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- 2024-01-04 发布
习题
课
导数的应用
第三章 导数应用
明目标
知重点
忆要点
固基础
探题型
提能力
内容
索引
01
02
03
04
当堂测
查疑缺
会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值
(
多项式次数不超过三次
).
明目标
、知重点
忆要点
·
固基础
1.
若函数
y
＝
x
2
－
2
bx
＋
6
在
(2,8)
内是增函数，则
(
)
A.
b
≤
2 B.
b
<2
C.
b
≥
2 D.
b
>2
A
B
3.
设函数
g
(
x
)
＝
x
(
x
2
－
1)
，则
g
(
x
)
在区间
[0,1]
上的最小值为
(
)
解析
g
(
x
)
＝
x
3
－
x
，由
g
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
1
＝
0
，
当
x
变化时，
g
′
(
x
)
与
g
(
x
)
的变化情况如下表：
答案
C
4.
设函数
f
(
x
)
在定义域内可导，
y
＝
f
(
x
)
的图像如图所示，则导函数
y
＝
f
′
(
x
)
的图像可能为
(
)
解析
应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像
.
答案
D
5.
若
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内存在导数，则
“
f
′
(
x
)<0
”
是
“
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内单调递减
”
的
____________
条件
.
解析
对于导数存在的函数
f
(
x
)
，
若
f
′
(
x
)<0
，
则
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
内单调递减，反过来，函数
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内单调递减，不一定恒有
f
′
(
x
)<0
，
如
f
(
x
)
＝－
x
3
在
R
上是单调递减的，但
f
′
(
x
)
≤
0
.
充分不必要
探题型
·
提能力
题型一 函数与其导函数之间的关系
例
1
对正整数
n
，设曲线
y
＝
x
n
(1
－
x
)
在
x
＝
2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n
，则数列
{ }
的前
n
项和的公式是
________.
解析
由
k
＝
y
′
|
x
＝
2
＝－
2
n
－
1
(
n
＋
2)
，
得切线方程为
y
＋
2
n
＝－
2
n
－
1
(
n
＋
2)(
x
－
2)
，
令
x
＝
0
，求出切线与
y
轴交点的纵坐标为
y
0
＝
(
n
＋
1)2
n
，
答案
2
n
＋
1
－
2
反思与感悟
找切点，求斜率是求切线方程的关键
.
跟踪训练
1
如图，曲线
y
＝
f
(
x
)
上任一点
P
的切线
PQ
交
x
轴于
Q
，过
P
作
PT
垂直于
x
轴于
T
，若
△
PTQ
的面积
为
，
则
y
与
y
′
的关系满足
(
)
A.
y
＝
y
′
B.
y
＝－
y
′
C.
y
＝
y
′
2
D.
y
2
＝
y
′
答案
D
题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例
2
已知函数
f
(
x
)
＝
ax
3
＋
(
a
－
1)
x
2
＋
48(
a
－
2)
x
＋
b
的图像关于原点成中心对称
.
(1)
求
a
，
b
的值
；
解
∵
函数
f
(
x
)
的图像关于原点成中心对称，
则
f
(
x
)
是奇函数，
∴
f
(
－
x
)
＝－
f
(
x
)
，
得－
ax
3
＋
(
a
－
1)
x
2
－
48(
a
－
2)
x
＋
b
＝－
ax
3
－
(
a
－
1)
x
2
－
48(
a
－
2)
x
－
b
，
于是
2(
a
－
1)
x
2
＋
2
b
＝
0
恒成立，
(2)
求
f
(
x
)
的单调区间及极值
；
解
由
(1)
得
f
(
x
)
＝
x
3
－
48
x
，
∴
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
48
＝
3(
x
＋
4)(
x
－
4)
，
令
f
′
(
x
)
＝
0
，得
x
1
＝－
4
，
x
2
＝
4
，令
f
′
(
x
)<0
，
得－
4<
x
<4
，令
f
′
(
x
)>0
，得
x
<
－
4
或
x
>4.
∴
f
(
x
)
的递减区间为
(
－
4,4)
，递增区间为
(
－
∞
，－
4)
和
(4
，＋
∞
)
，
∴
f
(
x
)
极大值
＝
f
(
－
4)
＝
128
，
f
(
x
)
极小值
＝
f
(4)
＝－
128
.
(3)
当
x
∈
[1,5]
时，求函数的最值
.
解
由
(2)
知，函数在
[1,4]
上单调递减
，
在
[4,5]
上单调递增
，
对
f
(4)
＝－
128
，
f
(1)
＝－
47
，
f
(5)
＝－
115
，
所以
函数的最大值为－
47
，最小值为－
128
.
反思与感悟
(1)
讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解
f
′
(
x
)>0
得增区间，解
f
′
(
x
)<0
得减区间
.
(2)
求极值时一般需确定
f
′
(
x
)
＝
0
的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点
.
(3)
求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得
.
跟踪训练
2
已知函数
y
＝
ax
3
＋
bx
2
，当
x
＝
1
时，有极大值
3.
(1)
求
a
，
b
的值
；
解
y
′
＝
3
ax
2
＋
2
bx
，
当
x
＝
1
时，
y
′
|
x
＝
1
＝
3
a
＋
2
b
＝
0
，
y
|
x
＝
1
＝
a
＋
b
＝
3
，
(2)
求函数的极小值
；
解
y
＝－
6
x
3
＋
9
x
2
，
y
′
＝－
18
x
2
＋
18
x
，
令
y
′
＝
0
，得
x
＝
0
，或
x
＝
1
，
∴
y
极小值
＝
y
|
x
＝
0
＝
0
.
(3)
求函数在
[
－
1,1]
的最值
.
