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- 2024-01-08 发布
必修 1 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等
概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选
择．
考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；
②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．
经典例题：若 x∈R，则｛3，x，x2－2x｝中的元素 x 应满足什么条件?
当堂练习
1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班个子较高的同学 B．长寿的人 C． 2 的近似值 D．倒数等于它
本身的数
2 下面四个命题正确的是（ ）
A．10 以内的质数集合是{0，3，5，7} B．由 1，2，3 组成的集合可表示为{1，2，3}
或{3，2，1}
C．方程 2 2 1 0xx 的解集是{1，1} D．0 与{0}表示同一个集合
3． 下面四个命题： （1）集合 N 中最小的数是 1； （2）若 -aZ，则 aZ；
（3）所有的正实数组成集合 R+；（ 4）由很小的数可组成集合 A；
其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程 x2-3x+5=0 的解集是空集；
（3）方程 x2-6x+9=0 的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0 的解集是无限集；
其中正确的命题有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )
A． {x,y 且 0, 0xy} B． {(x,y) }
C. {(x,y) } D. {x,y 且 }
6．用符号 或 填空：
0__________{0}， a__________{a}， __________Q， 2
1
__________Z，
－1__________R， 0__________N， 0 ．
7．由所有偶数组成的集合可表示为{ xx }．
8．用列举法表示集合 D={
2( , ) 8, ,x y y x x N y N }为 ．
9．当 a 满足 时, 集合 A＝{ 3 0,x x a x N }表示单元集．
10．对于集合 A＝{2，4，6}， 若 aA，则 6－a A，那么 a 的值是__________．
11．数集{0，1，x2－x}中的 x 不能取哪些数值？
12．已知集合 A＝{x N|
12
6 x－ N }，试用列举法表示集合 A．
13.已知集合 A={
2 2 1 0, ,x ax x a R x R }.
(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.
14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a A, a 1,则
1
1
A
a
,证明：
（1）若 2 A，则集合 A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素；
（2）非空集合 A 中至少有三个不同的元素。
必修 1 §1.2 子集、全集、补集
重难点：子集、真子集的概念；元素与子集，属于与包含间的区别；空集是任何非空集合的
真子集的理解；补集的概念及其有关运算．
考纲要求：①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
②在具体情景中，了解全集与空集的含义；
③理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
经典例题：已知 A=｛x|x=8m+14n，m、n∈Z｝， B=｛x|x=2k，k∈Z｝，问：
（1）数 2 与集合 A 的关系如何?
（2）集合 A 与集合 B 的关系如何?
当堂练习：
1．下列四个命题：① ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的
子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2．若 M＝{x｜x＞1}，N＝{x｜x≥a}，且 N M，则（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
3．设 U 为全集，集合 M、N U，且 M N，则下列各式成立的是（ ）
A． u M u N B． u M M
C． u M u N D． u M N
4. 已知全集 U＝{x｜－2≤x≤1}，A＝{x｜－2＜x＜1 ＝，B＝{x｜x2＋x－2＝0}，C＝{x｜
－2≤x＜1 ＝，则（ ）
A．C A B．C u A
C． u B＝C D． u A＝B
5．已知全集 U＝{0，1，2，3}且 u A＝{2}，则集合 A 的真子集共有（ ）
A．3 个 B．5 个 C．8 个 D．7 个
6．若 A B，A C，B＝｛0，1，2，3｝， C＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合 A
为________．
7．如果 M＝{x｜x＝a2＋1，aN*}，P＝{y｜y＝b2－2b＋2，b N＋}，则 M 和 P 的关系
为 M_________P．
8．设集合 M＝{1，2，3，4，5，6}，A M，A 不是空集，且满足：a A，则 6－a A，
则满足条件的集合 A 共有_____________个．
9．已知集合 A={ 13x }， u A={ | 3 7xx}， u B={ 12x }，则集合
B= ．
10．集合 A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若 B A，则实数 m 的值是 ．
11．判断下列集合之间的关系：
（1）A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}；
（2）A={
2| 2 0x x x },B={ | 1 2xx },C={
2| 4 4x x x };
（3）A={
10|1 10xx },B={
2| 1,x x t t R },C={ | 2 1 3xx};
（4）
11{ | , }, { | , }.
