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- 2024-01-23 发布
周口中英文学校2017-2018年下学期高二第一次月考试题
数学(理科)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题 (共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的)
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
A. y′=2xcosx－x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx
C. y′=x2cosx－2xsinx D. y′=xcosx－x2sinx
2.下列结论中正确的是（ ）
A. 导数为零的点一定是极值点
B. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
3. 函数 有（ ）
A.极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C.极小值－1，极大值3 D. 极小值－2，极大值2
4. 函数在区间内是减函数，则应满足（ ）
Ａ．且 Ｂ．且 Ｃ．且 Ｄ．且
5. 如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（ ）
A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J
6． 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7.函数f(x)＝cos2 x－2cos2 的一个单调增区间是( )
A. B.
C. D.
8.经过原点且与曲线y＝相切的切线方程为( )
A．x＋y＝0
B．x＋25y＝0
C．x＋y＝0或x＋25y＝0
D．以上皆非
9.一点沿直线运动，如果由始点起经过t s后距离为s＝ t4－ t3＋2 t2，那么速度为零的时刻是( )
A．1 s末 B．0 s
C．4 s末 D．0,1,4 s末
10. 如果曲线y=f(x)在点处的切线方程为x+2y-3=0，那么（ ）
A.f ′(x)>0 B.f ′(x)=0 C.f ′(x)<0 D不存在
11.已知函数f (x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f (x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m＞ C．m≤ D．m＜
12.已知函数f (x)的导函数f ′(x)＝a(x－b)2＋c的图象如图所示，则函数f (x)的图象可能是( )
二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分)
13.函数y＝的导数为 .
14.若f(x)＝x3－f′(1) x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
15.若函数f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．
16.物体的运动方程是s = －t3＋2t2－5,则物体在t = 3时的瞬时速度为______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. 求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。
18.设函数f (x)=2x3−3(a+1) x2+6ax+8,其中a∈R.已知f (x)在x=3处取得极值。
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f (x)在点A(1,16)处的切线方程。
19.设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求常数a，b；
(2)试判断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由．
20.设函数f (x)＝ln x＋ln(2－x)＋a x(a>0)．
(1)当a＝1时，求f (x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为，求a的值．
21.若函数f (x)=a x2+2 x−4/3 ln x在x=1处取得极值。
(1)求a的值；
(2)求函数f (x)的单调区间及极值。
22.设函数 f (x)=t x2+2 t2x+t−1(x∈R,t>0).
(1)求f (x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<−2t+m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围。
周口中英文学校2017-2018年下学期高二第一次月考
数学(理科)试题答案
一、选择题
1-5.ABCBD 6-10 AADDC 11-12 AD
二、填空题
13. 14 .
15. [0，+) 16.3
17.
18.(1)∵f(x)=2x3−3(a+1)x2+6ax+8，
∴f′(x)=6x2−6(a+1)x+6a，
又∵f(x)在x=3处取得极值，
∴f′(3)=6×9−6(a+1)×3+6a=0，解得a=3.
∴f(x)=2x3−12x2+18x+8；
(2)A(1,16)在f(x)上，
由(1)可知f′(x)=6x2−24x+18，
f′(1)=6−24+18=0，
∴切线方程为y=16.
19.f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
(1)由极值点的必要条件可知：
f′(－2)＝f′(4)＝0，即
解得a＝－3，b＝－24.
或f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x＋2)(x－4)
＝3x2－6x－24，
也可得a＝－3，b＝－24.
(2)由f′(x)＝3(x＋2)(x－4)．
当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜4时，f′(x)＜0.
∴x＝－2是极大值点，而当x＞4时，f′(x)＞0，
∴x＝4是极小值点．
20.函数f(x)的定义域为(0,2)，
f ′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f ′(x)＝，∴当x∈(0，)时，f ′(x)>0，当x∈(，2)时，f ′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)；
(2)当x∈(0,1]时，f ′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
21.
(1)∵函数f(x)=ax2+2x−43lnx在x=1处取得极值，
∴f′(1)=0，
又f′(x)=2ax+2−43x，
∴2a+2−43=2a+23=0,解得：a=−13；
(2)f(x)=−13x2+2x−43lnx，
函数的定义域为(0,+∞)，
由f′(x)=−23x−43x+2=−2x2+6x−43x=23x(−x2+3x−2)=0，
解得：x1=1,x2=2.
∴当x∈(0,1),(2,+∞)时,f′(x)<0；
当x∈(1,2)时,f′(x)>0.
∴f(x)的单调减区间为x∈(0,1),(2,+∞)；
单调增区间为x∈(1,2).
f(x)的极小值为f(1)=−13+2−43ln1=53；
f(x)的极大值为f(2)=−13×22+2×2−43ln2=83−43ln2.
22.
(Ⅰ)∵f(x)=t(x+t)2−t3+t−1(x∈R,t>0)，
∴当x=−t时,f(x)取最小值f(−t)=−t3+t−1，
即h(t)=−t3+t−1；
(Ⅱ)令g(t)=h(t)−(−2t+m)=−t3+3t−1−m，
由g′(t)=−3t2+3=0得t=1,t=−1(不合题意,舍去)
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
+
0
−
g(t)
递增
极大值1−m
递减
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1−m
h(t)<−2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，
即等价于1−m<0
所以m的取值范围为m>1.