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- 2023-11-27 发布
第一部分 填空题
练习(一)
1. (2015·新课标全国Ⅱ)已知集合 A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则
A∩B＝__________.
2. (2015·宁德期中)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编
号落入区间[1，450]的人做问卷 A，其余的人做问卷 B.则抽到的人中，做问卷 B 的人数为________．
3. (2016·天津六校期末)若复数2－bi
1＋2i
(b∈R，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则 b
＝________．
4. (2015·上海长宁区期末 )根据下面的框图，打印的最后一个数据是________．
5. (2016·广州一模)已知 f(x)＝sin
x＋π
6 ，若 sinα＝3
5
π
2
<α<π
，则 f
α＋π
12 ＝
__________．
6. (2016·广东四校联考)从甲、乙、丙、丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只有
一个被选取的概率为________．
7. (2015·安徽)已知 m，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是
________．(填序号)
① 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；
② 若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行；
③ 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
④ 若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面．
8. (2016·开封期末)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为 c(c＞0)，左焦点为 F，右顶点为
A，抛物线 y2＝15
8
(a＋c)x 与椭圆交于 B、C 两点，若四边形 ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是________．
9.(2015·藁城一中月考 )已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若AO→＝1
2
(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角
为________.
10.(2016·台州期末)若函数 f(x)＝
x，x≤1，
1
2
x－1
，x＞1，
则不等式 f(x2 －3)＞f(1
2
x)的解集为
________．
11.(2015·天水一中月考)已知{an}是首项为 32 的等比数列，Sn 是其前 n 项和，且S6
S3
＝65
64
，则数
列{|log2an|}的前 10 项和为________．
12.(2015·普陀调研)若抛物线 y2＝4x
m
(m＞0)的焦点在圆 x2＋y2＝1 外，则实数 m 的取值范围是
________．
13.(2015·沈阳联考)设 x，y 满足约束条件
x－y＋2≥0，
3x－y－6≤0，
x≥0，
y≥0，
若目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)
的最大值为 6，则1
a
＋2
b
的最小值为________．
14(2015·银川一中月考)对于实数a和b，定义运算“*”：ab＝
a2－ab，a≤b，
b2－ab，a>b，
设f(x)＝(2x
－1)(x－1)，且关于 x 的方程为 f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3
的取值范围是________．
练习(二)
1. (2016·嘉兴期末)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|(1
2
)x≤1}，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则 A∩B＝
________．
2.(2016·遵义联考)一个总体中有 60 个个体，随机编号 0，1，2，…，59，依编号顺序平均分
成 6 个小组，组号依次为 1，2，3，…，6.现用系统抽样方法抽取一个容量为 6 的样本，若在第 1
组随机抽取的号码为 3，则在第 5 组中抽取的号码是________．
3.(2015·银川一中月考)已知 z 是纯虚数，z＋2
1－i
是实数，那么 z＝________．
4.(2016·广州一模)执行如图所示的程序框图，如果输入 x＝3，则输出 k 的值为________．
5. 若 函 数 f(x)(x∈R) 是 周 期 为 4 的 奇 函 数 ， 且 在 [0 ， 2] 上 的 解 析 式 为 f(x) ＝
x（1－x），0≤x≤1，
sinπx，1＜x≤2，
则 f
29
4 ＋f
41
6 ＝________．
6.(2015·上海长宁区期末)已知 a，b∈{－3，－2，－1，1，2，3}且 a≠b，则复数 z＝a＋bi
对应点在第二象限的概率为________．(用最简分数表示)
7.(2015·保定期末)已知函数 f(x)＝sin(wx＋π
4
)(w>0)的最小正周期为π，则 f
π
8 ＝
________．
8.(2016·廊坊期末)用一个边长为 2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成
一个蛋巢，现将半径为 2的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为________．
9. (2015·四川新津中学一诊)△ABC 的外接圆半径为 1，圆心为 O，且 3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则
OC→·AB→＝________．
10. (2015·宁德期中)已知等比数列{an}的首项 a1＝2 015，公比为 q＝1
2
，记 bn＝a1a2a3…an，则
bn 达到最大值时，n 的值为________．
11. (2015·襄阳调研)已知sinα－cosα
sinα＋cosα
＝1＋ 2，则 tan2α＝________．
12. (2015·江西名校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，若直
线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的取值范围
是________．
13. (2015·广东联考)已知 p：M∈{(x，y)||x|＋|x－2|
＋ y2＋2y＋2≤3}，q：M∈{(x，y)|(x－1)2＋y20)．如果 p 是 q 的充分但不必要条件，
则 r 的取值范围是________．
14. (2015·南昌二中月考)已知λ∈R，函数 f(x)＝
|x＋1|，x＜0，
lgx，x＞0，
g(x)＝x2－4x＋1＋4λ，
若关于 x 的方程 f(g(x))＝λ有 6 个解，则λ的取值范围为________．
练习(三)
1. (2015·山东师大附中三模)已知集合 M＝{0，1，2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合 M∩N＝
________．
2.(2016·兰陵期末)某校高中三个年级共有 24 个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个
班编号，依次为 1 到 24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行调查，若抽到编号之和为 48，则抽到
的最小编号为________．
3.(2015·上海长宁区期末 )复数2＋2i
1－i
＝________．(i 是虚数单位)
4.(2016·日照一中期末)如图是一个算法的流程图．若输入 x 的值为 2，则输出 y 的值是
_________．
5.(2015·渭南白水中学月考)把函数 y＝sin(5x－π
2
)的图象向右平移π
4
个单位，再把所得函数
图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，所得的函数解析式为________．
6.(2016·廊坊期末)从集合{0，2，4，6，8}中随机取一个数 m，从集合{0，4，8}中随机取一
个数 n，则“事件 m≤n”发生的概率是________．
7.(2015·重庆丰都实验中学月考)设实数 x，y 满足条件
4x－y－10≤0，
x－2y＋8≥0，
x≥0，y≥0，
若目标函数 z＝ax＋
by(a>0，b>0)的最大值为 12，则2
a
＋3
b
的最小值为________．
8.(2016·广东月考)已知双曲线x2
3
－16y2
p2 ＝1 的左焦点在抛物线 y2＝2px 的准线上，则 p＝
________．
9.(2015·上海杨浦区调研)向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋b 与 a－2b 平行，则实数 m
＝________．
10.(2015·上海长宁区期末)已知数列{an}是以－2 为公差的等差数列，Sn 是其前 n 项和，若 S7
是数列{Sn}中的唯一最大项，则数列{an}的首项 a1 的取值范围是________．
11.(2016·西安一模)若△ABC 的内角满足 sinA＋ 2sinB＝2sinC，则 cosC 的最小值是
________．
12.(2016·嘉兴期末)已知圆心在原点，半径为 R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中 A(4，0)，
B(6，8)，C(2，4)，则 R 的取值范围是________．
13.(2015·云南模拟)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，
根据上述规律，第 n 个等式为________．
14.(2015·沈阳联考)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心(三角形中三条边上中线的交点叫重心)，
且∠AOB＝60°.若OA→·OB→＝6，则|OG→|的最小值是________．
练习(四)
1. (2015·安徽)设 p：11，则 p 是 q 成立的______________．(填“充分不必要条
件”“必要不充分条件”“充分必要条件” 或“既不充分也不必要条件”)
2. (2015·重庆一中一诊)已知集合 A＝{0，1，m}，B＝{x|02 的解集为________．
11.(2016·天津六校期末)圆 O 中，弦 AB＝2，AC＝ 7，则AO→·BC→的值为________．
12.(2016·广州一模)在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD⊥BC，AC＝5 3，CD＝5，BD＝2AD，则
AD 的长为________．
13.(2016·日照一中期末)已知函数 f(x)＝x＋sinx(x∈R)，且 f(y2 －2y＋3)＋f(x2 －4x＋
1)≤0，则当 y≥1 时， y
x＋1
的取值范围是________．
14.(2015·沈阳联考)对于三次函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设 f″(x)是函数 y
＝f(x)的导数 y＝f′(x)的导数，若方程 f″(x)＝0 有实数解 x0，则称点(x0，f(x0))为函数 y＝f(x)
的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐
点’就是对称中心．”请你根据这一发现，得出函数 f(x)＝x3－3x2＋3x＋1 的对称中心为________．
练习(六)
1. (2015·广东)若集合 M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则 M∩N＝
________．
2.(2015·福建文)某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方
法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为________．
3.(2015·新课标全国Ⅰ)设复数 z 满足1＋z
1－z
＝i，则|z|＝________．
4.(2015·陕西理)根据下面的程序框图，当输入 x 为 2 006 时，输出的 y＝________．
5.(2016·广东四校期末)已知等差数列{an}的通项公式 an＝64－4n
5
，设 An＝|an＋an＋1＋…＋an＋
12|(n∈N*)，当 An 取得最小值时，n 的取值是________．
6.(2015·广东文)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，
恰有一件次品的概率为________．
7.(2016·日照一中期末)已知 x，y 满足约束条件
x－y＋6≥0，
x≤3，
x＋y＋k≥0，
且 z＝2x＋4y 的最小值为 6，则
常数 k＝________．
8.(2015·四川)过双曲线 x2－y2
3
＝1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
A，B 两点，则|AB|＝________．
9.(2016·汕头金山中学期末)在△ABC 中，若|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，AB＝2，AC＝1，E，F 为 BC
边的三等分点，则AE→·AF→＝________．
10.(2016·哈尔滨六中月考)若曲线 y＝ax＋1(a＞0 且 a≠1)在点(0，2)处的切线与直线 x＋2y
＋1＝0 垂直，则 a＝________．
11.(2016·郑州一测)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F2 的直线与
椭圆交于 A、B 两点，若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．
12.(2015·宁德期中)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，
则 an＝________．
13.(2015·上海长宁区期末)已知△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 5tanB＝ 6ac
a2＋c2－b2，
则 sinB 的值是________．
14.(2015·湖南理)已知 f(x)＝
x3，x≤a，
x2，x＞a，
若存在实数 b，使函数 g(x)＝f(x)－b 有两个零点，
则 a 的取值范围是________．
练习(七)
1. (2015·西安八十三中段测)集合 A＝{0，1，2}，B＝{x|－1＜x＜2}，则 A∩B＝________．
2. (2015·南昌二中月考)复数 z 满足 z(3－4i)＝1(i 是虚数单位)，则|z|＝________．
3. (2015·北京文)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程
(千米)
2015 年 5 月 1 日 12 35 000
2015 年 5 月 15 日 48 35 600
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100 千米平均耗
油量为________升．
4. (2015·天津理)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为________．
5. (2015·山东师大附中三模)已知 tan(α＋β)＝2
5
，tan
β－π
4 ＝1
4
，那么 tan
α＋π
4 ＝
________．
6. (2015·西安临潼区一模)在平面直角坐标系 xOy 中，设 D 是由不等式组
x＋y－1≤0，
x－y＋1≥0，
y≥0
表示
的区域，E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，若向 E 中随机投一点，则所投点落在 D 中的
概率是________．
7. (2015·上海五校联考)已知双曲线x2
a2－y2
2
＝1，其双曲线的右焦点与抛物线 y2＝4 3x 的焦点
重合，则该双曲线的方程为________．
8. (2016·徐汇一模)函数 f(x)＝sin
2x－π
4 (x∈R)的单调递增区间是________．
9. (2016·嵊州期末)已知向量 a，b，|a|＝2，|b－a|＝1，则|a＋b|的最大值为________．
10. (2016·宁波期末)已知实数{an}是等比数列，若 a2a5a8＝8，则 a1a9＋a1a5＋a5a9 的最小值是
________．
11. (2016·廊坊期末)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是曲线 y＝f(x)在 x
＝1 处的切线，令 h(x)＝xf(x)，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1)的值是________．
12. (2015·宁德期中)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝ 3
3
，则 cos2α＝________．
13. (2016·桂林、崇左一模)若函数 f(x)＝(x2－cx＋5)ex 在区间
1
2
，4
上单调递增，则实数 c
的取值范围是________．
14. (2015·唐山模拟)对于各项均为整数的数列{an}，如果 ai＋i(i＝1，2，3，…)为完全平方
数，则称数列{an}具有“P 性质”．不论数列{an}是否具有“P 性质”，如果存在与{an}不是同一数
列的{bn}，且{bn}同时满足下面两个条件：① b1，b2，b3，…，bn 是 a1，a2，a3，…，an 的一个排列；
② 数列{bn}具有“P 性质”，则称数列{an}具有“变换 P 性质”．下面三个数列：① 数列{an}的前
n 项和 Sn＝n
3
(n2－1)；② 数列 1，2，3，4，5；③ 1，2，3，…，11.具有“P 性质”的为________，
具有“变换 P 性质”的为________．(填序号)
练习(八)
1. (2016·南阳期末)已知集合 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合 A∩B
中元素的个数为________．
2. (2015·深圳一模)将容量为 n 的样本中的数据分成 5 组，绘制频率分布直方图，若第 1 至第
5 个长方形的面积之比 3∶4∶5∶2∶1，且最后两组数据的频数之和等于 15，则 n＝________．
3. (2016·郑州一测)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z
＝________．