2 4 4 2
kkA x x k Z B x x k Z
12． 已知集合 2| ( 2) 1 0A x x p x x R ， ，且 A {负实数}，求实数 p 的取值范围．
13．.已知全集 U={1,2,4,6,8,12},集合 A={8,x,y,z},集合 B={1,xy,yz,2x},其中 6,12z ,若 A=B,
求 u A.．
14．已知全集 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{xU|x2－5qx＋4＝0，q R}．
（1）若 u A＝U，求 q 的取值范围；
（2）若 u A 中有四个元素，求 u A 和 q 的值；
（3）若 A 中仅有两个元素，求 u A 和 q 的值．
必修 1 §1.3 交集、并集
重难点：并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系．
考纲要求：①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
②能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算．
经典例题：已知集合 A= 2
0,x x x B= 2
2 4 0 ,x ax x 且 A B=B，求实数 a 的取值范
围．
当堂练习：
1．已知集合 22
2 0 , 0 , 2M x x px N x x x q M N 且 ，则 qp, 的值为 （ ）．
A． 3, 2pq B． 3, 2pq C． 3, 2pq D． 3, 2pq
2．设集合 A＝｛（x，y）｜4x＋y＝6｝， B＝｛（x，y）｜3x＋2y＝7｝，则满足 C A∩B 的
集合 C 的个数是（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知集合 | 3 5 | 1 4 1A x x B x a x a ， ， A B B且 ，
B ，则实数 a 的取值范围是（ ）．
. 1 . 0 1A a B a
. 0 . 4 1C a D a
4.设全集 U=R，集合
()( ) 0 , ( ) 0 , 0
()
fxM x f x N x g x
gx
则方程
的解集是（ ）．
A． M B． M ∩（ u N） C． ∪（ u N） D． MN
5.有关集合的性质:(1) u(A B)=( u A)∪（ u B）; (2) u(A B)=( u A) （ u B）
(3) A ( uA)=U (4) A ( uA)= 其中正确的个数有（ ）个．
A.1 B． 2 C．3 D．4
6．已知集合 M＝｛x｜－1≤x＜2＝，N＝｛x｜x—a≤0｝，若 M∩N≠ ，则 a 的取值范围
是 ．
7．已知集合 A＝｛x｜y＝x2－2x－2，x∈R｝， B＝｛y｜y＝x2－2x＋2，x∈R｝，则 A∩B
＝ ．
8．已知全集 1, 2, 3, 4, 5 ,UA且 ( u B) 1, 2 , ( 2 u A) 4, 5B , ,AB
则 A= ，B= ．
9．表示图形中的阴影部分 ．
10.在直角坐标系中,已知点集 A= 2
( , ) 2
1
y
xy
x
,B= ( , ) 2x y y x ,则
( uA) B= ．
11．已知集合 M= 2 2 2
2, 2, 4 , 3, 2, 4 6 , 2a a N a a a a M N 且 ,求实数 a 的的值．
12．已知集合 22
0 , 6 0 , ,A x x bx c B x x mx A B B A 且 B = 2 ，求实数 b,c,m
的值．
13. 已知 A B={3}, ( uA) ∩ B={4,6,8}, A ∩ ( uB)={1,5},( u A) ∪
A B
C
( uB)={
*10, , 3x x x N x },试求 u(A∪B)，A，B．
14.已知集合 A= 2
40x R x x ，B= 22
2( 1) 1 0x R x a x a ，且 A∪B=A，试求 a 的取
值范围．
必修 1 第 1 章 集 合
§1.4 单元测试
1．设 A={x|x≤4}，a= 17 ，则下列结论中正确的是（ ）
（A）{a} A （B）a A （C）{a}∈A （D）aA
2．若{1，2} A {1，2，3，4，5}，则集合 A 的个数是（ ）
（A）8 （B）7 （C）4 （D）3
3．下面表示同一集合的是（ ）
（A）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B）M={1，2}，N={（1，2）}
