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- 2023-12-08 发布
山大附中2019-2020学年第一学期12月月考
高一年级数学试卷
一．选择题（共10小题，每题4分）
1．已知全集，，，则=（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为
A． B． C． D．
3．与函数表示同一个函数的是
A． B．
C． D．
4．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是
A． B． C． D．
5．已知是函数的一个零点，若，，
则
A．， B．，
C．， D．，
6．设为定义在实数集上的偶函数，且在上是增函数，，则的解集为
A． B．
C． D．
7．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程的近似解，那么该近似解的精确度应该为
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
8．已知函数，的实根个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．已知函数 , 若有四个互不相等的实数根,且. 则的取值范围( ).
A． B． C． D．
10．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，每题4分）
11．设，且， ．
12．若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是 ．
13．已知，则的取值范围 ．
14．某商品在最近100天内的单价与时间的函数关系是
，日销售量与时间的函数关系是．则该商品的日销售额的最大值是
（日销售额＝日销售量×单价）．
15．已知函数，若关于的方程恰有三个实根，则实数的取值范围为 ．
三．解答题（共4题，共40分）
16．（Ⅰ）求值：；
（Ⅱ）已知，，试用，表示．
17．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于的不等式．
18．已知函数（且）.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）若，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；
（3）若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围
高一年级第一学期12月数学考试答案
一．选择题（共10小题）
1．已知全集，2，3，4，5，，，2，4，，，，则
A． B． C．， D．，4，
【考点】：交、并、补集的混合运算
【分析】进行并集和补集的运算即可．
【解答】解：，2，3，4，5，，，2，4，，，，
，，，4，．
故选：．
2．函数的定义域为
A．， B．， C．， D．，
【考点】33：函数的定义域及其求法
【分析】可看出，要使得有意义，则需满足，解出的范围即可．
【解答】解：要使有意义，则，解得，
的定义域为．
故选：．
3．与函数表示同一个函数的是
A． B．
C． D．
【考点】32：判断两个函数是否为同一函数
【分析】分别判断函数的定义域是否是，以及对应法则是否和相同即可．
【解答】解：函数的定义域为，与的定义域不相同，不是同一函数．
，函数的定义域为，与的定义域不相同，不是同一函数．
，两个函数的定义域相同，表达式相同是同一函数．
，函数的定义域为，，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
故选：．
4．已知是定义在，上的偶函数，那么的值是
A． B． C． D．
【考点】：奇函数、偶函数
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，．
【解答】解：依题意得：，，又，，
．
故选：．
5．已知是函数的一个零点，若，，则
A．， B．，
C．， D．，
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【分析】本题利用的正负确定的单调性，从而求解．
【解答】解：，
，
，，
单调递增．
已知是函数的一个零点，若，，，
，．
故选：．
6．设为定义在实数集上的偶函数，且在，上是增函数，，则的解集为
A． B．，
C． D．，，
【考点】：奇偶性与单调性的综合
【分析】由偶函数的性质可知，（3），结合在，上是增函数，可知距离对称轴越远，函数值越大，可求．
【解答】解：为定义在实数集上的偶函数，
（3），
又在，上是增函数，
则由可得，，
解可得，，
故选：．
7．某同学用二分法求方程的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，他用二分法操作了7次得到了方程
的近似解，那么该近似解的精确度应该为
A．0.1 B．0.01 C．0.001 D．0.0001
【考点】55：二分法的定义与应用
【分析】根据题意，由二分法的定义，每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，据此求出第6次和第7次使用二分法时区间的长度，进而可得该近似解的精确度应该在，之间，分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在之间，区间的长度为1，
每使用一次二分法可以使区间的长度变为原来的，
则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为，不能确定方程的近似解，
当他第7次使用二分法时，确定区间的长度为，确定了方程的近似解，
则该近似解的精确度应该在，之间，
分析选项：在区间，内；
故选：．
8．已知函数，的实根个数为
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】53：函数的零点与方程根的关系
【分析】方程，，
．分别画出，的图象．利用交点个数即可得出方程的实数根的个数．
【解答】解：方程，
，．
（1）分别画出，的图象．
由图象可得：时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点；时，两图象有一个交点．
（2）分别画出，的图象．
由图象可知：时，两图象有一个交点．
综上可知：方程实数根的个数为4．
故选：．
9．B
【解析】
【分析】
作出函数f（x）的图象，根据方程有四个互不相等的实数根，得到与、与的关系，代入所求，将所求用a表示，然后计算即可得到结论．
【详解】
作出的图像如图：
若有四个互不相等的实数根,且，则0＜a＜1，
且是的两个根，=4，=4-a，
且=，即-)=)，
∴))=1，∴=0，
∴所求==4-a，
故选B.
