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- 2023-11-30 发布
2011年数学人教版湖南卷
一、选择题
1、（湖南文7）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2、（湖南文8）已知函数若有则的取值范围为
A． B． C． D．
3、（湖南理6）由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
4、（湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5、（湖南理2）设集合则 “”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
二、填空题
6、（湖南文12）已知为奇函数， ．
三、解答题
7、（湖南文22）设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
8、（湖南理20）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
9、（湖南理22） 已知函数() =，g ()=+。
（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .
四、选择题
10、湖南文6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
五、填空题
11、已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
12、湖南理9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。
13、在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为 ．
六、解答题
14、(本小题满分13分）
如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于
的长半轴长。
（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.
（i）证明：；
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。
15、已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．
（I）求动点的轨迹的方程；
（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．
七、选择题
16、（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 3
3
2
正视图
侧视图
俯视图
图1
A． B．
C． D．
17、（湖南理5）设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
八、解答题
18、（湖南理21）
如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．
（i）证明：MD⊥ME;
（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。
19、（湖南理19）
如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值。
九、填空题
20、（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入，,
则输出的数等于 。
21、若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．
22、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。
十、选择题
23、湖南文5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由 算得，
附表：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”
24、（湖南理4）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，．
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
十一、填空题
25、湖南文15．已知圆直线
（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
（2）圆上任意一点到直线的距离小于2的概率
为 ．
十二、解答题
26、湖南文18．（本小题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.
（Ⅰ）完成如下的频率分布表
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
十三、选择题
27、湖南文5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
附表：
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
十四、填空题
28、件数分别是10，6，8，5，6，则该组数
29、的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）湖南理
30、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则
（1）；
（2）
31、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则
（1） （2）
32、（湖南理15）如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事
件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ．
33、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。
34、江苏从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
35、.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.
十五、解答题
36、（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
37、（本题满分12分）
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
38、附加：23．（本小题满分10分）
设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．
（1）记为满足的点的个数，求；
（2）记为满足是整数的点的个数，求．
39、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。
40、湖南理18．（本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
41、湖南理15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= _____________; （2）P（B|A）= ．
42、湖南理4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，．
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
参照附表，得到的正确结论是
A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
43、（湖南理17）
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。
44、已知函数() =，g ()=+。
（Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .
45、如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
46、设函数
(I)讨论的单调性；
（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
47、如图6，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。
以下是答案
一、选择题
1、B
【解析】，所以
。
2、B
【解析】由题可知，，若有则，即，解得。
3、D
【解析】由定积分知识可得，故选D。
4、D
【解析】由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。
5、A
二、填空题
6、6
【解析】，又为奇函数，所以
。
三、解答题
7、解析：（I）的定义域为
令
当故上单调递增．
当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
当的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
[来源: ]
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
8、解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（II）由(I)知，当时，
当时，
故。
(1)当时，是关于的减函数.故当时，。
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。
9、解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点
解法1：，记，则。
当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；
所以，
当时，单调递减，而，则在内无零点；
当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；
从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。
解法2：，记，则。
当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，
综上所述，有且只有两个零点。
（II）记的正零点为，即。
（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：[来源: ]
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.
四、选择题
10、C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。
五、填空题
11、5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为
.
12、2
解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.
13、2
解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。
六、解答题
14、解析：（I）由题意知，从而，又，解得。
故的方程分别为。
（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是。
又点的坐标为，所以
故，即。
（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.于是
由得，解得或，
则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为
于是
因此
由题意知，解得 或。
又由点的坐标可知，，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。
15、（I）设动点的坐标为，由题意为
化简得当、
所以动点P的轨迹C的方程为
（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．
由，得
设则是上述方程的两个实根，于是
．
因为，所以的斜率为．设则同理可得：
故
当且仅当即时，取最小值16．
七、选择题
16、B
17、C
八、解答题
18、解 ：（Ⅰ）由题意知
故C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为
于是.
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
19、解法1：连结OC，因为
又底面⊙O，AC底面⊙O，所以，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以平面POD，
而平面PAC，所以平面POD平面PAC。
（II）在平面POD中，过O作于H，由（I）知，平面
所以平面PAC，又面PAC，所以
在平面PAO中，过O作于G，
连接HG，
则有平面OGH，
从而，故为二面角B—PA—C的平面角。
在
在
在
在
所以
故二面角B—PA—C的余弦值为
解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则
，
设是平面POD的一个法向量，
则由，得
所以
设是平面PAC的一个法向量，
则由，
得
所以
得。
因为
所以从而平面平面PAC。
（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
由（I）知，平面PAC的一个法向量为
设向量的夹角为，则
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为
九、填空题
20、
21、答案：
解析：由框图功能可知，输出的数等于
。
22、答案：
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则
十、选择题
23、A
24、C
十一、填空题
25、（1）5（2）
十二、解答题
26、（本题满分12分）
解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（II）P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．
十三、选择题
27、答案：A
解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.
十四、填空题
28、答案：40或60（只填一个也正确）
解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：
，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。
29、17
30、（1）；
（2）
解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；
（2）由条件概率的计算公式可得
31、（1）2；（2）
解析：（1）因，故；
（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有
个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：
。
又恰为2进制的最大7位数，所以。
32、（1）
33、（1），（2）16
解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。
（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。
34、答案：
解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种. 其中符合条件的有2种,所以概率为.也可以由得到.
本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.
35、答案：.
解析：五个数的平均数是7,方差为
还可以先把这组数都减去6再求方差，.
本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易题.
十五、解答题
36、解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1
件”）
（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.
（“当天商品销售量为1件”）
（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）
故的分布列为
2
3
的数学期望为
37、解：（I）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（II）
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．
38、解：（1）点P的坐标满足条件：
（2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点P的个数，只要讨论的情形，由知
设
所以
将代入上式，化简得
所以
39、解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。
（II）由题意知，的可能取值为2，3.
；
故的分布列为
2
3
的数学期望为。
40、解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）
（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.
（“当天商品销售量为1件”）
（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）
故的分布列为
2
3
的数学期望为
41、（1）
42、C
43、解析：（I）由正弦定理得
因为所以
（II）由（I）知于是
取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
44、解析：（I）由知，，而，且
，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点
解法1：，记，则。
当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，；
所以，
当时，单调递减，而，则在内无零点；
当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；
从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。
解法2：，记，则。
当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，
综上所述，有且只有两个零点。
（II）记的正零点为，即。
（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即
。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：
①当时，显然成立；
②假设当时，有成立，则当时，由
知，，因此，当时，成立。
故对任意的，成立。
综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.
45、解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（II）由(I)知，当时，
当时，
故。
(1)当时，是关于的减函数.故当时，。
(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。
46、解析：（I）的定义域为
令
(1) 当故上单调递增．
(2) 当的两根都小于0，在上，，故上单调递增．
(3) 当的两根为，
当时， ；当时， ；当时， ，故分别在上单调递增，在上单调递减．
（II）由（I）知，．
因为，所以
又由(I)知，．于是
若存在，使得则．即．亦即
再由（I）知，函数在上单调递增，而，所以这与式矛盾．故不存在，使得
47、解：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故，
（II）由（I）知
当时，
当
故
（1）当时，y是关于v的减函数，
故当
（2）当时，在上，y是关于v的减函数，
在上，y是关于v的增函数，
故当