（C）M= ，N={ } （D）M={x|
2 2 1 0}xx ,N={1}
4．若 P U，Q U，且 x∈CU（P∩Q）， 则（ ）
（A）x P 且 x Q （B）x P 或 x Q （C）x∈CU(P∪Q) （D）x∈CUP
5． 若 M U，N U，且 M N，则（ ）
（A）M∩N=N （B）M∪N=M （C）CUN CUM （D）CUM CUN
6．已知集合 M={y|y=－x2+1,x∈R}，N={y|y=x2,x∈R},全集 I=R，则 M∪N 等于（ ）
（A）{(x,y)|x=
21, , }
22
y x y R ，
（B）{(x,y)|x
21, , , }
22
y x y R
（C）{y|y≤0,或 y≥1} （D）{y|y<0, 或 y>1}
7．50 名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格 40 人和 31 人,两项测
试均不及格的有 4 人,则两项测试成绩都及格的人数是( )
（A）35 （B）25 （C）28 （D）15
8．设 x,yR,A= ( , )x y y x ,B=
( , ) 1yxy
x
,则 A、B 间的关系为（ ）
（A）A B （B）B A （C）A=B （D）A∩B=
≠
≠
9． 设全集为 R，若 M= 1xx ，N= 05xx ，则（CUM）∪（CUN）是（ ）
（A） 0xx （B） 15x x x或 （C） 15x x x或 （D） 05x x x或
10．已知集合 { | 3 1, }, { | 3 2 , }M x x m m Z N y y n n Z ，若 00,,x M y N 则
00 yx 与集合 ,MN的关系是 （ ）
（A） M 但 N （B） N 但 M （C） 且 （D） 且
11．集合 U，M，N，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
（A）M∩（N∪P） （B）M∩CU（N∪P）
（C）M∪CU（N∩P） （D）M∪CU（N∪P）
12．设 I 为全集，A I,B A,则下列结论错误的是（ ）
（A）CIA CIB （B）A∩B=B （C）A∩CIB = （D） CIA∩B=
13．已知 x∈{1，2，x2}，则实数 x=__________．
14．已知集合 M={a,0}，N={1，2}，且 M∩N={1}，那么 M∪N 的真子集有 个．
15．已知 A={－1，2，3，4}；B={y|y=x2－2x+2,x∈A},若用列举法表示集合 B，则
B= ．
16．设 1 , 2 , 3 , 4I ， A 与 B 是 I 的子集，若 2 , 3AB ，则称 ( , )AB 为一个“理
想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定 ( , )AB 与 ( , )BA是两
个不同的
“理想配集”）
17．已知全集 U={0，1，2，…，9}，若(CUA)∩(CUB)={0，4，5}，A∩(CUB)={1，2，8}，
A∩B={9}，
试求 A∪B．
18．设全集 U=R,集合 A= 14xx ,B= 1,y y x x A ,试求 CUB, A∪B, A∩B,A∩
(CUB), ( CU A) ∩(CUB)．
19．设集合 A={x|2x2+3px+2=0}；B={x|2x2+x+q=0}，其中 p，q，x∈R，当 A∩B= 1
2 时，
求 p 的值
和 A∪B．
N
U
P M
20．设集合 A=
2
2
( , ) 4 6
4
2
x y y x x
b b ac
a
,B= ( , ) 2x y y x a,问：
(1) a 为何值时,集合 A∩B 有两个元素；
(2) a 为何值时,集合 A∩B 至多有一个元素．
21．已知集合 A= 1 2 3 4, , ,a a a a ，B= 2 2 2 2
1 2 3 4, , ,a a a a ，其中 1 2 3 4, , ,a a a a 均为正整数，且
1 2 3 4a a a a ，A∩B={a1,a4}, a1+a4=10, A∪B 的所有元素之和为 124,求集合 A 和 B．
22．已知集合 A={x|x2－3x+2=0},B={x|x2－ax+3a－5},若 A∩B=B，求实数 a 的值．
参考答案
第 1 章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
经典例题：解：由集合中元素的互异性知
2
2
3,
3 2 ,
2,
x
xx
x x x
解之得 x≠－1，且 x≠0，且 x≠3．
当堂练习：
