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- 2023-12-08 发布
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吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．101110(2)转化为等值的八进制数是( ) ．
A． 46(8) B． 56(8) C． 67(8) D． 78(8)
【答案】B
【解析】
【分析】
先换成十进制，再换成八进制.
【详解】
101110(2),选B.
【点睛】
本题考查不同进制换算，考查基本求解能力.
2．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是( ) ．
A． 简单随机抽样 B． 系统抽样 C． 分层抽样 D． 非上述答案
【答案】B
【解析】
试题分析：因为质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，所以样品的间隔一样，故这种抽样方法为系统抽样，故选B．
考点：抽样方法．
3．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ．
A． B． C． D． 1
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法数，再确定甲被选中的选法数，最后根据古典概型概率公式求解.
【详解】
从甲、乙、丙三人中任选两名代表的选法数为，再确定甲被选中的选法数为2，所以概率为，选C.
【点睛】
本题考查古典概型概率，考查基本求解能力.
4．甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用如图所示的茎叶图表示，s1，s2分别表示甲、乙选手分数的标准差，则s1与s2的关系是( )．
A． s1＞s2 B． s1＝s2 C． s1＜s2 D． 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先求均值，再根据标准差公式求标准差，最后比较大小.
【详解】
乙选手分数的平均数分别为
所以标准差分别为
因此s1＜s2，选C.
【点睛】
本题考查标准差，考查基本求解能力.
5．直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则直线l的方程为( ) ．
A． 3x－y－5＝0 B． 3x－y＋5＝0
C． 3x＋y＋13＝0 D． 3x＋y－13＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意确定直线斜率，再根据点斜式求直线方程.
【详解】
由题意直线l与AB垂直，所以，
选D.
【点睛】
本题考查直线斜率与直线方程，考查基本求解能力.
6．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品至少有一件是次品”．则下列结论正确的是( ).
A． A与C互斥 B． 任何两个均互斥
C． B与C互斥 D． 任何两个均不互斥
【答案】A
【解析】
依据互斥的定义知：、与中的元素没有公共的元素，因此与互斥，与有公共元素，所以与不互斥，故答案B、C、D都不正确，应选答案A。
7．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )．
A． 7 B． 8 C． 9 D． 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据辗转相除法计算最大公约数.
【详解】
因为
所以最大公约数是8，选B.
【点睛】
本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.
8．如果执行下面的程序框图，那么输出的s＝( )．
A． 10 B． 22 C． 46 D． 94
【答案】C
【解析】
9．为了解某社区居民有无收看“奥运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，240人，x人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为( ) ．
A． 90 B． 120 C． 180 D． 200
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分层抽样列比例式，解得结果.
【详解】
由分层抽样得，选D.
【点睛】
本题考查分层抽样，考查基本求解能力.
10．用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为 （ ）．
A． －144 B． －136 C． －57 D． 34
【答案】B
【解析】
试题分析：根据秦九韶算法：，，，
.故选B.
考点：中国古代算法案例.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．
气温(℃)
14
12
8
6
用电量(度)
22
26
34
38
由表中数据得回归直线方程＝x＋中，＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为______．
【答案】40
【解析】
回归方程过点(，)＝(10,30)，
则回归方程为y＝－2x＋50.
12．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据弦长不小于2求得直线斜率取值范围，再根据直线与圆相交得斜率范围，最后根据几何概型概率公式求结果.
【详解】
显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，
代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，
∵l与⊙C相交于A、B两点，
∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，
∴k2<3，
∴，
又当弦长|AB|≥2时，∵圆半径r＝，
∴圆心到直线的距离，即，
∴k2≤1，
∴－1≤k≤1.
由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率.
【点睛】
本题考查几何概型概率以及直线与圆位置关系，考查基本求解能力.
评卷人
得分
三、解答题
13．抽样得到某次考试中高二年级某班8名学生的数学成绩和物理成绩如下表：
学生编号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学成绩x
60
65
70
75
80
85
90
95
物理成绩y
72
77
80
84
88
90
93
95
(1) 求y与x的线性回归直线方程(系数保留到小数点后两位)．
(2) 如果某学生的数学成绩为83分，预测他本次的物理成绩．
(参考公式：回归直线方程为＝x＋，其中
，a＝－b.参考数据：＝77.5，
≈84.9，，.)
【答案】（1）；（2）89.
【解析】
【分析】
（1）先根据公式求，再根据求a＝－b求a，（2）在回归直线方程中令x＝83，解得y值，即为预测成绩.
【详解】
(1)从散点图可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此可以用公式计算.
由，，
得.
由＝77.5，≈84.9，
得a＝－b≈84.9－0.66×77.5＝33.75，
所以回归直线方程为.
(2)当x＝83时，
y＝0.66×83＋33.75
＝88.53≈89.
因此某学生数学成绩为83分时，物理成绩约为89分.
【点睛】
本题考查回归直线方程，考查基本求解能力.
14．某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
【答案】（1）0.3，直方图见解析；（2）及格率75%，平均分为71分；（3）。
【解析】
试题分析：（1）频率分布直方图中各组的频率之和为1，据此来求第四组的频率；（2）求解平均分时各组的分数以该组中间值为代表进行计算；（3）找到任选两人的选法种数与两人位于同一组的选法种数，求其比值即可
试题解析：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4＝1－（0．025＋0．015×2＋0．01＋0．005）×10＝0．3． 2分
其频率分布直方图如图所示．
4分
（2）依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0．015＋0．030＋0．025＋0．005）×10＝0．75．
所以，估计这次考试的合格率是75%． 7分
利用组中值估算这次考试的平均分，可得：
45·f1＋55·f2＋65·f3＋75·f4＋85·f5＋95·f6
＝45×0．1＋55×0．15＋65×0．15＋75×0．3＋85×0．25＋95×0．05＝71．
所以估计这次考试的平均分是71分． 10分
（3）[40，50）与[90．100]的人数分别是6和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A1，A2， A6，将[90，100]分数段的3人编号为B1，B2，B3，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω＝{（A1，A2），（A1，A3）（A1，A6），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，A3），（A2，A4）， ，（B2，B3）}共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A1，A2），（A1，A3）（A1，A6），（A2，A3）（A5，A6），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）共18个，故概率P＝＝． 14分
考点：1．频率分布直方图；2．古典概型概率
15．已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
【答案】（1）m＝0；（2）m＝±2。
【解析】
试题分析：（1）直线平分圆，即直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程可得m值（2）根据圆心到直线距离等于半径列方程，解得m值
试题解析：解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线y＝x＋m上，即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切．
点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
16．点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【答案】所求轨迹为以(0,1)为圆心，以 为半径的圆
【解析】试题分析：根据垂径定理得|MB|2＝|OB|2－|OM|2，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半性质得|MA|＝|MB|，即得|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，最后设坐标代入化简即得轨迹方程，根据轨迹方程说明曲线形状
试题解析：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程．
③几何法：利用圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．