4. (2016·广东四校期末)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．
5. (2016·泉州质检)已知抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，P 为 C 上一点，若|PF|＝4，点
P 到 y 轴的距离等于 3，则点 F 的坐标为________．
6. (2015·平凉一模)已知命题 p：x2＋2x－3＞0，命题 q：x＞a，且綈 q 的一个充分不必要条
件是綈 p，则 a 的取值范围是____________．
7. (2016·广东月考)已知实数x，y满足约束条件
2x－y≤2，
x－y≥－1，
x＋y≥1，
若目标函数z＝2x＋ay仅在点(3，
4)取得最小值，则 a 的取值范围是____________．
8. (2015·惠州一调)双曲线x2
3
－y2
2
＝1 的焦距为________．
9. (2016·桂林、崇左一模)已知π
2
＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则 cos(α－π)＝________．
10. (2016·南昌二中月考)已知向量AB→与AC→的夹角为 120°，且|AB→|＝2，|AC→|＝3，若AF→＝λAB→
＋AC→，且AF→⊥BC→，则实数λ的值为________．
11. (2015·江西名校联考)在△ABC 中，A＝2B，且 3sinC＝5sinB，则 cosB＝________．
12. (2016·台州期末)设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线
与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与 y 轴相交于点 D，若 AD⊥F1B，则椭圆 C 的离心率等于________．
13. (2015·哈尔滨六中月考)正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在 am，an，使得 aman＝
16a2
1，则1
m
＋4
n
的最小值为________．
14. (2016·南阳期末)已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则
实数 a 的取值范围是________．
练习(九)
1. (2016·天津六校期末)设全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7}，M＝{2，3，4，6}，N＝{1，4，
5}，则(∁UM)∩N＝________．
2.(2015·广东文)已知样本数据 x1，x2，…，xn 的均值 x－＝5，则样本数据 2x1＋1，2x2＋1，…，
2xn＋1 的均值为________．
3.(2016·日照一中期末)已知1－bi
1＋2i
＝a＋i(a，b∈R)，其中 i 为虚数单位，则 a＋b＝________．
4.(2015·漳州一模)如果执行如图的框图，输入 N＝5，则输出的数等于________．
5.(2015·合肥一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数，则满足不等式 f[f(t－1)]
＜0 的实数 t 的取值范围是________．
6.(2016·广东月考)已知平面向量 a、b 满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝________．
7.(2016·开封期末)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，若 f(－1)＞－2，
f(－7)＝ a＋1
3－2a
，则实数 a 的取值范围为________．
8.(2016·汕头金山中学期末)已知 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x－3)2＋(y－1)2
＝1 上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为________．
9.(2016·郑州一测)△ABC 的三个内角为 A，B，C，若 3cosA＋sinA
3sinA－cosA
＝tan
－7π
12 ，则 2cosB＋
sin2C 的最大值为________．
10.(2015·澄海区校级模拟)若曲线 y＝xlnx 上点 P 的切线平行于直线 x－y＋1＝0，则点 P 的
坐标是________．
11.(2015·广东联考)在△ABC 中，A＝45°，B＝75°，c＝2，则此三角形的最短边的长度是
________．
12.(2016·南阳期末)如果点 P 在平面区域
2x－y＋2≥0，
x－2y＋1≤0，
x＋y－2≤0
上，点 Q 在曲线 x2＋
y＋3
2
2
＝1 上，
那么|PQ|的最小值为________．
13.(2016·泉州质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＝6，S2＝4，Sn＞0，且 S2n，S2n－1，S2n＋2
成等比数列，S2n－1，S2n＋2，S2n＋1 成等差数列，则 a2 016＝________．
14.(2015·张掖二中月考)已知函数 f(x)＝
|lgx|，0＜x≤10，
－1
5
x＋3，x＞10， 若 a、b、c 均不相等且 f(a)＝
f(b)＝f(c)，则 abc 的取值范围为________．
练习(十)
1. (2015·平凉一模)设集合 A＝{1，2，4，6，8}，B＝{1，2，3，5，6，7}，则 A∩B 的子集
个数为________．
2. (2015·崇川区校级一模)某中学共有学生 2 800 人，其中高一年级 970 人，高二年级 930 人，
高三年级 900 人．现采用分层抽样的方法，抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人
数为________．
3. (2016·武汉调研)设 i 是虚数单位，若复数 a－ 17
4－i
(a∈R)是纯虚数，则实数 a 的值为
________．
4. (2016·桂林、崇左一模)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为 0 时，输入的
x 的值为________．
5. (2016·南阳期末)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 an＞0，q＞1，且 a3＋a5＝20，a2a6
＝64，则 S6＝________．
6. (2015·银川一中月考)设 m>1，在约束条件
y≥x，
y≤mx，
x＋y≤1
下，目标函数 z＝x＋my 的最大值小于
2，则 m 的取值范围为________．
7. (2015·淄博六中期末)定义式子运算为|a1 a2
a3 a4|＝a1a4－a2a3.将函数 f(x)＝| 3 sinx
1 cosx|的图
象向左平移 n(n＞0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 n 的最小值为________．
8. (2016·嵊州期末)如图，椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过椭圆上的
点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q.若四边形 F1F2PQ 为菱形，则该椭圆的离心率为________．
9. (2016·东莞期末)在△ABC 中，|AB→|＝|CA→＋CB→|，|CA→|＝4，|CB→|＝3，BP→＝2PA→，则CP→·AB→的
值为________．
10. (2015·上海长宁区期末)现有如下命题：
① 函数 y＝sin4x－cos4x 的最小正周期是 2π；
② 终边在 y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ
2
，k∈Z}；
③ 在同一坐标系中，函数 y＝sinx 的图象和函数 y＝x 的图象有一个公共点；
④ 把函数 y＝3sin
2x＋π
3 的图象向右平移π
6
得到 y＝3sin2x 的图象；
⑤ 在△ABC 中，若 acosB＝bcosA，则△ABC 是等腰三角形；
其中真命题是________．(填序号)
11. (2015·江西名校联考)设甲、乙两个圆锥的底面积分别为 S1，S2，母线长分别为 L1，L2，若
它们的侧面积相等，且S1
S2
＝9
4
，则L1
L2
的值是________．
12. (2015·云南模拟)已知圆 O：x2＋y2＝1，直线 x－2y＋5＝0 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条
切线，切点为 A，则|PA|的最小值为________．
13. (2016·南昌二中月考)已知 a，b 都是负实数，则 a
a＋2b
＋ b
a＋b
的最小值是________．
14. (2016·成都一诊)如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业，阴影部分是不
能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栅栏进行隔离，古建筑群的边界为曲线 y＝1－4
3
x2 的一
部分，栅栏与矩形区域边界交于点 M，N.则△MON 面积的最小值为________．
练习(十一)
1. (2015·普陀调研)若集合 A＝{x|lgx＜1}，B＝{y|y＝sinx，x∈R}，则 A∩B＝________．
2. (2015·湖南理)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若
将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [139，
151]上的运动员人数是________．
13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9
14
1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7
8
15 0 1 2 2 3 3 3
3. (2016·南阳期末)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z＝________．
4. (2016·郑州一测)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为 a，b，那么直线 bx＋ay＝1
的斜率 k≥－2
5
的概率是________．
5. (2015·渭南白水中学月考)在 6 和 768 之间插入 6 个数，使它们组成共有 8 项的等比数列，
则这个等比数列的第 6 项是________．
6. (2015·山东师大附中二模)已知 x∈
－π
2
，0
，cosx＝4
5
，则 tan2x＝________．
7. (2015·西安一中月考)曲线 f(x)＝ x＋a
x
在(1，a＋1)处的切线与直线 3x＋y＝0 垂直，则 a
等于________．
8. (2016·嘉兴期末)已知 F1，F2 分别是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点 A 是椭圆的
右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，则椭圆的离心率为________．
9. (2016·南阳期末)如图在平行四边形 ABCD 中，已知 AB＝8，AD＝4，CP→＝3PD→，AP→·BP→＝2，
则AB→·AD→的值是________．
10. (2015·沈阳一模)函数 y＝ 1
1－x
的图象与函数 y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横
坐标之和为________．
11. (2016·台州期末)已知实数 x，y 满足约束条件
3x－y－2≥0，
x－2y＋1≤0，
2x＋y－8＜0，
则 u＝2x＋3y
x＋y
的取值范围为
________．
12. (2015·衡水调研)抛物线 y2＝4x 上一点 P 到直线 x＝－1 的距离与到点 Q(2，2)的距离之差
的最大值为________．
13. (2015·四川新津中学一诊)已知函数 f(x)＝xlnx，且 0＜x1＜x2，给出下列命题：
① f（x1）－f（x2）
x1－x2
＜1；
② f(x1)＋x2＜f(x2)＋x1；
③ x2f(x1)＜x1f(x2)；
④ 当 lnx1＞－1 时，x1f(x1)＋x2f(x2)＞2x2f(x1)．
其中正确的命题为________．(填序号)
14. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1，0)，B(0， 3)，C(3，0)，动点 D 满足|CD→|＝1，
则|OA→＋OB→＋OD→|的最大值是________．
练习(十二)
1. (2015·惠州一调)设集合 P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，则 P∩Q＝________．
2. (2016·开封期末)若复数 z＝a＋3i
1－2i
(a∈R，i 是虚数单位)是纯虚数，则在复平面内 z 对应点
的坐标为________．
3. (2016·朝阳一模)已知 i 为虚数单位，则复数 2i
1＋i
＝________．
4. (2016·广州一模)如果函数 f(x)＝cos(ωx＋π
4
)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π
6
，
则ω的值为________．
5. (2015·定西期末)已知 sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，则 tanα＝________．
6. (2015·邢台模拟)有一个底面圆的半径为 1，高为 3 的圆柱，点 O1，O2 分别为这个圆柱上底
面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为________．
7. (2016·汕头金山中学期末)用 a、b、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，
其中真命题是________．(填序号)
① 若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
② 若 a⊥b，b⊥c，则 a⊥c；
③ 若 a∥y，b∥y，则 a∥b；
④ 若 a⊥y，b⊥y，则 a∥b.
8. (2016·日照一中期末)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l：x－ky＋1＝0 与圆 C：
x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，OM→＝OA→＋OB→.若点 M 在圆 C 上，则实数 k＝________．
9. (2016·广东四校期末)设第一象限内的点(x，y)满足约束条件
2x－y－6≤0，
x－y＋2≥0，
若目标函数 z
＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为 40，则5
a
＋1
b
的最小值为________．
10. (2016·廊坊期末)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c.若 sinB＝2sinC，a2－b2
＝3
2
bc，则角 A 等于________．
11. 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b－c＝1
4
a，2sinB＝3sinC，则 cosA
＝__________．
12. (2016·廊坊期末)已知函数f(x)＝
x＋1，0≤x≤1，
1
2
x
＋1，x＞1，
设a＞b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)
的取值范围是________．
13. 定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)满足 f(3)＝0，且不等式 f(x)＞－xf′(x)在(0，＋∞)上恒
成立，则函数 g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点个数为________．
14. 已知椭圆 C：x2
9
＋y2
4
＝1，点 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，
线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|＋|BN|＝________.
练习(十三)
1. (2016·嵊州期末)设集合 U＝{1，2，3，4}，A＝{1，4}，B＝{2}，则 B∪(∁UA)＝________．
2.(2015·山东师大附中二模)已知 i 为虚数单位，则1＋3i
1－i
＝________．
3.(2015·渭南白水中学月考)把函数 y＝sin
5x－π
2 的图象向右平移π
4
个单位，再把所得函数
图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，所得的函数解析式为________．
4.(2015·西安八十三中一段)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝3x－2x＋
a(a∈R)，则 f(－2)＝________．
5.(2016·郑州一测)按如下的程序框图，若输出结果为 273，则判断框处应补充的条件为
________．
6.(2016·徐汇一模)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的标准方程是
________．
7.(2016·南阳期末)已知数列{an}满足 an＋1＋2an＝0，a2＝－6，则{an}的前 10 项和等于________．
8.(2016·泉州质检)已知 y＝f(x)(x∈R)的导函数为 f′(x)．若 f(x)－f(－x)＝2x3，且当 x≥0
时，f′(x)＞3x2，则不等式 f(x)－f(x－1)＞3x2－3x＋1 的解集是__________．
9. (2015·唐山模拟)在四边形 ABCD 中，AB→＝DC→＝(1，1)，
BA→
|BA→|
＋
BC→
|BC→|
＝
3·BD→
|BD→|
，则四边形 ABCD
的面积是________．
10. (2016·桂林、崇左一模)已知△ABC 中，三边长分别是 a，b，c，面积 S＝a2－(b－c)2，b
＋c＝8，则 S 的最大值是________．
11. (2016·珠海期末)已知一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为
x|x＜－1 或 x＞1
2 ，则 f(10x)＞
0 的解集为__________．
12. (2015·沈阳一模)若直线 l：x
a
＋y
b
＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线 l 在 x 轴和 y 轴
的截距之和的最小值是________.