1. D; 2. B; 3. A;4. C;5. B;6.、 、、 、 、 、 ; 7. { 2,x x n n Z};
8. {(0,8),(1,7),(2,4)};9. 36a;10. 2 或 4;
11.因为数集中的元素是互异的，所有
2
2
0
1
xx
xx
－ ，
－ ． ∵x2－x＝0 的解是 x＝0 或 x＝1，
∴x2－x≠0 的解是 x≠0 或 x≠1； ∵x2－x＝1 的解是 x＝
15
2
－
或 x＝
15
2
－
， ∴
x2－x≠1 的解为 x≠
15
2
－
且 x≠
15
2
－
； 因此，x 不能取的数值是 0，1，
15
2
．
12.∵
12
6 x－ N（x N）， ∴6－x＝1，2，3，4，6（x N），即 x＝5，4，3，2，0．故
A＝{0，2，3，4，5}． 13.（1）当 a=0 时，方程 2x+1=0 只有一根
1
2
x
；当 a≠0 时，
△=0,即 4-4a=0，所以 a=1，这时 12 1xx ．所以，当 a=0 或 a=1 时，A 中只有一个元素
分别为
1
2
或-1．（ 2）A 中至多有一元素包括两种情形即 A 中有一个元素和 A 是空集．当 A
是空集时，则有
0
4 4 0
a
a
，解得 a>1；结合（1）知，当 a=0 或 a≥1 时，A 中至多有
一个元素． 14.（1）
1,2
1
； （2）集合 A 非空，故存在 a A, a 1，
1
1
A
a
且
1 1
1 a
，
即 0a 时，有
Aa
a
a
1
1
11
1
，且
1 1a
a
,
1
11
aAa
a
, 三个数为
11,,
1
aa
aa
,
再证这三数两两互不相等即可．
§1.2 子集、全集、补集
经典例题：解：（1）2=8×2+14×（－1），且 2∈Z，－1∈Z，
2=8×（－5）+14×3，且－5∈Z，3∈Z 等．所以 2∈A．
（2）任取 x0∈B，则 x0=2k，k∈Z．∵2k=8×（－5k）+14×3k，且－5k∈Z，3k∈Z，∴
2k∈A，即 B A．
任取 y0∈A，则 y0=8m+14n，m、n∈Z，∴ y0=8m+14n=2（4m+7n），且 4m+7n∈Z.∴8m+14n
∈B，即 A B．
由 B A 且 A B，∴A=B．
当堂练习：
1. B ; 2. A ; 3. A ;4. D ;5. D ;6. ，｛ 0｝，｛2｝，｛0，2｝;7. M P;8. 7. 9. { | 2 7xx};10. m
＝0 或
1
3 或－
1
2 ;
11. （1）A B C.（2） { 1 2}, {2}AC ， ，C A B.
（3） { | 1}, { | 1}B x x C x x ， A B=C.
（4）
1 2 1 1 2,.
2 4 4 4 2 4
k k k k
当 zk 时，2k+1 是奇数，k+2 是整数，
A B.
12. (1)当 时， {}A 负实数 ，符合条件
由
2( 2) 4 0 4 0pp 解得－
(2) 0 0 4p 当 时， 或
0 1 { }
4 1 { }
0
p x A
p x A
p
当 时，解得 ，满足 负实数
当 时，解得 ，不满足 负实数
(3)当 时，要 {}A 负实数 则
12
12
0
00
0
x x p
xx
解得
综上所述， ．
13.显然 0x ,若 x=1,则 z=2x=2, 从而 2 y=8, y=4,得 A={8,1,2,4}, u A={6, 12};若 y=1,则
2x=8, x=4, 从而 z=2, 得 A={8,1,2,4}, u A={6, 12};若 z=1, 则 xy=8, x=2x,不可能.综上所述,
u A={6, 12}．
14.（1）∵ u A＝U，∴A＝ ，那么方程 x2－5qx＋4＝0 的根 x≠1，2，3，4，5 或无解．
x≠1 时，q≠1，x≠2，q≠
4
5 ；x≠3，4，5 时，q≠
13
15 ，1，
25
29 ．若△＜0，即－ 5
4
＜q＜
时，方程无实根，当然 A 中方程在全集 U 中无实根．综上，q 的取值范围是{q|－
4
5 ＜q＜
4
5
或 q≠1，
4
5 ，
13
15 ，
29
25 ．（ 2）因为 u A 中有四个元素，所有 A 为单元集合，由上一问知
q＝
4
5 时，A＝{2}， u A＝{1，3，4，5}；q＝
13
15 时，A＝{3}， u A＝{1，2，4，5}；q
＝
29
25 时，A＝{5}， u A＝{1，2，3，4}．（ 3）因为 A 为双元素集合，由（1）知 q＝1 时，
A＝{1，4}， u A＝{2，3，5}．
§1.3 交集、并集
经典例题：解： A= 1,0 ，∵A B=B， ∴B A.