解
由
(1)
知，函数
y
＝
f
(
x
)
＝－
6
x
3
＋
9
x
2
，
又
f
(
－
1)
＝
15
，
f
(0)
＝
0
，
f
(1)
＝
3
，
所以
函数的最大值为
15
，最小值为
0.
题型三 导数的综合应用
例
3
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
ax
－
1.
(1)
若
f
(
x
)
在实数集
R
上单调递增，求
a
的取值范围
；
解
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
a
，
因为
f
(
x
)
在
R
上是增函数，所以
f
′
(
x
)
≥
0
在
R
上恒成立
.
即
3
x
2
－
a
≥
0
在
R
上恒成立
.
即
a
≤
3
x
2
，而
3
x
2
≥
0
，所以
a
≤
0
.
当
a
＝
0
时，
f
(
x
)
＝
x
3
－
1
在
R
上单调递增，符合题意
.
所以
a
的取值范围是
(
－
∞
，
0].
(2)
是否存在实数
a
，使
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，若存在，求出
a
的取值范围，若不存在，请说明理由
.
解
假设
存在实数
a
，使
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，
则
f
′
(
x
)
≤
0
在
(
－
1,1)
上恒成立
.
即
3
x
2
－
a
≤
0
在
(
－
1,1)
上恒成立，即
a
≥
3
x
2
，
又因为在
(
－
1,1)
上，
0
≤
3
x
2
<3
，所以
a
≥
3
.
当
a
＝
3
时，
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
3
，在
(
－
1,1)
上，
f
′
(
x
)<0
，
所以
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，即
a
＝
3
符合题意，
所以存在实数
a
，使
f
(
x
)
在
(
－
1,1)
上单调递减，且
a
的取值范围是
[3
，＋
∞
).
反思与感悟
在已知函数
f
(
x
)
是增函数
(
或减函数
)
求参数的取值范围时，应令
f
′
(
x
)
≥
0(
或
f
′
(
x
)
≤
0)
恒成立，解出参数的取值范围
(
一般可用不等式恒成立来求解
)
，然后检验参数的取值能否使
f
′
(
x
)
恒等于
0
，若不能恒等于
0
，则参数的这个值应舍去；若
f
′
(
x
)
能恒等于
0
，则由
f
′
(
x
)
≥
0(
或
f
′
(
x
)
≤
0)
恒成立解出的参数的取值范围来确定
.
跟踪训练
3
(1)
若函数
f
(
x
)
＝
4
x
3
－
ax
＋
3
的单调递减区间
是
，
则实数
a
的值是多少？
解
f
′
(
x
)
＝
12
x
2
－
a
，
∴
a
＝
3.
(2)
若函数
f
(
x
)
＝
4
x
3
－
ax
＋
3
在
上
是单调函数，则实数
a
的取值范围为多少？
∴
a
≤
(12
x
2
)
min
＝
0.
当
a
＝
0
时，
f
′
(
x
)
＝
12
x
2
≥
0
恒成立
(
只有
x
＝
0
时
f
′
(
x
)
＝
0).
∴
a
＝
0
符合题意
.
∴
a
≥
(12
x
2
)
max
＝
3.
当
a
＝
3
时，
f
′
(
x
)
＝
12
x
2
－
3
＝
3(4
x
2
－
1)
≤
0
恒成立
(
且只有
x
＝
±
时
f
′
(
x
)
＝
0).
因此，
a
的取值范围为
a
≤
0
或
a
≥
3.
1.
若函数
y
＝
x
3
＋
x
2
＋
mx
＋
1
是
R
上的单调函数，则实数
m
的取值范围是
(
)
当堂测
·
查
疑缺
1
2
3
4
解析
若函数
y
＝
x
3
＋
x
2
＋
mx
＋
1
是
R
上的单调函数，只需
y
′
＝
3
x
2
＋
2
x
＋
m
≥
0
恒成立，即
Δ
＝
4
－
12
m
≤
0
，
答案
C
1
2
3
4
2.
设
f
′
(
x
)
是函数
f
(
x
)
的导函数，将
y
＝
f
(
x
)
和
y
＝
f
′
(
x
)
的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是
(
)
1
2
3
4
解析
若函数在给定区间上是增函数
，
则
y
＝
f
′
(
x
)
≥
0
，
若
函数在给定区间上是减函数
，
则
y
＝
f
′
(
x
)
≤
0.
答案
D
1
2
3
4
3.
设
f
(
x
)
、
g
(
x
)
是定义在
R
上的恒大于
0
的可导函数，且
f
′
(
x
)
g
(
x
)
－
f
(
x
)
g
′
(
x
)<0
，则当
a
<
x
<
b
时有
(
)
A.
f
(
x
)
g
(
x
)>
f
(
b
)
g
(
b
) B.
f
(
x
)
g
(
a
)>
f
(
a
)
g
(
x
)
C.
f
(
x
)
g
(
b
)>
f
(
b
)
g
(
x
) D.
f
(
x
)
g
(
x
)>
f
(
a
)
g
(
a
)
1
2
3
4
∴
f
(
x
)
g
(
b
)>
f
(
b
)
g
(
x
).
答案
C
1
2
3
4
4.
函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
x
2
－
2
x
＋
5
，若对于任意
x
∈
[
－
1,2]
，都有
f
(
x
)<
m
，则实数
m
的取值范围是
____
_
_____.
解析
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
x
－
2
，令
f
′
(
x
)
＝
0
，
可判断求得
f
(
x
)
max
＝
f
(2)
＝
7.
∴
f
(
x
)<
m
恒成立时，
m
>7.
(7
，＋
∞
)
1
2
3
4
呈重点、现规律
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决
.
不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法
.
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