13. (2015·普陀调研)设 a 为大于 1 的常数，函数 f(x)＝
logax，x＞0，
ax，x≤0.
若关于 x 的方程 f2(x)
－bf(x)＝0 恰有三个不同的实数解，则实数 b 的取值范围是________．
14. (2016·开封期末)若曲线 y＝ 1
2e
x2 与曲线 y＝alnx 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，
则实数 a＝________．
练习(十四)
1. (2015·高台一中二检)已知集合 A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则 A∩B＝________．
2.(2016·天津新华中学期末)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中
的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为
________．
甲组 乙组
9 0 9
x 2 1 5 y 8
7 4 2 4
3. (2016·上海崇明)已知 z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i 为虚数单位)，若复数 z 在复平面内对应
的点在实轴上，则 a＝________．
4.(2016·肇庆四中月考)如图，是一个算法伪代码，若输入 x＝－2，则输出的 y 值为________．
Read x
If x＞1 Then
y←x
Else
y←x2＋1
End If
Print y
5.(2015·山东理)已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b
＝________．
6.(2016·腾冲一模)双曲线x2
4
－y2
b2＝1(b＞0)的焦距为 6，则双曲线的渐近线方程为________．
7.(2016·济南月考)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)
ω＞0，|φ|＜π
2 的部分图象如图所示，则 f(0)
＋f
17π
12 的值为________．
8. (2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 1，顶
点都在同一个球面上，则该球的体积为________．
9. (2015·张掖二中月考)设 f(x)是定义在 R 上的恒不为零的函数，对任意实数 x，y∈R，都有
f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若 a1＝1
2
，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是________．
10. (2015·山东师大附中二模)△ABC 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为 AC 边的中点，BF 交 CE
于点 G.若AG→＝xAE→＋yAF→，则 x＋y 等于________．
11. (2016·天津六校期末)已知圆 C：(x－2)2＋y2＝1，若直线 y＝k(x＋1)上存在点 P，使得过
P 向圆 C 所作两条切线所成角为π
3
，则实数 k 的取值范围为________．
12. (2016·兰陵期末)已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x)，满足 f′(x)＜f(x)，
且 f(x＋2)为偶函数，f(4)＝1，则不等式 f(x)＜ex 的解集为________．
13. (2016·泉州质检)对于同一平面的单位向量 a，b，c，若 a 与 b 的夹角为 60°，则(a－b)·(a
－2c)的最大值是________．
14. (2015·天津理)已知函数 f(x)＝
2－|x|，x≤2，
（x－2）2，x＞2，
函数 g(x)＝b－f(2－x)，其中 b∈R.
若函数 y＝f(x)－g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是__________．
练习(十五)
1. (2016·开封期末)设集合 A＝{x|2x－2＜1}，B＝{x|1－x≥0}，则 A∩B＝________．
2. (2015·惠州一调)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z
＋z2＝________．
3. (2015·新课标全国Ⅱ)设函数 f(x)＝
1＋log2（2－x），x＜1，
2x－1，x≥1，
则 f(－2)＋f(log212)＝
________．
4. (2016·郑州一测)设双曲线x2
a2－y2
b2＝1 的一条渐近线为 y＝－2x，且一个焦点与抛物线 y2＝4x
的焦点相同，则此双曲线的方程为________．
5. (2016·漳州东山二中期中)某校共有 400 名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，
100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，
100]，则在本次竞赛中，得分不低于 80 分的人数为________．
6. (2015·新课标全国Ⅰ)若 x，y 满足约束条件
x－1≥0，
x－y≤0，
x＋y－4≤0，
则y
x
的最大值为________．
7.(2016·江西名校联考)已知函数 y＝cosx 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐
标为π
3
的交点，则常数φ的值为________．
8. (2015·山东理)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝π
2
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD 绕 AD
所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________．
9.(2015·西安八十三中一段)在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为(0，1)，( 2，0)，
(0，－2)，O 为坐标原点，动点 P 满足|CP→|＝1，则|OA→＋OB→＋OP→|的最小值是________．
10.(2016·南阳期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若
实数 a 满足 f(log2a)＋f(log
1
2
a)≤2f(1)，则 a 的取值范围是________．
11.(2016·太原一模)圆心在曲线 y＝2
x
(x＞0)上，且与直线 2x＋y＋1＝0 相切的面积最小的圆
的方程为________．
12(2015·天水一中月考)设非零向量 a 与 b 的夹角是5π
6
，且|a|＝|a＋b|，则|2a＋tb|
|b|
(t∈R)
的最小值是________．
13(2015·上海五校月考)已知 M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB→·AC→＝2 3，∠BAC＝30°.
若△MBC、△MAB、△MAC 的面积分别是 x，y，z，则 1
x＋y
＋4
z
的最小值为________．
14(2015·福建理)若 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且 a，b，
－2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p＋q 的值为________．
第二部分 解答题
练习(一)
1. (2016·成都一诊)已知向量 m＝(cos2x， 3
2
sinx－1
2
cosx)，n＝
1， 3
2
sinx－1
2
cosx
，设函
数 f(x)＝m·n.
(1) 求函数 f(x)取得最大值时 x 取值的集合；
(2) 设 A，B，C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，若 cosB＝3
5
，f(C)＝－1
4
，求 sinA 的值．
2.(2016·大兴期末)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，C1C⊥底面 ABC，CC1＝AB＝AC＝BC＝4，D 为线
段 AC 的中点．
(1) 求证：直线 AB1∥平面 BC1D；
(2) 求证：平面 BC1D⊥平面 A1ACC1；
(3) 求三棱锥 DC1CB 的体积．
3. (2016·徐汇一模)某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线
AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分，其中 E(0，t)(0＜t≤25)；曲线 BC 是抛物线 y＝－ax2＋50(a＞0)
的一部分；CD⊥AD，且 CD 恰好等于圆 E 的半径．假定拟建体育馆的高 OB＝50(单位：米，下同)．
(1) 若 t＝20、a＝ 1
49
，求 CD、AD 的长度；
(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米，求 a 的取值范围；
(3) 若 a＝ 1
25
，求 AD 的最大值．
4. (2015·兴平一检)已知椭圆x2
2
＋y2＝1 上两个不同的点 A，B 关于直线 y＝mx＋1
2
对称．
(1) 求实数 m 的取值范围；
(2) 求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
5. (2016·汉阳一中月考)已知数列{an}为等差数列，a3＝5，a4＝2a2＋a1.
(1) 求数列{an}的通项公式 an；
(2) 设 bn＝ 1
an·an＋1
，数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
① 求 Tn；
② 若 T1，Tm，Tn 成等比数列，m＞1，求正整数 m，n 的值．
6.(2016·台州期末)已知 a＞0，b∈R，函数 f(x)＝4ax2－2bx－a＋b 的定义域为[0，1]．
(1) 当 a＝1 时，函数 f(x)在定义域内有两个不同的零点，求 b 的取值范围；
(2) 记 f(x)的最大值为 M，证明：f(x)＋M＞0.
练习(二)
1. (2015·西安一中月考)在锐角△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 acosB＋
bcosA＝3 5
5
csinC.
(1) 求 cosC；
(2) 若 a＝6，△ABC 的面积为 8 5，求 c.
2.(2016·成都二诊)三棱锥 SABC 中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC 且 AC＝2，BC＝ 13，SB＝ 29.
(1) 证明：SC⊥BC；
(2) 求三棱锥的体积 VSABC.
3.(2016·济南期末)第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带
来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产 x 台，
需另投入成本为 C (x)万元．若年产量不足 80 台时，C(x)＝1
2
x2＋40x(万元)；若年产量不小于 80 台时，
C(x)＝101x＋8 100
x
－2 180(万元)．每台设备售价为 100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设
备能全部售完．
(1) 求年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的函数关系式；
(2) 年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？
4.(2015·襄阳调研)已知函数 f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝x2＋bx＋1(b 为常数)，h(x)＝f(x)－
g(x)．
(1) 若存在过圆点的直线与函数 f(x)、g(x)的图象相切，求实数 b 的值；
(2) 当 b＝－2 时，x1、x2∈[0，1]使得 h(x1)－h(x2)≥M 成立，求 M 的最大值；
(3) 若函数 h(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点 A(x1，0)、B(x2，0)，且 0＜x1＜x2，求证：h′
x1＋x2
2 ＜0.
5. (2015·上海五校联考)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N：(x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外
切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1) 求 C 的方程；
(2) l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，
求|AB|.
6. (2015·普陀调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＋an＝4，n∈N*.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 已知 cn＝2n＋3(n∈N*)，记 dn＝cn＋logCan(C＞0 且 C≠1)，是否存在这样的常数 C，使得数
列{dn}是常数列？若存在，求出 C 的值；若不存在，请说明理由；
(3) 若数列{bn}对于任意的正整数 n，均有 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝
1
2
n
－n＋2
2
成立，求
证：数列{bn}是等差数列．
练习(三)
1. (2016·江西名校联考)设向量AB→＝(2，6)，BC→＝(sinθ，1)，θ∈(0，π)．
(1) 若 A、B、C 三点共线，求 cos
θ＋3π
2 ；
(2) 若AC→·BC→＜33
4
，求θ的取值范围．
2.如图，三棱锥 A － BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(1) 求证：CD⊥平面 ABD；
(2) 若 AB＝BD＝CD＝1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A － MBC 的体积．
3. (2015·渭南白水中学月考)如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A
相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出
发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上．
(1) 求渔船甲的速度；
(2) 求 sinα的值．
4. (2016·南阳期末)椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l：x＝my
－1 经过点 F1 与椭圆 C 交于点 M，点 M 在 x 轴的上方，当 m＝0 时，|MF1|＝ 2
2
.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 若点 N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点，MF1∥NF2，且S△MF1F2
S△NF1F2
＝3，求直线 l 的方程．
5.(2016·山东师大附中三模)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足 3n·bn＋1＝(n
＋1)an＋1－nan，且 b1＝3.
(1) 求 an，bn；
(2) 设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和，求 Tn，并求满足 Tn＜7 时 n 的最大值．
6.(2016·桂林、崇左一模)已知函数 f(x)＝1
x
＋alnx(a≠0，a∈R)．
(1) 若 a＝1，求函数 f(x)的极值和单调区间；
(2) 若在区间[1，e]上至少存在一点 x0，使得 f(x0)＜0 成立，求实数 a 的取值范围．
练习(四)
1. (2015·江西名校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3(sin2B＋sin2C
－sin2A)＝2 3sinBsinC.
(1) 求 tanA；
(2) 若△ABC 的面积为 6＋ 2，求 a 的最小值．
2.(2016·成都二诊)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB＝90°，且 AC
＝1，AB＝2，E 为 BB1 的中点，M 为 AC 上一点，AM＝2
3
AC.
(1) 若三棱锥 A1C1ME 的体积为 2
6
，求 AA1 的长；
(2) 证明：CB1∥平面 A1EM.
3. (2015·普陀调研)如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形，钉身为圆柱形的铆钉(图 1)
穿在一起，在没有帽的一端再打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢
结构的配件，其截面图如图 2(单位：mm)(加工中不计损失)．
(1) 若钉身长度是钉帽长度的 2 倍，求铆钉的表面积；
(2) 若每块钢板的厚度为 12 mm，求钉身的长度(结果精确到 1 mm)．
图 1
图 2
4.(2015·上海五校联考)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使
得 Sn＝am，则称数列{an}是“E 数列”．
(1) 数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n(n∈N*)，判断数列{an}是否为“E 数列”，并说明理由；
(2) 数列{bn}是等差数列，其首项 b1＝1，公差 d＜0，数列{bn}是“E 数列”，求 d 的值；
(3) 证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“E 数列”{bn}和{cn}，使得 an＝bn＋cn(n∈N*)
成立．
5. ( 2015·西安铁一中学月考)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，离心率为 2
2
，
过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 2，O 为坐标原点．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 如图所示，设直线 l 与圆 x2＋y2＝r2(1＜r＜ 2)、椭圆 C 同时相切，切点分别为 A、B，求
|AB|的最大值．
6. (2016·晋中期末)已知函数 f(x)＝x2－ax，g(x)＝lnx.
(1) 令 F(x)＝f(x)－g(x)，求 F(x)的单调区间；
(2) 设 r(x)＝f(x)＋g
1＋ax
2 对任意 a∈(1，2)，总存在 x∈
1
2
，1
使不等式 r(x)＞k(1－a2)
成立，求实数 k 的取值范围．
练习(五)
1. (2015·哈尔滨六中月考)在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足( 2a－c)BA→·BC→
＝cCB→·CA→.
(1) 求角 B 的大小；
(2) 若|BA→－BC→|＝ 6，求△ABC 面积的最大值．
2.(2015·襄阳调研)如图，四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 为底面中心，A1O
⊥平面 ABCD，AB＝ 2，AA1＝2.