【点睛】
本题主要考查函数交点个数的应用，考查了二次方程韦达定理的应用及对数运算，利用数形结合确定四个根之间的关系是解决本题的关键，属于难题.
10．B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为方程在上有解的问题即可得解．
【详解】
解：
函数为“可拆分函数”，
存在实数，使成立，
方程在上有解，
即在上有解，
，，
，
的取值范围为：．
故选：
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
二．填空题（共5小题）
11．设，且， ．
【考点】：对数的运算性质；：指数函数与对数函数的关系
【分析】先解出，，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到的等式，求．
【解答】解：，，，由换底公式得
，，，
故应填
12．若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是 ， ．
【考点】：对数函数图象与性质的综合应用
【分析】先根据复合函数的单调性确定函数的单调性，进而分和两种情况讨论：①当时，考虑函数的图象与性质，得到其对称轴在的右侧，当时的函数值为正；②当时，其对称轴已在直线的右侧，欲使得，上增函数．最后取这两种情形的并集即可．
【解答】解：令，
①当时，在，上为减函数，
；
②当时，在，上为减函数，此时不成立．
综上所述：．
故答案为：，．
13．已知，则的取值范围 ．
【考点】：幂函数的性质
【分析】考察幂函数当时，函数为偶函数，且在上是减函数，在上是增函数，即可求得 的范围．
【解答】解：幂函数当时为偶函数，
在上是减函数，在上是增函数，
所以有
解得，
故答案为：
14.某商品在最近100天内的单价f（t）与时间t的函数关系是f（t）＝，日销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N）．求该商品的日销售额S（t）的最大值．（日销售额＝日销售量×单价）
【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】由已知中销售单价f（t）与时间t（t∈N）的函数f（t），及销售量g（t）与时间t（t∈N）的函数g（t），结合销售额为S（t）＝f（t）g（t
），我们可以求出销售额为S（t）的函数解析式，再利用“分段函数分段处理”的原则，分别求出每一段上函数的最大值，即可得到商品日销售额S（t）的最大值．
【解答】解：由已知销售价f（t）＝，
销售量g（t）＝﹣（0≤t≤100，t∈N），
∴日销售额为S（t）＝f（t）g（t），
即当0≤t＜40时，S（t）＝（t+22）（﹣t+）＝﹣t2+2t+，
此函数的对称轴为x＝12，又t∈N，
最大值为S（12）＝；
当40≤t≤100时，S（t）＝（﹣t+52）（﹣t+）＝t2﹣36t+，
此时函数的对称轴为t＝108＞100，最大值为S（40）＝768．
由768＜，可得这种商品日销售额S（t）的最大值为，
此时t＝12．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，函数的值域，二次函数的性质，其中根据日销售额为S（t）＝f（t）g（t），得到销售额为S（t）的函数解析式，是解答本题的关键．
15．已知函数，当时，不等式的解集是 ；若关于的方程恰有三个实根，则实数的取值范围为 ．
【考点】57：函数与方程的综合运用
【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：当时，，
当时，由得，
当，不等式等价为，即此时不等式不成立，
当时，不等式等价为，得，
当时，由由得，得，得，此时无解，
综上不等式的解集，
当时，的最小值为，在，上的最大值为（1），
当时，函数是开口向下的抛物线对称轴为，顶点为，
当时，最多有两个零点，
当时，最多有两个零点，
则要使恰有三个实根，
则当时，有两个零点，时有一个零点，
或当时，有一个零点，时有两个零点，
①若当时，有两个零点，则，得，即，
此时当时只能有一个零点，
若对称轴满足，此时当时，必有一个零点，
则只需要当时，（1），即，
得，此时，
若对称轴满足，此时在上为增函数，
