- 1.46 MB
- 2023-11-30 发布
2014级高三四月月考试题
数学（文科）
考生注意：
1.本试题共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试时间120分钟.
2.所有试题的答案都必须写到答题卡相应位置.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
2.已知(其中为的共轭复数，为虚数单位)，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3.设变量，满足不等式组，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
6.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.函数的图象可能是（ ）
8.已知为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
9. 古代对“衡制”做如下规定：1石=4钧；1钧=30斤；1斤=16两；1两=24铢，故有“半斤八两”之说。在古代这种度量单位下，求解《九章算术》衰分章中的如下问题“今有生丝三十斤，干之耗三斤十二两，今有干丝十二斤，问生丝约几何？”( )
A． B． C． D．
10.设函数，把的图象向左平移个单位后，得到的部分图象如图所示，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
11.斐波拉契数列是数学史上一个著名的数列，定义如下：，某同学设计了—个求解斐波拉契数列前15项和的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ）
A. B. C. D.
12.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知两个单位向量互相垂直，且向量，则 ．
14.小明家的桌子上有编号分别为①②③的三个盒子,已知这三个盒子中只有一个盒子里有硬币：①号盒子上写有：硬币在这个盒子里；②号盒子上写有：硬币不在这个盒子里；
③号盒子上写有：硬币不在①号盒子里.若这三个论断中有且只有一个为真,则硬币所在盒子的编号为 ．
15. 已知球的半径为，其球面上有三点，若，，则四面体的体积为____________________.
16.已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为___________
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演步骤）
17. （本小题满分12分）已知数列，是其前项和，且满足.
（1）求证:数列是等比数列；
（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）某市春节期间7家超市的广告费支出（万元）和销售额（万元）数据如下：
（1）若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；
（2）用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，
经计算二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市广告费支出为万元时的销售额．
参数数据及公式：，，
．
19. （本小题满分12分）如图，三棱柱中，是正三角形，四边形是矩形，且.
（1） 求证:；
（2）若点在线段上，且，当三棱锥的体积为
时，求实数的值.
20.（本小题满分12分）已知抛物线，焦点为，点在抛物线上，且到的距离比到直线的距离小.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点为直线上的任意一点，过点作抛物线的切线与，切点分别为，求证:直线恒过某一定点.
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围.
请考生从（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．
22. （本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，),在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程为，若曲线与的公共点都在上，求的值；
23.（本小题满分10分）设函数
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
四川省双流县中学2014级高三四月月考试题
数学（文科）答案
一、选择题
1.C 本题考査集合中元素的个数.由,得,故.
2.B 本题考査复数的概念及运算.因为，所以，，的虚部为.
3.B解析：如图表直线过点时，取最小值，故选 B
4.B 本题考査双曲线的方程.渐近线方程化简为,顶点坐标，顶点到渐近线的距离为，解得，根据渐近线方程的斜率，可得,所以双曲线的方程为.
5.
6.A 本题考査三角恒等变换和诱导公式.若，则
7.D 本题考査函数的图象.易知函数为偶函数,故排除A项,因为当时，，排除C项 ；由函数的单调性知在上是单调递减的，排除B项.故选D项.
8.B 本题考査空间线面位置关系、充分条件的判断.A、C、D项错误，满足条件的和平面
可能平行；D项正确，，结合知.
9.B
10.A 本题考査三角函数的图象和性质.因为函数，然后将其图象向左平移个单位后得到，由平移后的图象知，平移后的图象在处取最小值，则,∴,又，
∴，.
11.B【解析】依题意知，程序框图中变量为累加变量，变量为数列连续三项，在每一次循环中，计算出的值后，变量的值变为下一个连续三项的第一项，即，变量的值为下一个连续三项的第二项，即，所以矩形框应填入，又程序进行循环体前第一次计算的值时已计算出数列的前两项，因此只需要循环次就完成，所以判断框中应填入.故选.
12.D 法1：设点的坐标为，，
，
O
A
B
P
x
y
即所以答案： D
法2：解析：如图，因为圆上存在点，使得，
所以以为直径的圆与圆有公共点，
所以，所以，选D
二、填空题
A
C
O1
O
B
13.5 本题考査向量垂直的性质及向量的模.因为两个单位向置互相垂直，且向量，所以，，.
14.② 由三段论的知识可知当①是正确的话,这与③矛盾.若③是正确的,则与①矛盾,故应填②.
15.解：如图，，
中，，分别过作的平行线交于点，则点
就是截面圆的圆心，过作平面的垂线，则球心一定在垂线上，不妨设为，则所以
16. 本题考査解三角形.
.又，且，所以.设，令，则，故在上单调递增，所以.
三、解答题
17.解:本题考査数列的证明与求和.
(l)∵，∴，当时，，即，∴，∴数列是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由（1)知，，∴.
∴，故数列的前项和.
18.【答案】（1）；（2）二次函数回归模型更好，预测值为万元.
19.解:本题考査空间面面垂直关系判定及点的位置判断.
（1）依题意可得，∴,,又四边形是矩形，∴.
又∵平面,平面,,∴平面,而平面,∴平面平面.
（2）依题意可得,取中点,所以，且，又由（1)知平面平面，则平面.
如图，过点作交于点，则平面,
的面积为，.
由得.
20.解：本题考査抛物线的性质和定点问题.
（1）因为到的距离与到直线的距离相等，由拋物线定义知，直线为抛物线的准线，所以，得,所以抛物线的方程为.
（2）设切点的坐标分别为，由(1)知，.
则切线的斜率分别为,,
故切线 的方程分别为,,
联立以上两个方程，得故的坐标为.
因为点在直线上，所以，即.
设直线的方程为，代入抛物线方程，得，所以，即，所以.
故的方程为,故直线恒过定点.
21.解:本题考查函数与导数综合.
（1）因为，
由或,由，
所以在上单调递增，在上单调递减，
欲使在上为单调函数，则.
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
故当或时，方程在上不可能有三个不等实根，
所以,且.
当,且时，方程在上有三个不等实根，
只需满足即可.
因为，且，
因而，
所以，即，
综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是.
22.解:本题考査参数方程和极坐标方程的应用.
（1）消去参数得到的普通方程,将代入的普通方程，得到的极坐标方程,.
（2）曲线与的公共点的极坐标满足方程组,若，
由方程组得,由已知，可解得,
根据,得到,当时，极点也为的公共点都在上，所以.
23.解：(Ⅰ)由m＞0，有f(x)＝|x－|＋|x＋m|≥|－(x－)＋x＋m|＝＋m≥4，
当且仅当＝m，即m＝2时取“＝”．所以f(x)≥4． 4分
(Ⅱ)f(2)＝|2－|＋|2＋m|．
当＜2，即m＞2时，f(2)＝m－＋4，由f(2)＞5，得m＞．
当≥2，即0＜m≤2时，f(2)＝＋m，由f(2)＞5，0＜m＜1．
综上，m的取值范围是(0，1)∪(，＋∞)． 10分