北京市第四中学2019届高三高考调研卷文科数学试题（一）（解析版） 16页

北京市第四中学2019年高考调研卷文科数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图象可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可 ‎【详解】由Venn图可知阴影部分对应的集合为，‎ 或，0，1，，‎ ‎，‎ 即， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎2.复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：化简复数z，写出它的虚部即可．‎ 详解：∵复数z====﹣i，‎ ‎∴z的虚部是﹣1．‎ 故选：D．‎ 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到正方形的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．‎ 详解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C 的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 则S阴影=2π，‎ 则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：‎ P=1﹣=1﹣π，‎ 故选：A．‎ 点睛：几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.‎ ‎4.阅读如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的k值是（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由程序框图知第一次运行；第二次运行；…∴第次运行 ‎ ，当输入时，由得，程序运行了次，输出的值为．‎ 考点：程序框图.‎ ‎5.已知三棱柱的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角（如图①所示，，，分别是三边的中点）后得到的几何体如图②，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 因为平面平面，‎ ‎ 所以几何体的左视图为直角梯形，且直角腰在左视图的左侧，故选A．‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每天行走的里程数是公比为的等比数列，且前和为，故可求出数列的通项后可得.‎ ‎【详解】设每天行走的里程数为，则是公比为的等比数列，‎ 所以，故（里），所以（里），选C.‎ ‎【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题.‎ ‎7.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正弦定理可得，可得，，由，可得，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得由，可得，故选D.‎ ‎8.已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得.‎ 故选B．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．‎ ‎9.若变量，满足不等式组则的最大值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 表示到的斜率，‎ 由可行域可知，过点或时，斜率最大，即。‎ 点睛：本题考查线性规划的应用。首先要正确表示可行域，特别是区域的判断，一般利用特殊点法。然后要掌握线性最值的求解，一般是直线平移，本题考查的几何性质是两点斜率，要掌握常见的几种几何性质。‎ ‎10.如图，有5个全等的小正方形，，则的值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎ 由平面向量的运算可知，而，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 注意到不共线，且，‎ ‎ 即，所以，即．‎ ‎11.已知四棱锥的外接球为球，底面是矩形，面底面，且，，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设球心为，半径为，到底面的距离为， ∵四棱锥的底面是矩形，侧面是等边三角形，且有侧面底面， ∴四棱锥的高为，底面矩形外接圆半径为， ∴， ∴，∴，‎ ‎∴四棱锥的外接球表面积为，故答案为.‎ ‎12.如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若，，设的面积为，正方形的面积为，当固定，变化时，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，令，则，，函数在上递减，因此当时，有最小值，，此时，当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.‎ ‎13.如图所示，格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图可得：该几何体为边长为2的正方体中挖去一个圆锥，数形结合可得答案．‎ ‎【详解】解：该几何体直观图为边长为2的正方体中挖去一个如图所示的圆锥，‎ ‎∴该几何体的表面积为S＝6×22+π×1π＝24+π（1），‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键，属于中档题．‎ ‎14.已知首项为2的数列的前项和满足： ，记，当取得最大值时， 的值为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 因为，所以，所以.所以，‎ 因为，所以，‎ 所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，‎ 所以，即，‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即.‎ 所以，‎ 因为对称轴，所以当时，取得最大值 故答案为：8.‎ 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：‎ ‎（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；‎ ‎（2）可以用或；‎ ‎（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.设数列{an}的前n项之和为，数列{bn}满足.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}前n项之和Tn.