(1) 证明：AA1⊥BD；
(2) 证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1 ；
(3) 求三棱柱 ABD － A1B1D1 的体积．
3. (2015·惠州一调)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 x 轴上，半径为 4 的圆 C 位于 y 轴
的右侧，且与 y 轴相切．
(1) 求圆 C 的方程；
(2) 若椭圆x2
25
＋y2
b2＝1(b＞0)的离心率为4
5
，且左、右焦点为 F1、F2，试探究在圆 C 上是否存在点
P，使得△PF1F2 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的 P 点？并说明理由(不必具体求出这
些点的坐标)
4. (2015·滕州一中月考)某厂家拟举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 x 万元时，
销售量 t 万件满足 t＝5－ 9
2（x＋1）
(其中 1≤x≤a，a＞1)．假定生产量与销售量相等，已知生产该
产品 t 万件还需(10＋2t)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为
4＋20
t 万元/万件．
(1) 将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；
(2) 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
5. (2015·南阳期中)数列{an}的首项 a1＝1，且对任意 n∈N*，an 与 an＋1 恰为方程 x2－bnx＋2n＝0
的两个根．
(1) 求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
(2) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
6. (2016·广东月考)设函数 f(x)＝1
2
x2＋lnx－mx(m>0)．
(1) 求 f(x)的单调区间；
(2) 求 f(x)的零点个数；
(3) 证明：曲线 y＝f(x)没有经过原点的切线．
练习(六)
1. (2015·滕州一中月考)已知向量 m＝
3sinx
4
，1
，n＝
cosx
4
，cos2x
4 ，函数 f(x)＝m·n.
(1) 若 f(x)＝1，求 cos
2π
3
－x
的值；
(2) 在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋1
2
c＝b，求 f(2B)的取
值范围．
2.(2016·兰陵期末)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点
D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
(1) 平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
(2) 直线 A1F∥平面 ADE.
3.(2015·襄阳期中)2014 年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管
理部门提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加
值，经过市场调查，旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足：y＝51
50
x－ax2－ln x
10
，x∈(1，t]，
当 x＝10 时，y＝9.2.
(1) 求 y＝f(x)的解析式；
(2) 求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值．
4. (2015·马鞍山质检)在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，已知 a5＝－3，S7＝－14.数列{bn}
满足 bn＋1－
2bn＝0，b2＋b4＝20.
(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2) 设 cn＝an
bn
，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
5. (2016·龙岩质检)已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率为 3
2
，点
3，1
2 在椭圆 C 上．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 若直线 l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 中点为 M，点 O 为坐标
原点. 证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
6. (2015·南昌二中月考)已知函数 f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．
(1) 设 b＝2－a，求 f(x)的零点的个数；
(2) 设 a＞0，且对于任意 x＞0，f(x)≥f(1)，试比较 lna 与－2b 的大小．
练习(七)
1. (2015·银川一中月考)设函数 f(x)＝ 2
2
cos
2x＋π
4
＋sin2x.
(1) 求函数 f(x)的最小正周期；
(2) 设函数 g(x)对任意 x∈R，有 g
x＋π
2 ＝g(x)，且当 x∈
0，π
2 时，g(x)＝1
2
－f(x)，求函
数 g(x)在[－π，0]上的解析式．
2. (2016·昌平期末)在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD 为等边三角形，AB＝AD
＝1
2
CD，AB⊥AD，AB∥CD，点 M 是 PC 的中点．
(1) 求证：MB∥平面 PAD；
(2) 求二面角 PBCD 的余弦值；
(3) 在线段 PB 上是否存在点 N，使得 DN⊥平面 PBC？若存在，请求出PN
PB
的值；若不存在，请说
明理由．
3. (2015·杨浦区调研)如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R，∠MON＝π
2
，现要在其中圈
出一块矩形场地 ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、B 在弧 MN 上，且线段 AB 平行于线段 MN.
(1) 若点 A 为弧 MN 的一个三等分点，求矩形 ABCD 的面积 S；
(2) 当 A 在何处时，矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大值为多少？
4. (2016·朝阳期末)已知圆 O：x2＋y2＝1 的切线 l 与椭圆 C：x2＋3y2＝4 相交于 A，B 两点．
(1) 求椭圆 C 的离心率；
(2) 求证：OA⊥OB.
5.(2016·大兴期末)已知函数 f(x)＝lnx
x
.
(1) 求函数 y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2) 设实数 k 使得 f(x)＜kx 恒成立，求 k 的取值范围；
(3) 设 g(x)＝f(x)－kx (k∈R)，求函数 g(x)在区间
1
e
，e2
上有两个零点，求 k 的取值范围．
6. (2016·浦东新区一模)已知两个无穷数列{an}、{bn}分别满足
a1＝1，
|an＋1－an|＝2，
b1＝－1，
|bn＋1
bn
|＝2，其
中 n∈N*，设数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn.
(1) 若数列{an}、{bn}都为递增数列，求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2) 若数列{cn}满足：存在唯一的正整数 k(k≥2)，使得 ck＜ck－1，称数列{cn}为“k 坠点数列”．
① 若数列{an}为“5 坠点数列”，求 Sn；
② 若数列{an}为“p 坠点数列”，数列{bn}为“q 坠点数列”，是否存在正整数 m，使得 Sm＋1＝
Tm？若存在，求 m 的最大值；若不存在，说明理由．
练习(八)
1. (2016·牡口一中检测)△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinAsinB
＋bcos2A＝5
3
a.
(1) 求b
a
；
(2) 若 c2＝a2＋8
5
b2，求角 C.
2.( 2015·临海月考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC，D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点(点
D 不在 BC 的端点处)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证：
(1) AD⊥平面 B1BCC1；
(2) A1F∥平面 ADE.
3. (2015·湖溪期中)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝3
2
an－n(n∈N*)．
(1) 求证{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 证明：a1
a2
＋a2
a3
＋a3
a4
＋…＋ an
an＋1
＞n
3
－1
8
.
4.(2015·西安临潼区一模)已知函数 f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．
(1) 讨论函数 f(x)的单调性；
(2) 若函数 f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为 45°，且函数 g(x)＝x3＋x2[f′(x)
＋m
2
]在区间(1，3)上不单调，求 m 的取值范围；
(3) 试比较ln22
22 ＋ln32
32 ＋…＋lnn2
n2 与（n－1）（2n＋1）
2（n＋1）
的大小(n∈N*，且 n≥2)，并证明你的结
论．
5.(2016·茂名一模)已知椭圆 C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)离心率为 e＝ 3
2
，且 C1 的右焦点与抛物线
C2：y2＝4 3x 的焦点相同．
(1) 求椭圆 C1 的方程；
(2) 经过点 P(－2，0)分别作斜率为 k1、k2(k1≠k2)的两条直线，两直线分别与椭圆 C1 交于 M、N
两点，当直线 MN 与 y 轴垂直时，求 k1·k2 的值．
6. (2015·诸暨中学月考)已知函数 f(x)＝ 1
|x＋2|
＋kx＋b，其中 k，b 为实数且 k≠0.
(1) 当 k＞0 时，根据定义证明 f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2) 求集合 Mk＝{b|函数 f(x)有三个不同的零点}．
练习(九)
1. (2016·太原模拟)已知 a，b，c 分别为锐角△ABC 内角 A，B，C 的对边，且 3a＝2csinA.
(1) 求角 C；
(2) 若 c＝ 7，且△ABC 的面积为3 3
2
，求 a＋b 的值．
2.(2016·周口期末)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1，M 为 A1B1 的中点，N
是 AC1 与 A1C 的交点．求证：
(1) MN∥平面 BCC1B1；
(2) MN⊥平面 ABC1.
3. (2015·达州测试)如图 ABCD 是一块边长为 100 m 的正方形地皮，其中 ATPN 是一半径为 90 m
的扇形小山，P 是弧 TN 上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在 BC
与 CD 上的长方形停车场 PQCR(如图所示)，设∠PAB＝θ.
(1) 用含有θ的式子表示矩形 PQCR 的面积 S；
(2) 求长方形停车场 PQCR 面积 S 的最大值和最小值．
4.(2015·江南十校一模)已知数列{an}满足 a1＝－1，an＋1＝（3n＋3）an＋4n＋6
n
(n∈N*)．
(1) 证明：数列
an
n
＋2
n 是等比数列；
(2) 令 bn＝ 3n－1
an＋2
，数列{bn}的前 n 项和为 Sn.证明：当 n≥2 时，S2
n＞2
S2
2
＋S3
3
＋…＋Sn
n .
5(2015·成都一诊)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，长轴在 x 轴上，离心率为1
2
，且椭圆 C 上
一点到两个焦点的距离之和为 4.
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 已知 P、Q 是椭圆 C 上的两点，若 OP⊥OQ，求证： 1
|OP|2＋ 1
|OQ|2为定值；
(3) 当 1
|OP|2＋ 1
|OQ|2为(2)所求定值时，试探究 OP⊥OQ 是否成立？并说明理由．
6. (2015·秦安一模)已知函数 g(x)＝f(x)＋1
2
x2－bx，函数 f(x)＝x＋alnx 在 x＝1 处的切线 l
与直线 x＋2y＝0 垂直．
(1) 求实数 a 的值；
(2) 若函数 g(x)存在单调递减区间，求实数 b 的取值范围；
(3) 设 x1、x2(x1＜x2)是函数 g(x)的两个极值点，若 b≥7
2
，求 g(x1)－g(x2)的最小值．
练习(十)
1. (2016·丰台期末)如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝3 6，BC＝5 6，点 D 在边 BC 上，且∠ADC
＝60°.
(1) 求 cosC；
(2) 求线段 AD 的长．
2(2015·沈阳一模)如图，设四棱锥 E－ ABCD 的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝EC＝2，AE
＝BE＝ 2.
(1) 证明：平面 EAB⊥平面 ABCD；
(2) 求四棱锥 E－ ABCD 的体积．
3. (2016·周口期末)投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出 12 万
元，以后每年支出增加 4 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元．设 f(n)表示前 n 年的纯利
润总和(f(n)＝前 n 年的总收入－前 n 年的总支出－投资额)．
(1) 该厂从第几年开始盈利？
(2) 若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：① 年平均纯利润达到最大时，
以 48 万元出售该厂；② 纯利润总和达到最大时，以 10 万元出售该厂，问哪种方案更合算？
4. (2015·保山一模)已知函数 f(x)＝ex－x－m(m∈R)．
(1) 当 x＞0 时，f(x)＞0 恒成立，求 m 的取值范围；
(2) 当 m＝－1 时，证明：
x－lnx
ex f(x)＞1－1
e2.
5. (2015·安徽名校一模)如图，椭圆 C1：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2
2
，x 轴被曲线 C2：y
＝x2－b 截得的线段长等于椭圆 C1 的短轴长．C2 与 y 轴的交点为 M，过点 M 的两条互相垂直的直线 l1、
l2 分别交抛物线于 A、B 两点，交椭圆于 D、E 两点．
(1) 求 C1、C2 的方程；
(2) 记△MAB，△MDE 的面积分别为 S1、S2，若S1
S2
＝5
8
，求直线 AB 的方程．
6.(2016·济南月考)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，且 a3＝5，a2，a4，a12 成等比数列．数
列{bn}的每一项均为正实数，其前 n 项和为 Sn，且满足 4Sn＝b2
n＋2bn－3.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 令 cn＝ 1
（2an＋5）bn
，记数列{cn}的前 n 项和为 Tn，若 Tn
Tn＋1
≥ am
am＋1
对任意 n∈N*恒成立，求正
整数 m 的最大值．
练习(十一)
1. (2015·淮南一模)已知函数 f(x)＝ 3sinx
4
cosx
4
＋cos2x
4
.
(1) 若 f(θ)＝1，求 cos
2π
3
－θ
的值；
(2) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求 f(A)的
取值范围．
2.(2016·丰台期末)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形， PD＝PB＝4，∠
BAD＝60°，E 为 PA 的中点．
(1) 求证：PC∥平面 EBD；
(2) 求证：平面 EBD⊥平面 PAC；
(3) 若 PA＝PC，求三棱锥 CABE 的体积．
3. (2015·东莞专练)如图，有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线 OC 是以
直线 AD 为对称轴，以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，
使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为 2 m，问如何画切割线 EF，可使剩余的直角梯
形的面积最大？并求其最大值．
4. (2016·文昌中学期末)已知数列{an}中，有 an＋1＝an＋4，且 a1＋a4＝14.
(1) 求{an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn；
(2) 令 bn＝ Sn
n＋k
，若{bn}是等差数列，求数列
1
bnbn＋1 的前 n 项和 Tn.
5. (2016·西城期末)如图，已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率是 3
2
，一个顶点是 B(0，
1)．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设 P，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点，且 BP⊥BQ.试问：直线 PQ 是否恒过一定点？若
是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
6. (2016·朝阳区期末)已知函数 f(x)＝ax＋lnx，其中 a∈R.
(1) 若 f(x)在区间[1，2]上为增函数，求 a 的取值范围；
(2) 当 a＝－e 时，
(ⅰ) 证明：f(x)＋2≤0；
(ⅱ) 试判断方程|f（x）|＝lnx
x
＋3
2
是否有实数解，并说明理由．
练习(十二)
1. (2016·大兴期末)已知函数 f(x)＝ 3sinxcosx＋cos2x.
