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- 2023-12-03 发布
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眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题
数学（理工类）
命题人：杨晓彬 审题人：陈杰
第I卷（选择题）
一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）
1．下列结论正确的个数为( )
A．梯形可以确定一个平面；
B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
C．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
2.平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )
A.－2 B.－8 C.0 D.－6
3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，
则下列判断错误的是( )
A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行
4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于( )
A．120° B．30° C． 60° D．60°或30°
5. 已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )
A. B. C.D.
6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1,1,1) B．
C． (1，－1,1) D．
7．下列结论中，正确的是( )
A．若直线平行平面，点P∈，则平面内经过点P且与直线平行的直线有且只有一条
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面
C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线
8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )
A. B. C. D.
9.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
D.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
10．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
.
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
D．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
第II卷（非选择题）
二、填空题（共20分，每小题5分）
13．已知向量，，若，则________.
14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
15.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．
16.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为
SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨
迹长度为________．
三、解答题（共70分）
17.（10分）直三棱柱中，AC＝BC＝AA′=2，∠ACB＝90°，
D、E分别为AB、BB′的中点.
(1)求证：；
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.
18.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，
AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
19.(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1＝AC＝CB＝.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.
20.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，
底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．
(1)求B点到平面PCD的距离；
(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. (12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，
∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
求四棱锥P－ABCD的体积.
22.（12分）如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，
，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题
数学（理工类）参考答案
一选择题
1A. 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C
二填空题
13.2 14. 15. 16.
三解答题
17题（10分）
解：法一：如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示
（1） 证明：
（2）
异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。
法二：(1)证明 设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.
∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.
(2)解 ∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.
·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
18题（12分）
解：(1)证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，
可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)。
＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，
故·＝0，所以BE⊥DC.
(2) ＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．
设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，
则即不妨令y＝1，[5分]可得n＝(2,1,1)．
于是有cos〈n，〉＝＝＝，
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.[7分]
19题（12分）
解：(1)证明 连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.
以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2).
设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，
则即可取n＝(1，－1，－1).
同理，设m是平面A1CE的法向量，
则可取m＝(2,1，－2).
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.
即二面角D－A1C－E的正弦值为.
20题（12分）.
解：在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.
在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.
在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，∴OC⊥AD.
以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，
(1)∴＝(1，－1，－1)．
设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，
则取z＝1，得u＝(1,1,1)．
则B点到平面PCD的距离d＝＝.
(2)设＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，
∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．
设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，
则取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．
平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
∵二面角Q－AC－D的余弦值为，
∴|cos〈m，n〉|＝＝.
整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.解得λ＝或λ＝3(舍去)，∴存在，且＝.
21题(12分)
解：方法一 (1)证明 如图，连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°
得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. [2分]
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. [4分]
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [5分]
(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.
由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.
于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. [6分]
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. [7分]
由题意得∠PBA＝∠BPF，
因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.
又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形.
故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝. [10分]
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝. [12分]
方法二 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立
空间直角坐标系.设PA＝h，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h). [2分]
(1)证明 易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h).
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， [4分]
所以CD⊥AE，CD⊥AP.
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE. [5分]
(2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量. [6分]
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，
即＝
. [8分]
由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，
又＝(4,0，－h)，
故＝.解得h＝. [10分]
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝. [12分]
22．（本小题满分12分）
解：（1）证明：如图，取BD中点E，连结、， 1分
因为是等腰直角三角形，
所以， 2分
设，则， 3分
在中，由余弦定理得：
， 4分
因为，，
所以，即， 5分
又，，
所以平面，
所以平面平面； 6分
（2）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，
分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 7分
不妨设，
则：， 8分
则，，， 9分
设平面的法向量，
则，取， 10分
设平面的法向量，
则，取， 11分
所以，
因为二面角的平面角是锐角，
所以二面角的余弦值为. 12分
解法二：过点D作DN⊥AC于点N，
设D在平面ABC上的射影为M，连接MN，
则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角， 7分
设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,
在△ADC中，cos∠DAC=,
所以DN=, 8分
在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=, 9分
由,
所以,
即, 11分
在△DMN中，sin∠DNM=,
所以cos∠DNM=,
所以二面角的余弦值为. 12分