若 B= ，则
14 16 0,
4
aa
；若 B= 0 ，则 0 2 －0+4=0，a ；若 B= 1,则 a·1 2 －
2 · 1+4=0,a= － 2, － 2
2 2 4 0xx , 2 2 0, 2,1. 2,1 ,x x x B 不 合 ； 若
B= 0,1 ,
2 01
4 01
a
a
， a . ∴
1
4
a
.
当堂练习：
1. B ; 2. C ; 3. B ;4. B ;5. D ;6.［－1，＋∞］;7.｛y｜－3≤y≤3｝;8. 1,2,3 , 3, 4,5 ;AB
9. ()A B C; 10.{(1,2)};
11. ∵ 2MN ， ∴ 2,N 若 3 2, 1.aa 这时 2,1, 3 , 2,3,11 .MN 若
2 2 2, 0.aa
这时 2 2,a 不符合集合中元素的互异性．若
224 6 2, 4 4 0, 2.a a a a a
这时 M= 2, 4, 0 , 5, 6, 2N ∴ 1, 2.aa 或
12.∵ 2,AB ∴ 2 B ∴
22 2 6 0, 5.mm ∴ 2 5 6 0 2, 3B x x x
∵ ,A B B ∴ .AB 又 ∵ 2AB ∴ 2A
∴ (2 2) 4, 2 2 4bC ∴ 4, 4, 5b c m ．
13. 利 用 韦 恩 图 求 解 得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 从而 u(A ∪ B)= {2,7,9},
A={1,3,5},B={3,4,6,8}．
14. (1)当 B=A 时,可得 a=1;(2)当 B={0}时,得 a=-1; (3)当 B={-4}时,不合题意; (4)当 B= 时,
由 0 得 1a ,综上所述, 1a 或 a=1．
§1.4 单元测试
1.D; 2.B; 3.D; 4.B; 5.C; 6.D; 7.B ; 8.B ; 9.B; 10.B; 11.B; 12.C;
13.0 或 2; 14.7; 15.{2，5，10}; 16. 9;
17．由韦恩图易得：A={1，2，8，9} B={3，6，7，9} A∪B={1，2，3，6，7，8，9}
18.由条件得 B= 05yy ,从而 CUB= 05y y y或 , A∪B= 15yy ,
A∩B= 04yy ,A∩(CUB)= 10yy , (CU A) ∩(CUB)= 15y y y 或
19.∵A∩B={
1
2 }，∴
1
2 ∈A，代入得 p=－
5
3 ∴A={
1
2 ，2}
又∵A∩B={
1
2 }，∴
1
2 ∈B，代入得 q=－1 ∴B={
1
2 ，－1}
则 A∪B={－1,
1
2 ,2}
20. (1)由方程组
2 46
2
y x x
y x a
得 2 2 6 0x x a ,由 0 得 5a ;
(2)由(1)可知 5a .
21.由条件得 a1= a12,从而 a1=1, a4=9, 若 a22= a4=9,则 a2=3,所以 a3+ a32=124-10-3-81=30,
a3=5,符合题意; 若 a32== a4=9,则 a3=3,得 a2=2,这与"A∪B 的所有元素之和为 124"这一条件
矛盾,所以 A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}.
22．A={x|x2－3x+2=0}={1,2} 由 x2－ax+3a－5=0,知Δ =a2－4(3a－5)=a2－12a+20=(a－2)(a
－10)
(1)当 2