(1) 求 f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2) 求 f(x)在区间
－π
2
，0
上的最大值与最小值．
2.(2016·昌平期末)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D 为 BC 中点. AB1
与 A1B 交于点 O.
(1) 求证： A1C∥平面 AB1D；
(2) 求证：A1B⊥平面 AB1C；
(3) 在线段 B1C 上是否存在点 E，使得 BC⊥AE？请说明理由．
3. (2015·泰安期末)如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路 OC，另一侧修建一条观
光大道，它的前一段 OD 是以 O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段 DBC 是
函数 y＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 ，x∈[4，8]时的图象，图象的最高点为 B
5，8 3
3 ，
DF⊥OC，垂足为 F.
(1) 求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2) 若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE，问：点 P 落在曲线 OD 上何处时，水上乐
园的面积最大？
4. (2016·周口期末)已知函数 f(x)＝x2－ax＋lnx，a∈R.
(1) 若函数 f(x)在(1，f(1))处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；
(2) 在(1)的条件下，求函数 f(x)的单调区间；
(3) 若 x＞1 时，f(x)＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
5.(2016·昆明三中期末)已知椭圆 C：x2
4
＋y2
3
＝1，直线 l 过点 M(m，0)．
(1) 若直线 l 交 y 轴于点 N，当 m＝－1 时，MN 中点恰在椭圆 C 上，求直线 l 的方程；
(2) 如图，若直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 m＝－4 时，在 x 轴上是否存在点 P，使得△PAB
为等边三角形？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
6. (2016·南海月考)已知数列{an}满足 a1＝1，且 an＝2an－1＋2n(n≥2 且 n∈N*)．
(1) 求证数列
an
2n 为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn；
(3) 设 bn＝Sn－3
3n ，试求数列{bn}的最大项．
练习(十三)
1. (2015·益阳一模)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，且(2b－c)cosA＝acosC.
(1) 求角 A 的大小；
(2) 若 a＝3，b＝2c，求△ABC 的面积．
2.(2016·郑州一测)如图，矩形 CDEF 和梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，
AB＝AD＝1
2
CD，BE⊥DF.
(1) 若 M 为 EA 中点，求证：AC∥平面 MDF；
(2) 若 AB＝2，求四棱锥 EABCD 的体积．
3.(2015·武汉重点中学联考)某健身产品企业第一批产品 A 上市销售，40 天内全部售完．该企
业对第一批产品 A 上市后的市场销售进行调研，情况反馈大概如图 1、图 2 所示．其中市场的日销
售量(单位：万件)与上市时间(天)的关系近似满足图 1 中的抛物线；每件产品 A 的销售利润(元/件)
与上市时间(天)的关系近似满足图 2 的折线．
(1) 写出市场的日销售量 f(t)与第一批产品 A 上市时间 t 的关系式；
(2) 第一批产品 A 上市后的第几天，这家企业日销售利润最大，最大利润是多少？
4. (2016·临沂月考)已知正数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 4Sn＝a2
n＋2an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 符号[x]表示不超过实数 x 的最大整数，如[log23]＝1，[log25]＝2.记 bn＝
log2
an＋3
2 ，求
数列{2n·b2n}的前 n 和 Tn.
5. (2016·淄博月考)如图所示的封闭曲线 C 由曲线 C1：x2
a2＋y2
b2＝1 (a>b>0，y≥0)和曲线 C2：x2
＋y2＝r2 (y<0)组成，已知曲线 C1 过点
3，1
2 ，离心率为 3
2
，点 A、B 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的
一个交点．
(1) 求曲线 C1 和 C2 的方程；
(2) 若点 Q 是曲线 C2 上的任意点，求△QAB 面积的最大值；
(3) 若点 F 为曲线 C1 的右焦点，直线 l：y＝kx＋m 与曲线 C1 相切于点 M，与 x 轴交于点 N，直
线 OM 与直线 x＝4 3
3
交于点 P，求证：MF∥PN.
6. (2016·临川期末)已知函数 f(x)＝x2＋a(x＋lnx)，a∈R.
(1) 若当 a＝－1 时，求 f(x)的单调区间；
(2) 若 f(x)＞1
2
(e＋1)a，求 a 的取值范围．
练习(十四)
1. (2016·成都二诊)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝ 3，且 b2
＋c2＝3＋bc.
(1) 求角 A 的大小；
(2) 求 bsinC 的最大值．
2.( 2016·滨州月考)如图，四边形 ABCD 为正方形，AB⊥平面 BCEF，G 是 EF 的中点，BC∥EF, BC
＝CE＝1
2
EF.求证：
(1) DE∥平面 ACG；
(2) CG⊥平面 ABE.
3. (2015·徐州期末)如图，在半径为 3 m 的1
4
圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC，
其中点 B 在圆弧上，点 A，C 在两半径上，现将此矩形铝皮 OABC 卷成一个以 AB 为母线的圆柱形罐子
的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长 AB＝x m，圆柱的体积为 V m3.
(1) 写出体积 V 关于 x 的函数关系式，并指出定义域；
(2) 当 x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大？最大体积是多少？
4. (2016·枣庄月考)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1
2
，an>0(n∈N*)，S3＋a3，S5＋a5，
S4＋a4 成等差数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设 bn＝3an＋2n－7，Tn 是数列{bn}的前 n 项和，求 Tn 以及 Tn 的最小值．
5.(2016·龙岩质检)已知函数 f(x)＝ ax
ex＋1
＋be－x，点 M(0，1)在曲线 y＝f(x)上，且曲线在点 M
处的切线与直线 2x－y＝0 垂直．
(1) 求 a，b 的值；
(2) 如果当 x≠0 时，都有 f(x)> x
ex－1
＋ke－x，求 k 的取值范围．
6. (2016·泰安月考)如图，A，B，C 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1 (a>b>0)的顶点，点 F (c，0)为椭圆的右焦
点，离心率为 3
2
，且椭圆过点(2 3，1).
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点，直线 CP 交 x 轴于点 E，直线 BC 与 AP 相交于点 D，连
结 DE.设直线 AP 的斜率为 k，直线 DE 的斜率为 k1，证明：2k1＝k＋1
2
.
练习(十五)
1. (2016·汉阳一中调考)已知 m＝
sinx，1
2 ，n＝ cosx，cos
2x＋π
6 ，f(x)＝m·n＋3
2
.
(1) 试求函数 f(x)的单调递增区间；
(2) 在锐角△ABC 中，△ABC 的三角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 f(C)＝3
2
，且 c＝ 3，
求 a－1
2
b 的取值范围．
2.(2016·菏泽月考)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC＝4，BC＝3，AA1＝4，AC⊥BC，点 M 在线
段 AB 上．
(1) 若 M 是 AB 中点，证明 AC1∥平面 B1CM；
(2) 当 BM 长是多少时，三棱锥 B1BCM 的体积是三棱柱 ABCA1B1C1 的体积的1
9
？
3.某种产品的成本为每件 30 元．现有 A、B 两种销售方式：A 方式是由生产单位门市部销售，
每件 56 元，但每月需支付工时费用和管理费用共 5 000 元；B 方式是直接批发给商场，每件 48 元．请
根据该单位生产能力情况说明，选择哪种销售方式利润较好．
4. (2016·惠州三调)已知中心在原点的椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1 的一个焦点为 F1(0，3)，M(x，4)(x
＞0)为椭圆 C 上一点，△MOF1 的面积为3
2
.
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 是否存在平行于 OM 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以线段 AB 为直径
的圆恰好经过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．
5.(2016·丰台月考)已知数列{an}是无穷数列，a1＝a，a2＝b(a，b 是正整数)，an＋1＝
an
an－1
an
an－1
>1
，
an－1
an
an
an－1
≤1
.
(1) 若 a1＝2，a2＝1，写出 a4，a5 的值；
(2) 已知数列{an}中 ak＝1(k∈N*)，求证：数列{an}中有无穷项为 1；
(3) 已知数列{an}中任何一项都不等于 1，记 bn＝max{a2n－1，a2n}(n＝1，2，3，…；max{m，n}
为 m，n 中较大者)．求证：数列{bn}是单调递减数列．
6. (2016·朝阳月考)已知函数 f(x)＝k＋x
k－x
·ex(k∈R)．
(1) 若 k＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f（0）)处的切线方程；
(2) 求函数 f(x)的单调区间；
(3) 设 k≤0，若函数 f(x)在区间( 3，2 2)上存在极值点，求 k 的取值范围．
资 源 篇
第一部分 填 空 题
练习(一)
1. {－1，0} 解析：由 A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，
得 A∩B＝{－1，0}．
2. 17 解析：∵ 960÷32＝30，∴ 由题意可得抽到的号码构成以 9 为首项、以 30 为公差的等差
数列．由 1≤30n－21≤450，n 为正整数可得 1≤n≤15，∴ 做问卷 B 的人数为 32－15＝17.
3. －2
3
解析：2－bi
1＋2i
＝（2－bi）（1－2i）
（1＋2i）（1－2i）
＝（2－2b）－（b＋4）i
5
，由题意可得 2－2b＝b＋4，
解得 b＝－2
3.
4. 63 解析：执行程序框图，有 A＝1，A＝3，输出 A 的值为 3，满足条件 A＜35，A＝7，输
出 A 的值为 7，满足条件 A＜35，A＝15，输出 A 的值为 15，满足条件 A＜35，A＝31，输出 A 的
值为 31，满足条件 A＜35，A＝63，输出 A 的值为 63，不满足条件 A＜35，结束．故打印的最后一
个数据是 63.
5. － 2
10
解析：因为 sinα＝3
5
π
2
<α<π ，所以 cosα＝－4
5
，f α＋π
12 ＝sin α＋π
12
＋π
6 ＝
sin α＋π
4 ＝ 2
2 sinα＋ 2
2 cosα＝－ 2
10.
6. 2
3
解析：从甲、乙、丙、丁 4 个人中随机选取两人，共有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，
丙丁 6 种选法，其中甲乙两人中有且只有一个被选取，则有甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，共 4 种，故
甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为4
6
＝2
3.
7. ④ 解析：若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故①不正确；若 m，n 平行
于同一平面，则 m，n 可以平行、重合、相交、异面，故②不正确；若α，β不平行，但α平面内会
存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故③不正确；④中，其逆否命题为“若 m
与 n 垂直于同一平面，则 m，n 平行”是真命题，故④正确．
8. 1
2
解析：由题意得，椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0，c 为半焦距)的左焦点为 F，右顶点为 A，则
A(a，0)，F(－c，0)，∵ 抛物线 y2＝15
8 (a＋c)x 与椭圆交于 B、C 两点，∴ B、C 两点关于 x 轴对称，
可设 B(m，n)，C(m，－n)．∵ 四边形 ABFC 是菱形，∴ BC⊥AF，2m＝a－c，则 m＝1
2(a－c)．将
B(m，n)代入抛物线方程得，n2＝15
8 (a＋c)m＝15
16(a＋c)(a－c)＝15
16(a2－c2)，∴ n2＝15
16b2，则不妨设
B
1
2
（a－c）， 15
4 b ，再代入椭圆方程，得1
4
·（a－c）2
a2
＋15b2
16b2
＝1，化简得（a－c）2
4a2
＝ 1
16
，由 e＝c
a
，
即有 4e2－8e＋3＝0，解得 e＝1
2
或3
2(舍去)．
9. 90° 解析：由AO→ ＝1
2(AB→ ＋AC→ )，得 O 为 BC 的中点，即圆 O 的直径为 BC，所以∠BAC＝90°，
则AB→ 与AC→ 的夹角为 90°.
10.
－∞，－3
2 解析：若 1
2x≥1，即 x≥2 时，x2－3≥1，此时函数 f(x)在[1，＋∞)上为减函
数，则由 f(x2－3)＞f
1
2x 得 x2－3＜1
2x，即 2x2－x－6＜0，得－3
2
＜x＜2，此时 x 无解．若 1
2x＜1，
即 x＜2 时，若 x2－3＜1，即－2＜x＜2 时，函数 f(x)在(－∞，1]上是增函数，则由 f(x2－3)＞f
1
2x
得 x2－3＞1
2x，即 2x2－x－6＞0，得 x＜－3
2
或 x＞2(舍)，此时－2＜x＜－3
2.若 x≤－2，则 1
2x≤－1，
此时 f
1
2x ＜0，而 x2－3≥1，则 f(x2－3)＞0，此时不等式 f(x2－3)＞f
1
2x 恒成立．综上，不等式的
解集为 －∞，－3
2 .
11. 58 解析：∵ {an}是首项为 32 的等比数列，Sn 是其前 n 项和，且S6
S3
＝65
64
，∴
32（1－q6）
1－q
32（1－q3）
1－q
＝
65
64
，∴ 1＋q3＝65
64
，∴ q＝1
4
，∴ an＝32·
1
4
n－1
＝27－2n，∴ |log2an|＝|7－2n|，
∴ 数列{|log2an|}前 10 项和为 5＋3＋1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝58.
