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- 2023-12-18 发布
长安一中2017—2018学年度第一学期期中考试
高二级 数学试卷（重点、平行）
时间：100分钟 总分：150分 命题人：赵福存 审题人：谈荣江
一、 选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆上的一点到一个焦点的距离为，则到另一焦点距离是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
2．已知，，则直线通过( ) 象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四
C．第一、三、四 D．第二、三、四
3．命题“”以及它的逆命题、否命题、逆否命题，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．与圆都相切的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．下列说法中正确的是( )
A．“”是“函数是奇函数”的充要条件
B．若，则
C．若为假命题，则均为假命题
D．“若，则”的否命题是“若，则”
7．在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．经过空间内的三个点有且只有一个平面
B．如果直线上有一个点不在平面内，那么直线上所有点都不在平面内
C．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形
D．用一个平面截棱锥，得到的几何体一定是一个棱锥和一个棱台
11．与两圆和都外切的圆的圆心在( )
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为 ( )
A.10 B.8 C. 6 D.5
13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点作直线，交椭圆于，两点，且斜率分别为、，若点，关于原点对称，则的值为( )
A． B． C． D．
14．设为坐标原点，，是的焦点，若在双曲线上存在点，满足，，则该双曲线的渐近线方程为( )
A． B．[.
C． D．
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
15．命题“若，则”的逆否命题是________．
16．已知，若，则＝________.
17．点是双曲线上的动点，是它的右焦点，则线段的中点的轨迹方程为_______________.
18．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点的轨迹为曲线，下列四个结论中，正确结论的序号是_____________．
①曲线关于原点对称；
②曲线关于直线对称；
③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；[]
④曲线上的点到原点距离的最小值为.
三、解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．若抛物线的准线与直线的距离为3，求抛物线的标准方程。
20．已知命题：，命题，若“且”为真命题，求实数的取值范围．
21．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程。
22．如图1，正三角形的边长为，是边上的高，分别为和边上的中点，现将沿翻折成直二面角，如图2.
(1)试判断翻折后的直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求点到平面的距离． 图1 图2
23．已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)如图3，是圆： 的一条直径， 图3
若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
长安一中2017—2018学年度第一学期期中考试
高二级 数学试卷（重点、平行）
时间：100分钟 总分：150分 命题人：赵福存 审题人：谈荣江
一． 选择题： D A B D A D B B C C B B D D
二． 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
15. 若AB，则A∪B≠B 16. －4. 17.2(x－1)2－2y2=1 . 18.②③④
三、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．
20．解：由“且”为真命题，则，都是真命题．
：在上恒成立，只需，所以命题：；
：设，存在使，
只需，即，
所以命题：． 由得或
故实数a的取值范围是或
21． 设焦点在x轴上的椭圆方程为，双曲线方程为，
由已知得
∴椭圆方程为，
若焦点在y轴上，同样可得方程为，。
22. 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a,0,0)，A(0,0，a)，C(0，a,0)，F，E.
(1)＝(a,0，－a)，＝＝(a,0，－a)，
∴＝.∴∥.∴EF∥AB.
又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.
(2)易知＝(a,0,0)是平面ADC的一个法向量．
设平面ACB的一个法向量为n＝(x，y，z)．
而＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，则
令x＝1，得z＝1，y＝，∴平面ACB的一个法向量为n＝.
∴n·＝a.∴cos〈n，〉＝＝.
∴二面角BACD的余弦值为.
(3)平面DEF内的向量＝，＝.[.
设平面DEF的一个法向量为m＝，则
令y＝，则z＝－3，x＝－3.
∴平面DEF的一个法向量m＝(－3，，－3)．又＝(0，a,0)，
∴·m＝3a. ∴点C到平面DEF的距离d＝＝＝a.
23. 解 (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，[]
则原点O到该直线的距离d＝＝，
由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.
(2)法一：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①
依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.
易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得
(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝. 从而x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.
由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
法二：由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.②
依题意，得点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0.
易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝.
因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0.
所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2.
于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.故椭圆E的方程为＋＝1.