要使此时只有一个零点，则（1）
即，得，此时，
②若当时，有一个零点，此时（1），
即时，
此时当时，函数的对称轴，
要使时有两个零点，则（1）
即，得舍或，此时，
综上实数的取值范围是或，
故答案为：，或．
三．解答题（共5小题）
16．（1）求值：；
【分析】（1）根据有理指数幂的运算性质可得；
【解答】解：（1）原式
；
（2）已知，，试用，表示．
【考点】：换底公式的应用；
【分析】（2）利用对数的诱导公式变形，化为含有，的代数式得答案．
【解答】解：（Ⅱ）．
．
．
17．已知函数是定义在上的奇函数，满足（2），当时，有．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于的不等式．
【考点】：函数奇偶性的性质与判断；：函数单调性的性质与判断
【分析】（1）根据是定义在上的奇函数及时的解析式即可得出，并可求出，从而可得出，求出；
（2）根据上面知，时，，从而可设，从而得出，从而得出时，，然后根据函数单调性的定义即可判断在上的单调性：设任意的，，且，然后作差，通分，提取公因式，然后判断与的大小关系即可得出在上的单调性．
【解答】（1），（2）（3）
解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，即，，
又因为（2），所以（2），
即，所以，
综上可知，，
（2）由（1）可知当时，，
当时，，且函数是奇函数，
，
当时，函数的解析式为，
任取，，且，则，
，，且，
，，，
于是，即，
故在区间上是单调增函数；
（3）是定义在上的奇函数，且，
，且在上是增函数，
，解得，
原不等式的解集为．
18．（1）奇函数；证明见解析；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域，然后利用奇偶性的定义验证函数的奇偶性；
（2）由，可得出，利用复合函数可分析出函数在区间上为减函数，由题意得，于是得出关于的方程在区间上有两解，即关于的方程在上有两个不等的实根，然后结合二次函数的图象列出关于的不等式组，解出即可.
【详解】
（1）函数是奇函数；证明如下：
由解得或，所以，函数的定义域为，关于原点对称．
，
因此，函数为奇函数；
（2）由题意知，，且，.
令在上为增函数，
而函数为减函数，所以，函数在上为减函数，
假设存在，使得题意成立，则函数在上为减函数，
则有，即，
所以、是方程的两正根，
整理得在有个不等根和，由韦达定理得，则.
令，则函数在有个零点，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查对数型函数的奇偶性，同时也考查了利用函数的值域求参数，解题的关键就是利用函数的单调性将问题转化为二次函数的零点个数问题，一般求解时分析二次函数的图象的开口方向、对称轴、判别式以及端点（与零点比较大小的数）的函数值符号，考查化归与转化思想，属于中等题.
19．1．（1）；（2）；（3）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数的值．（2）求出函数在区间上的值域为，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数在上是以为上界的有界函数，即在区间上恒成立，可得上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数的范围．
试题解析：（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
即，得，而当时不合题意，故．
（2）由（1）得：，
而，易知在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上的值域为，所以，
故函数在区间上的所有上界构成集合为．
（3）由题意知，在上恒成立，
，．
∴在上恒成立
∴
设，，，由，得．
易知在上递增，
设，，
所以在上递减，
在上的最大值为，在上的最小值为，
所以实数的取值范围为．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．
【方法点晴】
本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大