12. (0，1) 解析：抛物线 y2＝ 4x
m
(m＞0)的焦点 F 坐标为
1
m
，0 ，若点 F 在圆 x2＋y2＝1 外，
则1
m
＞1，解得 m∈(0，1)．
13. 8＋4 3
3
解析：作出不等式组对应的平面区域如图所示．
由 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)，得 y＝－a
bx＋z
b
，则直线的斜率 k＝－b
a
＜0，截距最大时，z 也最大．平
移直线 y＝－a
bx＋z
b
，由图象可知当直线 y＝－a
bx＋z
b
经过点 A 时，直线 y＝－a
bx＋z
b
的截距最大，此
时 z 最大．
由 3x－y－6＝0，
x－y＋2＝0，
解得 x＝4，
y＝6，
即 A(4，6)，
此时 z＝4a＋6b＝6，即2a
3
＋b＝1，
∴ 1
a
＋2
b
＝
1
a
＋2
b
2a
3
＋b ＝8
3
＋b
a
＋4a
3b
≥8
3
＋2 b
a·4a
3b
＝8
3
＋4 3
3
，当且仅当b
a
＝4a
3b
，即 a＝ 3
2 b 时取
等号，此时 b＝3－ 3
2
，a＝3 3－3
4
时取等号．
14.
1－ 3
16
，0 解 析 ： ∵ 2x － 1≤x － 1 时 ， 有 x≤0 ， ∴ 根 据 题 意 得 f(x) ＝
（2x－1）2－（2x－1）（x－1），x≤0，
（x－1）2－（2x－1）（x－1），x＞0，
即 f(x)＝ 2x2－x，x≤0，
－x2＋x，x＞0.
画出函数的图象如下，从图象上观察：当关于 x 的方程为 f(x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实
数根时，m 的取值范围是 0，1
4 ，
当－x2＋x＝m 时，有 x1x2＝m，
当 2x2－x＝m 时，由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边，得到 x3＝1－ 1＋8m
4
，
∴ x1x2x3＝m
1－ 1＋8m
4 ＝m－m 1＋8m
4
，m∈(0，1
4)．
令 y＝m－m 1＋8m
4
，
则 y′＝1
4
1－ 1＋8m－ 4m
1＋8m .
又 h(m)＝ 1＋8m＋ 4
1＋8m
在 m∈ 0，1
4 上是增函数，故有 h(m)＞h
1
4 ＝7 3
3
，
∴ y′＝1
4
1－ 1＋8m－ 4m
1＋8m ＜0 在 m∈ 0，1
4 上成立，
∴ 函数 y＝m－m 1＋8m
4
在 0，1
4 上是减函数，
∴ 函数的值域是
1－ 3
16
，0 ，即 x1x2x3 的取值范围是(1－ 3
16
，0)．
练习(二)
1. {x|2≤x≤4} 解析：由 A 中不等式变形得
1
2
x
≤1＝
1
2
0
，即 x≥0，∴ A＝{x|x≥0}．由 B 中
方程变形得(x－2)(x－4)≤0，解得 2≤x≤4，即 B＝{x|2≤x≤4}，则 A∩B＝{x|2≤x≤4}．
2. 43 解析：因为60
6
＝10，所以，抽到编号为 3、13、23、33、43、53，第 5 组为 43.
3. －2i 解析：设 z＝ai(a∈R)，则z＋2
1－i
＝ai＋2
1－i
＝2－a
2
＋2＋a
2
i∈R，则 a＝－2，所以 z＝－2i.
4. 10 解析：第一步：x＝9，k＝2；第二步：x＝21，k＝4；第三步：x＝45，k＝6；第四步：x
＝93，k＝8；第五步：x＝189，k＝10；退出循环，故 k＝10.
5. 5
16
解析：根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，
结合奇函数性质求解．
∵ f(x)是以 4 为周期的奇函数，
∴ f
29
4 ＝f 8－3
4 ＝f
－3
4 ，f
41
6 ＝f(8－7
6)＝f
－7
6 .
∵ 当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，
∴ f
3
4 ＝3
4
× 1－3
4 ＝ 3
16.
∵ 当 1＜x≤2 时，f(x)＝sinπx，
∴ f
7
6 ＝sin7π
6
＝－1
2.
∵ f(x)是奇函数，
∴ f
－3
4 ＝－f
3
4 ＝－ 3
16
，f
－7
6 ＝－f(7
6)＝1
2.
∴ f
29
4 ＋f
41
6 ＝1
2
－ 3
16
＝ 5
16.
6. 3
10
解析：∵ a，b∈{－3，－2，－1，1，2，3}且 a≠b，则(a，b)点共有(－3，－2)，(－3，
－1)，(－3，1)，(－3，2)，(－3，3)，(－2，－3)，(－2，－1)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－
1，－3)，(－1，－2)，(－1，1)，(－1，2)，(－1，3)，(1，－3)，(1，－2)，(1，－1)，(1，2)，(1，
3)，(2，－3)，(2，－2)，(2，－1)，(2，1)，(2，3)，(3，－3)，(3，－2)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，
共 30 种情况．其中 a＜0，b＞0，即复数 z＝a＋bi 对应点在第二象限共有(－3，1)，(－3，2)，(－3，
3)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－1，1)，(－1，2)，(－1，3)，共 9 种情况．故复数 z＝a＋bi
对应点在第二象限的概率 P＝ 9
30
＝ 3
10.
7. 1 解析：因为 T＝2π
ω
＝π，则ω＝2，所以 f
π
8 ＝sin(π
4
＋π
4)＝1.
8. 6＋ 2
2
解析：蛋巢底面的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为 2 cm，蛋巢立起来
的小三角形部分高度是 2
2
，半径为 2的球体放置于蛋巢上，得到 r＝ 2 cm，直径 D＝2 2 cm，大
于折好的蛋巢边长 2 cm，四个三角形的顶点所在的平面在球体表面所截取的小圆直径就是蛋巢的
边长 2 cm，球心到截面圆的圆心距离为 （ 2）2－
2
2
2
＝ 6
2
，∴ 球体球心与蛋巢底面的距离为
6
2
＋ 2
2
＝ 6＋ 2
2
.
9. －1
5
解析：3OA→ ＋4OB→ ＋5OC→ ＝0，即有 3OA→ ＋4OB→ ＝－5OC→ ，两边平方可得 9OA→ 2＋16OB→ 2
＋24OA→ ·OB→ ＝25OC→ 2，即 25＋24OA→ ·OB→ ＝25，即有OA→ ·OB→ ＝0.由于OC→ ＝－3OA→ ＋4OB→
5
，则OC→ ·AB→
＝－3OA→ ＋4OB→
5
·(OB→ －OA→ )＝－1
5(4OB→ 2－3OA→ 2－OA→ ·OB→ )＝－1
5(4－3－0)＝－1
5.
10. 11 解析：∵ 等比数列{an}的首项 a1＝2 015，公比为 q＝1
2
，∴ an＝2 015×
1
2
n－1
.∵ bn＝
a1a2a3…an，∴ bn 达到最大值时， an≥1，
an＋1＜1.
∵ a11＝2 015×
1
2
10
＝2 015
1 024
＞1，a12＝2 015×
1
2
11
＝2 015
2 048
＜1，∴ bn 达到最大值时，n 的值为 11.
11. 1 解析：由sinα－cosα
sinα＋cosα
＝1＋ 2，得 tanα＝－ 2－1，则 tan2α＝ 2tanα
1－tan2α
＝1.
12. 0，4
3 解析：将圆 C 的方程整理为标准方程得(x－4)2＋y2＝1，∴ 圆心 C(4，0)，半径 r
＝1.∵ 直线 y＝kx－2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，∴ 只
需圆 C′：(x－4)2＋y2＝4 与 y＝kx－2 有公共点，即圆心(4，0)到直线 y＝kx－2 的距离 d＝|4k－2|
k2＋1
≤2，
解得 0≤k≤4
3.
13. ( 2，＋∞) 解析：∵ y2＋2y＋2＝ （y＋1）2＋1≥1，|x|＋|x－2|≥2，∴ |x|＋|x－2|＋
y2＋2y＋2≥3，
∴ 若|x|＋|x－2|＋ y2＋2y＋2≤3，则等价为|x|＋|x－2|＋ y2＋2y＋2＝3，此时 y＝－1，0≤x≤
2，即 M∈{(x，y)|y＝－1，0≤x≤2}．作出 M 对应的区域如图．
若 p 是 q 的充分但不必要条件，则线段 AB 在圆的内部，则满足圆心到 A 和 B 的距离小于半径
即可，即 12＋12＜r，即 r＞ 2.
14. 0，2
5 解析：令 g(x)＝t，则方程 f(t)＝λ的解有 3 个，由图象可得 0＜λ＜1.且三个解分别
为 t1＝－1－λ，t2＝－1＋λ，t3＝10λ，则 x2－4x＋1＋4λ＝－1－λ，x2－4x＋1＋4λ＝－1＋λ，x2－4x
＋1＋4λ＝10λ均有两个不相等的实根，则Δ1＞0，且Δ2＞0，且Δ3＞0，即 16－4(2＋5λ)＞0 且 16－
4(2＋3λ)＞0，解得 0＜λ＜2
5.当 0＜λ＜2
5
时，Δ3＝16－4(1＋4λ－10λ)＞0 即 3－4λ＋10λ＞0 恒成立，
故λ的取值范围为 0，2
5 .
练习(三)
1. {0，2} 解析：由题意知，N＝{0，2，4}，故 M∩N＝{0，2}．
2. 3 解析：系统抽样的抽取间隔为24
4
＝6.设抽到的最小编号 x，则 x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)
＝48，所以 x＝3.
3. 2i 解析：2＋2i
1－i
＝ 2（1＋i）2
（1－i）（1＋i）
＝2i.
4. －2 解析：执行一次循环，y＝0，x＝0；执行第二次循环，y＝－1，x＝－2；执行第三次
循环，y＝－2，满足条件，退出循环．
5. y＝sin 10x－7π
4 解析：将函数 y＝sin 5x－π
2 的图象向右平移π
4
个单位，得到函数为 y＝
sin[5(x－π
4
)－π
2
]＝sin 5x－7π
4 ，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，可得到函数 y＝
sin 10x－7π
4 的图象．
6. 3
5
解析：从集合{0，2，4，6，8}中随机取一个数 m，从集合{0，4，8}中随机取一个数 n，
基本事件总数为 5×3＝15，“事件 m≤n”发生，包含的(m，n)情况有(0，0)，(0，4)，(0，8)，(2，
4)，(2，8)，(4，4)，(4，8)，(6，8)，(8，8)，共 9 种，∴ “事件 m≤n”发生的概率 P＝3
5.
7. 25
6
解析：作出可行域(如下图所示)．
把目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)看作直线 l：y＝－a
bx＋z
b(a＞0，b＞0)，其斜率 k＝－a
b
＜0.
由图知，当直线 l 经过点 A(4，6)时纵截距z
b
最大，即 z 最大．
∴ zmax＝4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6.
∴ 2
a
＋3
b
＝1
6
·
2
a
＋3
b ·6
＝1
6
2
a
＋3
b (2a＋3b)＝1
6
13＋6b
a
＋6a
b
≥1
6
13＋2 6b
a ·6a
b ＝25
6 (当且仅当6b
a
＝6a
b
且 2a＋3b＝6 即 a＝b＝6
5
时取“＝”)，
∴ 2
a
＋3
b
的最小值为25
6 .
8. 4 解析：3＋p2
16
＝
p
2
2
，∴ p＝4.
9. －1
2
解析：ma＋b＝(2m－1，3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，由 ma＋b 与 a－2b 平行，得－(2m－1)
－4(3m＋2)＝0，解得 m＝－1
2.
10. (12，14) 解析：∵ S7 是数列{Sn}中的唯一最大项，∴ a7 大于 0，而 a8 小于 0，即 a1＋6d＞
0，a1＋7d＜0，即 a1－12＞0，a1－14＜0，得到 a1 的范围是 12＜a1＜14.
11. 6－ 2
4
解析：由正弦定理得 a＋ 2b＝2c，得 c＝1
2(a＋ 2b)，由余弦定理得 cosC＝a2＋b2－c2
2ab
＝
a2＋b2－1
4
（a＋ 2b）2
2ab
＝
3
4a2＋1
2b2－ 2
2 ab
2ab
＝
3
4a2＋1
2b2
2ab
－ 2
4
≥
2· 3
2 a· 2
2 b
2ab
－ 2
4
＝ 6－ 2
4
，当且仅当 3
2 a
＝ 2
2 b 时，取等号，故 6－ 2
4
≤cosC＜1，故 cosC 的最小值是 6－ 2
4 .
12.
8 5
5
，10 解析：由题意，直线 AC 的方程为 y＝4－0
2－4
(x－4)，即 2x＋y－8＝0，原点到直
线 AC 的距离为 8
4＋1
＝8 5
5
，原点与 B 的距离为 10，∴ R 的取值范围是
8 5
5
，10 .
13. 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝
n（n＋1）
2
2
解析：根据题意，分析题干所给的等式可得 13＋23＝(1＋2)2＝32，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2＝62，
13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2＝102，
则 13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)2＝
n（n＋1）
2
2
.
