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，函数的切线方程，属于中档题.‎ ‎7.若函数在上是减函数，则a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t＝，则由题意可得函数t在区间[-2，+∞）上为增函数且t（-2）＞0，由此解得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】令t＝，则函数g（t）t 在区间（0，+∞）上为减函数，‎ 可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（-2）＞0，‎ 故有，‎ 解得﹣4≤a＜5，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，要注意函数的定义域及复合函数单调性的结论：同增异减的应用，本题属于基础题.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 利用排除法：‎ 由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；‎ 当时，，选项B错误，‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎9.已知定义在上的函数满足，且当时，成立，若，的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数及题设条件得出在上的单调性，结合函数的奇偶性确定在上单调性，根据单调性即可比较的大小关系.‎ ‎【详解】由知函数为偶函数，设，则为奇函数，当时，，所以在上为递增函数，所以在上是递增函数．因为，所以，即，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，关键在于构造新函数，通过已知函数的奇偶性，判断的各种性质，可得在上是递增函数，因此只需比较自变量的大小关系，通过分别对各个自变量与临界值作比较，判断出三者的关系,即可得到函数值的大小关系．‎ ‎10.已知函数 ，若，使得 成立，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为 .‎ 本题选择B选项.‎ 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎11.已知定义域为R的奇函数，当时，满足，则　　‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算前几项，利用归纳推理，可得的函数值以为周期，利用周期计算可得其和.‎ ‎【详解】定义域为的奇函数，可得，‎ 当时，满足，‎ 可得时，，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理、函数奇偶性、周期性的应用，属于难题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎12.把函数的图象向右平移一个单位，所得图象与函数的图象关于直线对称；已知偶函数满足，当时，；若函数有五个零点，则正数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ 详解：曲线右移一个单位，得，‎ 所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.‎ 当x∈[0,1]时，，‎ y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.‎ 绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：‎ ‎，求解不等式组可得：.‎ 即的取值范围是。‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13.设函数满足，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：求函数的导数，先求出f′（1），f（1）的值，求出函数的解析式，即可得到结论．‎ 详解：∵f（x）=x2+3f′（1）x﹣f（1），‎ ‎∴f′（x）=2x+3f′（1），‎ 令x=1，则f′（1）=2+3f′（1），‎ 即f′（1）=，‎ 故答案为：‎ 点睛：本课题考查导运算及赋值法，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎14.已知是奇函数，且时的解析式是，若时，则的表达式为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的定义，将化为并代入解析式，化简即可得出.‎ ‎【详解】由奇函数的定义知，当时,，那么,故本题正确答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了求函数解析式以及奇函数的性质，关键在于将化为，这样才能代入已知解析式来进行求解.‎ ‎15.如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为___________．‎ ‎【答案】(1,0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意求出切线的斜率,再求出函数的导数,设,利用导数和斜率求出,将求出的代入,求出.‎ ‎【详解】解:曲线在点P处的切线垂直于直线,‎ 曲线在点P处的切线的斜率,‎ 函数的导数为,‎ 设,‎ ‎,解得,‎ ‎,‎ ‎【点睛】本题主要考查了如何求切点的坐标，关键是对导数的几何意义的熟练掌握，属于基础题.‎ ‎16.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题设条件求出函数的周期，将函数的零点问题化为图像的交点问题结合对称性即可求解.‎ ‎【详解】因为是奇函数，所以，‎ 则，‎ 所以。‎ 令，‎ 解得。‎ 根据以上信息作出草图，四个交点分别关于对称，所以零点之和为。‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数对称性的应用、奇函数的性质、函数与方程，属于难题.‎ 三．解答题（本大题共6小题.共计70分）‎ ‎17.已知函数，.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式.恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，得出所求不等式为，然后利用零点分段法去绝对值，分段解出不等式即可；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式得出，由题意得出，即，在时，解出该不等式可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）时，不等式为.‎ 当时，不等式化为，，此时；‎ 当时，不等式化为恒成立，此时；‎ 当时，不等式化为，，此时.‎ 综上，不等式的解集为；‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ 又，，解得或，‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式恒成立问题的求解，涉及绝对值三角不等式的应用，在求解恒成立问题时，需结合条件转化为函数的最值来处理，考查化归与转化数学思想的应用，属于中等题.‎ ‎18.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．‎ ‎【答案】（1）A,B,C分别是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样的性质即可得出抽取样本中来自各地区商品的数量；‎ ‎（2）设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2‎ ‎.写出抽取的这2件商品构成的所有基本事件，并找出抽取的这2件商品来自相同地区包含的基本事件，根据古典概型的公式即可求解.‎ ‎【详解】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ‎＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1，150×＝3，100×＝2.‎ 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.‎ ‎(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：‎ ‎{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．‎ 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，‎ 则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．‎ 所以P(D)＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样的性质以及古典概型等知识，关键是找出所有的基本事件以及满足条件的基本事件个数，属于中档题.‎ ‎19.如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，将五面体分割为三棱柱和四棱锥，证明出底面和平面，然后利用柱体和锥体体积公式计算出两个简单几何体的体积，相加可得出五面体的体积.‎ ‎【详解】（1）取的中点，连接、，‎ 侧面为正方形，且，为的中点，‎ 又为中点，且，‎ 且，，所以，四边形为平行四边形，.‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接、、，‎ 四边形为正方形，.‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 底面，‎ 易知，，，‎ ‎，‎ 为中点，，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，、平面，平面.‎ ‎，平面，且，‎ ‎，因此，.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及多面体体积的计算，在计算多面体体积时，一般有以下几种方法：（1）直接法；（2）等体积法；（3）割补法.在计算几何体体积时，要结合几何体的结构选择合适的方法进行计算，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.已知，，.若函数的最小值为2.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎【答案】(1)2；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)先根据绝对值三角不等式得的最小值为 ，再根据，，得结果.(2)先构造，再利用均值不等式可得结论.‎ 详解：‎ ‎（1）∵ ，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ ‎∴ 最小值为，∴ .‎ ‎（2）由（1）可知，，且，，都是正数，‎ 所以，‎ ‎ ‎ 当且仅当时，取等号，‎ 所以得证.‎ 点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b ‎)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.‎ ‎21.已知函数（）.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设函数，若存在，使得成立，求实数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得出的值，求出，即可得出曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）将参数分离出来，构造函数，利用导数求出即可得到的最大值.‎ ‎【详解】（1）当时，，则 ‎，则 所以曲线在点处的切线方程为 ‎ ‎（2）存在，使得成立 即存在，使得成立 则存在，使得 ‎ 令 ，‎ ‎ ‎ 所以函数在区间上单调递增，即 所以，即的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求参数的最值等知识，考查学生综合运用知识分析和解决问题的能力，运算求解的能力.‎ ‎22.已知函数 (是自然对数的底数).‎ ‎(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；‎ ‎(2)当时，记，其中为导函数.证明：对任意，.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得，由，得，令，利用导数求得，进而求得参数的取值范围；‎ ‎ (2) 当时，得，令，利用导数求解函数的单调性和最值，得，进而证得结论．‎ ‎【详解】(1)由得，，‎ 由得.‎ 令，则 令的，‎ 当时，，递减；‎ 当时，，递增.‎ 则的取值范围取值范围是. ‎ ‎(2) 当时，，‎ 令，‎ 所以 令得.‎ 因此当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减.‎ ‎.‎ 即 又时，‎ 故)，‎ 则，‎ 即对任意，‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