‎ ‎【答案】（1） ； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系，两式作差即可得出；‎ ‎（2），利用“分组求和法”与“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【详解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3，‎ 由得 ‎∴an＝Sn－Sn－1＝3n(n≥2)‎ 又a1也符合，‎ ‎∴an＝3n(n∈N＋)‎ ‎(2) ‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了“分组求和法”、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.函数在它的某一个周期内的单调减区间是．将的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为 ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值为1，最小值为 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据已知及周期公式求得的值，然后求出的值，从而可求出的解析式，进而得到确定的单调性，然后求出最值 解析：（1）,又 ‎， ‎ ‎ ‎ ‎（2） g(x)在为增函数，在上为减函数，所以，,故函数在上的最大值和最小值分别为1和- ‎ ‎17.已知长轴长为4的椭圆过点，点是椭圆的右焦点.‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)是否在轴上的定点，使得过的直线交椭圆于两点.设点为点关于轴的对称点，且三点共线？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在定点满足条件.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据题意得到和，从而得椭圆方程；‎ ‎（2）设，直线方程为，与椭圆联立得，设，，则，由三点共线有：，即，结合韦达定理即可得解.‎ 详解：‎ ‎（1） ， ，点代入 有：‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）存在定点满足条件：设，直线方程为，联立 消有，设，，则 ‎，且 ‎ 由三点共线有：‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ 存在定点满足条件.‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力.‎ ‎18.如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎（2）求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过补形法得到异面直线A1E与C1F所成的角，利用余弦定理求解；‎ ‎（2）证明平面，然后利用等积法求四面体的体积．‎ ‎【详解】（1）在正方体中，延长至，使，则.‎ ‎∴.‎ ‎∴为异面直线与所成的角.‎ 在中，，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）在上取一点，使.‎ ‎∴，从而，平面，‎ ‎∴ .‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查了利用等积法求多面体的体积，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．‎ ‎19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．‎ 表中，．‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；‎ ‎（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且．已知点的声音能量等于声音能量与之和．请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据散点图，可知（2）利用回归系数公式先求出D关于w的回归方程，再转化为D关于I的回归方程；‎ ‎（3）利用对数的运算性质和基本不等式求出I的最小值，计算的最小值，从而作出判断．‎ 详解：（1）更适合．‎ ‎（2）令，先建立关于的线性回归方程，‎ 由于，‎ ‎∴，‎ ‎∴关于的线性回归方程是，即关于的回归方程是．‎ ‎（2）点的声音能量，∵，‎ ‎∴ ，‎ 根据（1）中的回归方程，点的声音强度的预报值 ‎，‎ ‎∴点会受到噪声污染的干扰．‎ 点睛：求线性回归直线方程的步骤 ‎（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；‎ ‎（2）求系数：公式有两种形式，即 ‎。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；‎ ‎（3）求： ；‎ ‎（4）写出回归直线方程．‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）若时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若，证明：函数有且只有一个零点；‎ ‎（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小值；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）当时，得到，求得，得出函数的单调性，即可求解函数的最小值.‎ ‎（2）由，得 ，分类讨论，即可证得当时，函数在上有零点.‎ ‎（3）由（2）知，设这个零点为，求得函数在上单调递减；在上单调递增，要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，‎ 即，求得，再作出证明即可.‎ 详解：（1）当时，，‎ ‎∴ .‎ 令，得，当时，；‎ 当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴当时，有最小值.‎ ‎（2）由，得 ，‎ ‎∴当时，，函数在上单调递减，‎ ‎∴当时，在上最多有一个零点.‎ ‎∵当时，，，‎ ‎∴当时，函数在上有零点.‎ 综上，当时，函数有且只有一个零点.‎ ‎（3）由（2）知，当时，在上最多有一个零点.‎ ‎∵有两个零点，∴.‎ 由，得.‎ 令，∵，，‎ ‎∴在上只有一个零点，‎ 设这个零点为，当时，，；‎ 当时，，；‎ ‎∴函数在上单调递减；在上单调递增，‎ 要使函数在上有两个零点，只需要函数的极小值，‎ 即.‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ 可得，又∵在上是增函数，且，‎ ‎∴，，由，‎ 得 ，‎ ‎∴，即.‎ 以下验证当时，函数有两个零点.‎ 当时，，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，且，‎ ‎∴函数在上有一个零点.‎ 又∵ （因），且，‎ ‎∴在上有一个零点，‎ ‎∴当时，函数在内有两个零点.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