14. 2 解析：设 AB 的中点为 C，则点 G 在 OC 上，且OG→ ＝2
3OC→ ＝2
3
·OA→ ＋OB→
2
＝OA→ ＋OB→
3
.∵
OA→ ·OB→ ＝|OA→ |·|OB→ |·cos60°＝6，∴ |OA→ |·|OB→ |＝12.则|OG→ |＝1
3|OA→ ＋OB→ |
＝1
3
（OA→ ＋OB→ ）2＝1
3 OA→ 2＋OB→ 2＋2OA→ ·OB→
＝1
3
· |OA→ |2＋|OB→ |2＋|OA→ |·|OB→ |
≥1
3
· 3|OA→ |·|OB→ |＝1
3
· 36＝2，
当且仅当 OA＝OB 时，等号成立，故|OG→ |的最小值是 2.
练习(四)
1. 充分不必要条件 解析：当 11，得 x>0，∴ q /p.
2. (0，1)∪(1，2) 解析：由于 A∩B＝{1，m}，又 A＝{0，1，m}，B＝{x|0＜x＜2}，所以 m
的取值范围是(0，1)∪(1，2)．
3. 1＋5i 解析：复数 z 满足－iz＝(3＋2i)(1－i)(其中 i 为虚数单位)，∴ －iz＝5－i，∴ －i·iz
＝(5－i)i，化为 z＝5i＋1.本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
4. 10 解析：根据程序框图，知当 i＝4 时，输出 S，
∵ 第一次循环得到 S＝S0－2，i＝2；
第二次循环得到 S＝S0－2－4，i＝3；
第三次循环得到 S＝S0－2－4－8，i＝4；
∴ S0－2－4－8＝－4，解得 S0＝10.
5. (－1，1) 解析：原不等式可化为 0＜1－x2，
1－x2≤1，
即－1＜x＜1.
6. ±1
8
解析：由题意得 1
4a
＝±2，∴ a 的值为±1
8.
7. 144π 解析：当点 C 位于垂直于平面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球
O 的半径为 R，此时 VOABC＝VCAOB＝1
3
×1
2R2×R＝1
6R3＝36，故 R＝6，则球 O 的表面积为 S＝4πR2
＝144π.
8. 小于 解析：∵ f(a)＝2a－log
1
2
a＝0.又 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴ 当 0＜x0＜a 时，f(x0)
＜f(a)＝0.
9. 3
4
＋ 3 解析：设∠BAD＝θ(0≤θ≤2π)，则∠CAE＝θ，则BD→ ·AM→ ＝(AD→ －AB→ )·1
2(AD→ ＋AE→ )
＝1
2(AD→ 2＋AD→ ·AE→ －AB→ ·AD→ －AB→ ·AE→ )＝1
2
＋1
4
－1
2
×2×1×cosθ－cos θ＋π
3 ＝3
4
－cosθ－cosθ
cosπ
3
＋sinθsinπ
3
＝3
4
－3
2cosθ＋ 3
2 sinθ＝ 3sin θ－π
6 ＋3
4.∴ 当θ＝2π
3
时，BD→ ·AM→ 的最大值为 3
＋3
4.
10. 2x＋3y－4＝0 解析：圆心 O(0，0)，半径为 R＝2，∵ 过点 A(2，3)作 O 的切线，切点分
别为 P、Q，∴ 直线 PQ 可看作已知圆与以 OA 为直径的圆的交线，则 OA 的中点为 1，3
2 ，则|OA|
＝ 22＋32＝ 13，则半径为 13
2
，即对应圆的方程为(x－1)2＋ y－3
2
2
＝13
4
，即 x2＋y2－2x－3y＝0，
两式相减得 2x＋3y－4＝0，即直线 PQ 的方程为 2x＋3y－4＝0.
11. 8 解析：设双曲线x2
4
－y2
b2
＝1(b＞0)的焦距为 2c，由已知得 a＝2；又离心率 e＝c
2
＝ 3
3 b，且
c2＝4＋b2，解得 c＝4；所以该双曲线的焦距为 2c＝8.
12. －1
2
解析：∵ 函数 y＝sin 2x＋π
6 的图象向左平移π
6
个单位得到 f(x)＝sin 2 x＋π
6 ＋π
6
＝sin(2x＋π
2
)＝cos2x，∴ f
π
3 ＝cos2π
3
＝－cosπ
3
＝－1
2.
13.
3
2e
，1 解析：设 g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直
线 y＝ax－a 的下方，∵ g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，∴ 当 x＜－1
2
时，g′(x)＜0，当 x＞－
1
2
时，g′(x)＞0，∴ 当 x＝－1
2
时，g(x)取最小值－2e－1
2.当 x＝0 时，g(0)＝－1，当 x＝1 时，g(1)
＝e＞0，直线 y＝ax－a 恒过定点(1，0)且斜率为 a，故－a＞g(0)＝－1 且 g(－1)＝－3e－1≥－a－a，
解得 3
2e
≤a＜1.
14. ( 2， 10) 解析：当 x∈[0，2]时，f(x)＝8(1－|x－1|)，
当 n＝2 时，x∈[2，6]，此时x
2
－1∈[0，2]，则 f(x)＝1
2f(x
2
－1)＝1
2
×8(1－|x
2
－1－1|)＝4(1－|x
2
－2|)，
当 n＝3 时，x∈[6，14]，此时x
2
－1∈[2，6]，则 f(x)＝1
2f
x
2
－1 ＝1
2
×4(1－|x
4
－5
2|)＝2(1－|x
4
－5
2|)，分
别作出函数 f(x)和 y＝|logax|的图象，若 0＜a＜1，则此时两个函数图象只有 1 个交点，不满足条件．若
a＞1，在(0，1)上两个函数有一个交点，要使方程 f(x)＝|logax|有且仅有四个实数解，则等价为当 x
＞1 时，两个函数有 3 个交点，由图象知当对数函数图象经过 A 时，两个图象只有 2 个交点，当图
象经过点 B 时，两个函数有 4 个交点，则要使两个函数有 3 个交点，则对数函数图象必须在 A 点以
下，B 点以上．
∵ f(4)＝4，f(10)＝2，∴ A(4，4)，B(10，2)，即满足 loga4＜f（4），
loga10＞f（10），
即 loga4＜4，
loga10＞2，
解得 a4＞4，
a2＜10，
即 2＜a2＜10.∵ a＞1，
∴ 2＜a＜ 10，故则 a 的取值范围为是( 2， 10)．
练习(五)
1. {2，5} 解析：由题意知，∁UB＝{2，5，8}，则 A∩∁UB＝{2，5}．
2. (0，10] 解析：∵ 函数 y＝ 1－lgx，∴ 1－lgx≥0，x＞0，
∴ 0＜x≤10.
3. 1＋i 解析：z＝1＋i
i
＝1－i，∴ z－＝1＋i.
4. 0 解析：当输入 x＝－4 时，|x|＞3，执行循环；x＝|－4－3|＝7，|x|＝7＞3，执行循环；x＝
|7－3|＝4，|x|＝4＞3，执行循环；x＝|4－3|＝1，退出循环，输出的结果为 y＝0.
5. 1
4
解析：正四面体的四个面上分别写有数字 0，1，2，3，把两个这样的四面体抛在桌面上，
露在外面的 6 个数字之和包含的基本事件总数 n＝4×4＝16.设两个正四面体中压在桌面的数字分别
为 m，n，则露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的基本情况有(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)，共包
含 4 个基本事件，
∴ 露在外面的 6 个数字之和恰好是 9 的概率 P＝ 4
16
＝1
4.
6. 1 解析：由图象可得 A＝2，周期 T＝2π
ω
＝2[5π
12
－(－π
12
)]，解得ω＝2，代入点 －π
12
，0 可
得 0＝2sin
－π
6
＋φ ，结合|φ|＜π
2
可得φ＝π
6
，∴ f(x)＝2sin 2x＋π
6 ，∴ f(π)＝2sin 2π＋π
6 ＝
2sinπ
6
＝1.
7. 必要不充分条件 解析：若 l⊥m，因为 m 垂直于平面α，则 l∥α或 lα ；若 l∥α，又 m 垂
直于平面α，则 l⊥m，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．
8. 4 解析：∵ 直线 2ax＋by＝1(其中 a，b 为非零实数)与圆 x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点，且
△AOB 为直角三角形，∴ |AB|＝ 2r＝ 2.∴ 圆心 O(0，0)到直线 2ax＋by＝1 的距离 d＝ 1
2a2＋b2
＝ 2
2
，化为 2a2＋b2＝2.∴ 1
a2
＋ 2
b2
＝1
2
1
a2
＋ 2
b2 (2a2＋b2)＝1
2
2＋2＋b2
a2
＋4a2
b2 ≥1
2
4＋2 b2
a2
·4a2
b2 ＝4，当
且仅当 b2＝2a2＝1 取等号．∴ 1
a2
＋ 2
b2
的最小值为 4.
9. 1
2
解析：由题意可得BA→ ·BC→ ＝2×2×cos60°＝2，BD→ ·CP→＝(BA→ ＋BC→ )·(BP→－BC→ )＝(BA→ ＋
BC→ )·[(AP→－AB→ )－BC→ ]＝(BA→ ＋BC→ )·[(λ－1)·AB→ －BC→ ]＝(1－λ)BA→ 2－BA→ ·BC→ ＋(1－λ)BA→ ·BC→ －BC→ 2
＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴ λ＝1
2.
10. (1，2)∪( 10，＋∞) 解析： x<2，
2ex－1>2
或 x≥2，
log3（x2－1）>2，
∴ 1 10.
11. 3
2
解析：过点 O 作 OD⊥BC 交 BC 于点 D，连结 AD.则 D 为 BC 的中点，OD→ ·BC→ ＝0.AD→ ＝
1
2(AC→ ＋AB→ )．又AO→ ＝AD→ ＋DO→ ，BC→ ＝AC→ －AB→ ，∴ AO→ ·BC→ ＝(AD→ ＋DO→ )·BC→ ＝AD→ ·BC→ ＝1
2(AC→ ＋
AB→ )·(AC→ －AB→ )＝1
2(AC→ 2－AB→ 2)＝1
2[( 7)2－22]＝3
2.
12. 5 解析：因为 BD＝2AD，设 AD＝x，则 BD＝2x，因为 CD⊥BC，所以 BC＝ 4x2－25.在
△ACD 中，cosA＝75＋x2－25
10 3x
.在△ABC 中，cosA＝75＋9x2－（4x2－25）
30 3x
，所以75＋x2－25
10 3x
＝
75＋9x2－（4x2－25）
30 3x
，解得 x＝5，所以 AD＝5.
13.
1
4
，4
3 解析：∵ f(x)＝x＋sinx(x∈R)，∴ f(－x)＝－x－sinx＝－(x＋sinx)＝－f(x)，即 f(x)
＝x＋sinx(x∈R)是奇函数．∵ f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0，∴ f(y2－2y＋3)≤－f(x2－4x＋1)＝
f[－(x2－4x＋1)]．由 f′(x)＝1＋cosx≥0，∴ 函数单调递增．∴ y2－2y＋3≤－(x2－4x＋1)，即(y2－
2y＋3)＋(x2－4x＋1)≤0，∴ (y－1)2＋(x－2)2≤1.∵ y≥1，∴ 不等式对应的平面区域为圆心为(2，
1)，半径为 1 的圆的上半部分. y
x＋1
的几何意义为动点 P(x，y)到定点 A(－1，0)的斜率的取值范围．设
k＝ y
x＋1
(k＞0)，则 y＝kx＋k，即 kx－y＋k＝0.当直线和圆相切时，圆心到直线的距离 d＝|2k－1＋k|
1＋k2
＝|3k－1|
1＋k2
＝1，即 8k2－6k＝0，解得 k＝3
4.此时直线斜率最大．当直线 kx－y＋k＝0 经过点 B(3，1)
时，直线斜率最小，此时 3k－1＋k＝0，即 4k＝1，解得 k＝1
4
，∴ 1
4
≤k≤3
4.
14. (1，2) 解析：∵ 函数 f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，∴ f′(x)＝3x2－6x＋3，∴ f″(x)＝6x－6.
令 f″(x)＝6x－6＝0，解得 x＝1，且 f(1)＝2，故函数 f(x)＝x3－3x2＋3x＋1 的对称中心为(1，2)．
练习(六)
1. 解析：因为 M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1，4}，
所以 M∩N＝ ．
2. 25 解析：由题意得抽样比例为 45
900
＝ 1
20
，故应抽取的男生人数为 500× 1
20
＝25.
3. 1 解析：由1＋z
1－z
＝i，得 1＋z＝i－zi，z＝－1＋i
1＋i
＝i，
∴ |z|＝|i|＝1.
4. 10 解析：初始条件：x＝2 006；第 1 次运行：x＝2 004；第 2 次运行：x＝2 002；第 3 次运
行：x＝2 000；…；第 1 003 次运行：x＝0；第 1 004 次运行：x＝－2.不满足条件 x≥0，停止运行，
所以输出的 y＝32＋1＝10.
