新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题 16页

数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知,则下列推理中正确的是 (　 　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于A，当时不成立；对于B，当时不成立；对于D，当均为负值时，不成立，对于C，因为在上单调递增，由，又因为，所以即，正确；综上可知，选C.‎ 考点：不等式的性质.‎ ‎2.“x＜﹣‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的充分而不必要条件．‎ 解：∵“x＜﹣‎1”‎⇒“x2﹣1＞‎0”‎，‎ ‎“x2﹣1＞‎0”‎⇒“x＜﹣1或x＞‎1”‎．‎ ‎∴“x＜﹣‎1”‎是“x2﹣1＞‎0”‎的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．‎ ‎3.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，，且，解得，故A正确．‎ 考点：椭圆的方程及基本性质 ‎4.下列命题中，真命题是（ ）‎ A. B. ‎ C. 的充要条件是 D. 是的充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ A：根据指数函数的性质可知 恒成立，所以A错误． B：当 时， ，所以B错误． C：若 时，满足 ，但 不成立，所以C错误．‎ D： 则 ，由充分必要条件的定义，，是 的充分条件，则D正确． 故选D．‎ ‎5.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分类讨论，结合不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】a=2时，不等式可化为﹣4＜0对任意实数x均成立；‎ a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，等价于，‎ ‎∴﹣2＜a＜2．‎ 综上知，实数a的取值范围是（﹣2，2]．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎6.已知变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．‎ 由，解得A(2,0)；‎ 由，解得B(，3)．‎ ‎∴zmax＝3×2－0＝6，zmin＝3×－3＝－.‎ ‎∴z＝3x－y的取值范围是[－，6]．‎ ‎7.已知，，，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. ‎12 ‎C. 18 D. 24‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由展开后利用基本不等式求得最小值。‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是18。‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题方法是“‎1”‎的代换，主要是配凑出基本不等式中的“定值”，注意要得到最值，还要满足“相等”的条件，否则等号取不到。‎ ‎8.椭圆的一条弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．‎ ‎【详解】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），‎ 则有①，②，‎ ‎①﹣②式可得： ‎ 又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，‎ ‎∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0‎ 即得kEF=‎ ‎∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．解决直线与椭圆的位置关系,常见方法有：涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎9.若为不等式组表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．‎ 解答：解：如图，不等式组表示平面区域是△AOB，‎ 动直线x+y=a（即y=-x+a）在y轴上的截距从-2变化到1．‎ 知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形，△OEC是直角边为1等腰直角三角形，‎ 所以区域的面积S阴影=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=‎ 故选D．‎ ‎10.设、是满足的正数，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求得的最大值，然后利用对数的运算性质可求得的最大值.‎ ‎【详解】、均为正数，且，由基本不等式可得，‎ 所以，，当且仅当，时，等号成立，‎ 所以，，即的最大值是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.双曲线的方程为：，该双曲线的虚轴长为4,离心率,、分别是它的左、右焦点,若过的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与的等差中项,则等于( )‎ A. B. C. D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析：双曲线的方程为，利用双曲线的定义可以得到，，由等差中项的定义可得;因此,最后求出.‎ ‎【详解】因为，所以 ，‎ 又，故，‎ 所以，‎ 由双曲线的定义可知：，‎ 因为是与的等差中项，‎ 所以，‎ 故，‎ 即，‎ 故选A.‎ 点睛：一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.‎ ‎12.从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且是坐标原点，则该椭圆的离心率是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可求得点P的坐标，由，从而可得答案．‎ 详解】依题意，设，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎，即，‎ ‎．‎ 设该椭圆的离心率为e，则，‎ 椭圆的离心率．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.不等式的解为 ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：，∴不等式的解集是.‎ 考点：解不等式.‎ ‎14.命题“，使得”的否定是 ‎【答案】，都有 ‎【解析】‎ 试题分析：由命题的否定，可得“，都有”‎ 考点：命题的否定 ‎15.直线与双曲线相交于、两点，______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，然后利用弦长公式可求得.‎ ‎【详解】设点、，‎ 联立，消去并整理得，‎ 由韦达定理得，，‎ 由弦长公式得.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查直线与双曲线相交所得弦长的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的标准方程为，利用点差法可求得的值，再结合焦点的坐标可求得和的值，由此可得出双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】设点、，‎ 由题意可得，，，‎ 直线的斜率为，‎ 则，两式相减得，‎ 所以，‎ 由于双曲线的一个焦点为，则，，，‎ 因此，该双曲线的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.根据下列条件,求椭圆的标准方程.‎ ‎(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10;‎ ‎(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由焦点坐标确定以及焦点的位置，再由椭圆的定义得出，即可得出椭圆方程；‎ ‎(2)由焦点坐标确定以及焦点的位置，再由椭圆的定义以及两点间距离公式求出，即可得出椭圆方程.‎ ‎【详解】(1)由椭圆的焦点坐标可知，，且焦点在轴上 由椭圆的定义得，‎ 则 ‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎(2)由椭圆的焦点坐标可知，，并且焦点在轴上 ‎，‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及基本性质，属于中档题.‎ ‎18.（1）已知，求的最小值；‎ ‎（2）已知，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值；‎ ‎（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.‎ ‎【详解】（1），，而，‎ 当且仅当，即当时，该函数取得最小值；‎ ‎（2），，则，‎ 当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对函数解析式变形，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的标准方程求得椭圆的焦距，可得出所求双曲线的焦距，并设所求双曲线的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，求得和的值，由此可求得所求双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】椭圆的焦距为，‎ 设双曲线方程为，则，‎ 故所求双曲线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解答的关键就是得出关于、的方程组，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．‎ ‎【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；‎ ‎①若命题p正确，则△＝（‎2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；‎ ‎②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，‎ ‎∵p∨q为真，而p∧q为假，‎ ‎∴p、q一真一假，‎ 当p真q假时，有，‎ ‎∴﹣2＜a≤1；‎ 当p假q真时，有，‎ ‎∴a≥2‎ ‎∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．‎ 即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)求证：；‎ ‎(3)求△F1MF2的面积．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；‎ ‎(2)根据题意求出，，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；‎ ‎(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.‎ ‎【详解】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.‎ ‎(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.‎ ‎(3)的底.由(2)知.所以的高，所以 ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.‎ ‎22.如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率 ‎，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程．‎ ‎（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直线方程为：椭圆方程为；（2）假若存在这样的值，由．‎ ‎．要使以为直径的圆过点当且仅当时 存在，使得以为直径的圆过点．‎ 试题解析：（1）直线方程为：．‎ 依题意解得 ‎∴ 椭圆方程为 ‎（2）假若存在这样的值，由得．‎ ‎． ①‎ 设，、，，则②‎ 而．‎ 要使以为直径的圆过点，当且仅当时，则，即．‎ ‎． ③‎ 将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．‎ 综上可知，存在，使得以为直径的圆过点．‎ 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.‎