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- 2024-01-23 发布
2017-2018学年河北省辛集市第一中学高二上学期第四次月考
数学
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分
1．设，，则A∪B=（ ）
A. {x|﹣1＜x＜0} B. {x|x≥1} C. {x|x＞0} D. {x|x＞﹣1}
2．已知z∈C，若，则z所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数的最小正周期和振幅分别是（ ）
A. ，1 B. ，2 C. ，1 D. ，2
4．函数的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 2.5
5．已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（ ）
A．B．4 C．2 D．3
6．若是方程的根，则所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
7．已知向量， ，则向量与的夹角为（ ）
A. 135° B. 60° C. 45° D. 30°
8．已知m为一条直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是 （ ）A.若m∥α，α∥β，则m∥β B. 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
C. 若m∥α，α⊥β，则m⊥β D. 若m⊥α，α∥β，则m⊥β
9．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”
的推论.主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和.是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第项为（ ）
A. B. C. D.
10．设f(x)＝则等于( )
A. B. C. D. 不存在
11．如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12 .设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（每题5分，共计20分）
13．已知，则的值为__ ____．
14．已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于____．
15. 若直线始终平分圆M：的周长，则的最小值为_________.
16.已知， 分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是_____________
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足且.
（1）求的值；
（2）若数列为等差数列，请求出实数；
18.（满分10分）设.
(1)求的单调递增区间；
(2)锐角中，角的对边分别为，若，，，求
的值.
19.（满分12分）如图和均为等腰直角三角形， ， ，平面平面， 平面， ，
（1）证明： ；
（2）求二面角的余弦值.
20. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程.
（2）若是两个不相等的正数，且，试比较与2的大小，并说明理由.
21. 已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.
22.（满分12分）已知函数，（）.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围.
参考答案
DAADC CCDBC CD
13. 14. 15. 16 16.
17. 已知数列满足且.
（1）求的值；
（2）若数列为等差数列，请求出实数；
（3）求数列的通项公式及前项和为.
（1）∵，，，.
（2）∵为等差数列，
∴，[ ]
，
.
18. （1）由题意知
，……………………………………………….3分
由 可得
所以函数 的单调递增区间是…………………6分
（2）由得，又为锐角，所以 ……………8分
由余弦定理得： ，即，.………………….10分
即 ，而，所以………………….12分
19. 解析：（1）证明：设的中点为，连结，
因为为等腰直角三角形， ，
所以，
又 ，
所以平面.………………….2分
因为平面⊥平面，平面平面，
平面，
所以 ⊥平面
又平面，所以.
所以可确定唯一确定的平面. .………………….4分
又平面, . .…………………5分
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， . .………………….6分
设平面的法向量，
则，即，令，得，.…………………8分
设平面的法向量，
则，即，令，得，.…………………10分
设二面角平面角为，则，.………………11分
所以二面角的余弦值为． .………………….12分
20．（1）
（2）
20. 解：（1）由已知，得，，
又，
故解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1），知，如图，
易知直线不能平行于轴.
所以令直线的方程为，
，.
联立方程，
得，
所以，.
此时，
同理，令直线的方程为，
，，
此时，，
此时.
故.
所以四边形是平行四边形.
若是菱形，则，即，
于是有.
又，
，
所以有，
整理得到，
即，上述关于的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.
22. （1）由题意，得的定义域为，
. ….………………….2分
，∴、随的变化情况如下表：
0
单调递减
极小值
单调递增
所以. ….…………………4分
在上恒成立，∴.….………………….5分
（2）函数在上有两个零点，等价于方程在上有两个解.
化简，得. ….………………….6分
设. 则，
， 、随的变化情况如下表:
1
3
单调递增
单调递减
单调递增
….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分
且， ， ，
. ….………………….10分
所以，当时， 在上有两个解.
故实数的取值范围是.….………………….12分