5. 10 解析：由 an＝64－4n
5
，可得等差数列的首项为 a1＝12，公差 d＝－4
5
，则数列{an}为递减
数列，由 an＝64－4n
5
＝0，解得 n＝16.∴ 数列{an}的前 15 项大于 0，第 16 项等于 0，第 17 项及以
后项小于 0.而 an＋an＋1＋…＋an＋12 为数列中的 13 项和，∴ 只有第 16 项为中间项时 An＝|an＋an＋1＋…
＋an＋12|最小，此时 n＝10.
6. 0.6 解析：5 件产品中有 2 件次品，记为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d，e，从这 5 件产
品中任取 2 件，有 10 种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，
(c，e)，(d，e)，恰有一次件品，有 6 种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，
设事件 A＝“恰有一件次品”，则 P(A)＝ 6
10
＝0.6.
7. －3 解析：由约束条件
x－y＋6≥0
x≤3
x＋y＋k≥0
作可行域如图，
图中以 k＝0 为例，可行域为△ABC 及其内部区域，当 k＜0，边界 AC 下移，当 k＞0 时，边界
AC 上移，均为△ABC 及其内部区域．由 z＝2x＋4y，得直线方程 y＝－1
2x＋z
4
，由图可知，当直线 y
＝－1
2x＋z
4
过可行域内的点 A 时，z 最小．联立 x＝3，
x＋y＋k＝0，
得 A(3，－k－3)．∴ zmin＝2×3＋4(－
k－3)＝－4k－6＝6，解得 k＝－3.
8. 4 3 解析：双曲线的右焦点为 F(2，0)，过 F 与 x 轴垂直的直线为 x＝2，渐近线方程为 x2
－y2
3
＝0，将 x＝2 代入 x2－y2
3
＝0，得 y2＝12，y＝±2 3，∴ |AB|＝4 3.
9. 10
9
解析：若|AB→ ＋AC→ |＝|AB→ －AC→ |，则AB→ 2＋AC→ 2＋2AB→ ·AC→ ＝AB→ 2＋AC→ 2－2AB→ ·AC→ ，
即 有 AB→ · AC→ ＝ 0. 又 E ， F 为 BC 边 的 三 等 分 点 ， 则 AE→ · AF→ ＝ ( AC→ ＋ CE→ )·( AB→ ＋ BF→ ) ＝
AC→ ＋1
3CB→
· AB→ ＋1
3BC→
＝
2
3AC→ ＋1
3AB→
·
1
3AC→ ＋2
3AB→
＝2
9AC→ 2＋2
9AB→ 2＋5
9AB→ ·AC→ ＝2
9
×(1＋4)＋0
＝10
9 .
10. e2 解析：y＝ax＋1 的导数为 y′＝axlna，即有曲线在点(0，2)处的切线斜率为 k＝lna，由于
切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，则 lna· －1
2 ＝－1，解得 a＝e2.
11. 6－ 3 解析：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ |AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝ 2m.由椭圆的定义可知△F1AB 的周长为 4a，∴ 4a＝2m＋ 2m，m＝2(2
－ 2)a.∴ |AF2|＝2a－m＝(2 2－2)a.∵ |AF1|
2
＋|AF2|
2
＝|F1F2|
2
，∴ 4(2－ 2)2a2＋4( 2－1)2a2＝4c2，
∴ e2＝9－6 2，e＝ 6－ 3.
12. n
2n－1
解析：设 bn＝nSn＋(n＋2)an，∵ 数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝a2＝1，∴ b1＝4，
b2＝8，∴ bn＝b1＋(n－1)×(8－4)＝4n，即 bn＝nSn＋(n＋2)an＝4n，当 n≥2 时，Sn－Sn－1＋ 1＋2
n an
－ 1＋ 2
n－1 an－1＝0，
∴ 2（n＋1）
n
an＝n＋1
n－1
an－1，即 2·an
n
＝ an－1
n－1
，
∴
an
n 是以1
2
为公比，1 为首项的等比数列，
∴ an
n
＝
1
2
n－1
，∴ an＝ n
2n－1.
13. 3
5
解析：∵ cosB＝a2＋c2－b2
2ac
，∴ 5tanB＝ 6ac
a2＋c2－b2
＝ 6ac
2accosB
＝ 3
cosB
，∴ 5sinB＝3，∴ sinB
＝3
5.
14. (－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：分析题意可知，问题等价于方程 x3＝b(x≤a)与方程 x2＝b(x＞
a)的根的个数和为 2，若两个方程各有一个根；则可知关于 b 的不等式组
b
1
3≤a，
b＞a，
－ b≤a
有解，从而 a＞1；
若方程 x3＝b(x≤a)无解，方程 x2＝b(x＞a)有 2 个根；则可知关于 b 的不等式组 b
1
3＞a，
－ b＞a
有解，从而
a＜0.综上，实数 a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
练习(七)
1. {0，1} 解析：∵ A＝{0，1，2}，B＝{x|－1＜x＜2}，∴ A∩B＝{0，1}．
2. 1
5
解析：复数 z 满足 z(3－4i)＝1(i 是虚数单位)，可得|z(3－4i)|＝1，即|z||3－4i|＝1，可得 5|z|
＝1，∴ |z|＝1
5.
3. 8 解析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 V
＝48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S＝35 600－35 000＝600 千米. 所以这段时间内，该车每 100
千米平均耗油量为 48
600
×100＝8 升．
4. 6 解析：输入 S＝20，i＝1；i＝2×1，S＝20－2＝18，2>5 不成立；i＝2×2＝4，S＝18－4
＝14，4>5 不成立；i＝2×4＝8，S＝14－8＝6，8>5 成立；输出 6.
5. 3
22
解析：∵ 已知 tan(α＋β)＝2
5
，tan β－π
4 ＝1
4
，
∴ tan α＋π
4 ＝tan （α＋β）－ β－π
4
＝
tan（α＋β）－tan
β－π
4
1＋tan（α＋β）·tan
β－π
4
＝
2
5
－1
4
1＋2
5
×1
4
＝ 3
22.
6. 1
π
解析：根据题意可得点 M(x，y)满足
x＋y－1≤0，
x－y＋1≥0，
y≥0，
其构成的区域 D 如图阴影所示的三角
形，面积为 S1＝1.E 所表示的平面区域是以原点为圆心，以 1 为半径的圆及其内部，面积为 S2＝π，
故向 E 中投一点，落入 D 中的概率为 P＝S1
S2
＝1
π.
7. x2－y2
2
＝1 解析：∵ 抛物线 y2＝4 3x 的焦点为( 3，0)，
∴ 所求的双曲线的右焦点为( 3，0)，故 c＝ 3.根据双曲线的定义可知，a2＝c2－b2＝1，则双
曲线的方程为 x2－y2
2
＝1.
8. kπ－π
8
，kπ＋3π
8 (k∈Z) 解析：对于函数 f(x)＝sin 2x－π
4 (x∈R)，令 2kπ－π
2
≤2x－π
4
≤2kπ＋π
2
，求得 kπ－π
8
≤x≤kπ＋3π
8
，故函数的增区间为[kπ－π
8
，kπ＋3π
8
](k∈Z)．
9. 5 解析：向量 a，b，|a|＝2，|b－a|＝1，可得|b|的最大值为 2＋1＝3，由|b－a|＝1，|a＋b|＝t，
平方可得|b－a|2＋|a＋b|2＝t2＋1，即有 2a2＋2b2＝1＋t2，即 8＋2b2＝1＋t2，可得 t2 的最大值为 8＋2×9
－1＝25，即有|a＋b|的最大值为 5.
10. 12 解析：∵ {an}是等比数列且 a2a5a8＝8，∴ a2a5a8＝a35＝8，∴ a5＝2，∴ a1a9＋a1a5＋a5a9
＝a23＋a25＋a27＝4＋a23＋a27≥4＋2a3a7＝4＋2a25＝12.
11. 1 解析：由图象可知直线的切线经过点(1，2)，则 k＋3＝2，得 k＝－1，即 f′(1)＝－1，且
f(1)＝2.∵ h(x)＝xf(x)，∴ h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则 h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1.
12. － 5
3
解析：∵ sinα＋cosα＝ 3
3
，两边平方得：1＋sin2α＝1
3
，∴ sin2α＝－2
3
①，∴ (sin
α－cosα)2＝1－sin2α＝5
3.
∵ α为第二象限角，∴ sinα＞0，cosα＜0，∴ sinα－cosα＝ 15
3
②，
∴ cos2α＝－(sinα－cosα)(sinα＋cosα)＝ － 15
3 × 3
3
＝－ 5
3 .
13. (－∞，4] 解析：若函数 f(x)＝(x2－cx＋5)ex 在区间
1
2
，4 上单调递增，则 f′(x)＝[x2＋(2－
c)x＋(5－c)]ex≥0 在区间
1
2
，4 上恒成立，即 x2＋(2－c)x＋(5－c)≥0 在区间
1
2
，4 上恒成立，即
c≤x2＋2x＋5
x＋1
在区间
1
2
，4 上恒成立，令 g(x)＝x2＋2x＋5
x＋1
，则 g′(x)＝x2＋2x－3
（x＋1）2
，令 g′(x)＝0，则 x
＝1 或－3，当 x∈
1
2
，1 时，g′(x)＜0，g(x)为减函数；当 x∈(1，4]时，g′(x)＞0，g(x)为增函数；
故当 x＝1 时，g(x)取最小值 4，故 c∈(－∞，4]．
14. ① ② 解析：对于①，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n
3(n2－1)－n－1
3
[(n－1)2－1]＝n2－n，又
a1＝0，所以 an＝n2－n(n∈N*)．所以 ai＋i＝i2(i＝1，2，3，…)是完全平方数，数列{an}具有“P 性质”；
对于②，数列 1，2，3，4，5 具有“变换 P 性质”，数列{bn}为 3，2，1，5，4；对于③，数列 1，
2，3，…，11 不具有“变换 P 性质”，因为 11，4 都只有 5 的和才能构成完全平方数，所以数列 1，
2，3，…，11 不具有“变换 P 性质”．
练习(八)
1. 2 解析：A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}，则 A∩B＝{8，14}，故集
合 A∩B 中元素的个数为 2 个．
2. 75 解析：根据频率和为 1，得直方图中最后两组数据的频率之和为 2＋1
3＋4＋5＋2＋1
＝1
5
，对
应的频数为 15，∴ 样本容量为 n＝15
1
5
＝75.
3. 1－i 解析：直接代入运算：2
z
＝ 2
1＋i
＝1－i.
4. 132 解析：由已知中程序的功能为：利用循环结构，计算 S＝12×11 的结果，并输出．S＝
12×11＝132.
5. (1，0) 解析：由|PF|＝4，点 P 到 y 轴的距离等于 3，根据定义得，p
2
＝1，则点 F 的坐标为(1，
0)．
6. a≥1 解析：由 x2＋2x－3＞0 得 x＞1 或 x＜－3，即 p：x＞1 或 x＜－3， p：－3≤x≤1，
∵ q：x＞a，∴ q：x≤a，若 q 的一个充分不必要条件是 p，则 p q 成立，但 q p
不成立，∴ a≥1.
7. (－∞，－2) 解析：不等式组表示的平面区域的交点坐标分别为 A(1，0)，B(0，1)，C(3，4)，
∴ zA＝2，zB＝a，zC＝6＋4a.
∴ 6＋4a<2，
6＋4a0，所以 2S2n＋2＝ S2nS2n＋2＋
S2n＋2S2n＋4，即 2 S2n＋2＝ S2n＋ S2n＋4(n∈N*)，故数列{ S2n}是等差数列；又由 S1＝6，S2＝4，可
得 S3＝12，S4＝9.所以数列{ S2n}是首项为 2，公差为 1 的等差数列．所以 S2n＝n＋1 即 S2n＝(n＋1)2，
故 S2n－1＝ S2nS2n＋2＝(n＋1)(n＋2)，故 S2 016＝1 0092，S2 015＝1 009×1 010，故 a2 016＝S2 016－S2 015＝
－1 009.
14. (10，15) 解析：作出函数 f(x)的图象如图，不妨设 a＜b＜c，则－lga＝lgb＝－1
5c＋3∈(0，
1)，ab＝1，0＜－1
5c＋3＜1，则 abc＝c∈(10，15)．
练习(十)
1. 8 解析：由于 A∩B＝{1，2，6}，含有 3 个元素，故它的子集个数为 23＝8.本题主要考查求
两个集合的交集，子集个数的运算，利用含 n 个元素的集合的子集个数共有 2n 个，属于基础题．
2. 93 解析：抽取 280 人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 930
2 800
×280＝93 人．
3. 4 解析：a－ 17
4－i
＝a－4－i 是纯虚数，则 a＝4.
4. －2 或1
3
解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程
序的作用是计算并输出分段函数 y＝
1
2
x
－4，x≤0
log3x＋1，x＞0
的函数值．当 x≤0 时，由 y＝
1
2
x
－4＝0，可得
x＝－2；当 x＞0 时，由 y＝log3x＋1＝0，可得 x＝1
3.
5. 63 解析：在等比数列{an}中，∵ a2a6＝64，∴ a3a5＝a2a6＝64.又 a3＋a5＝20，∴ a3 和 a5 为
方程 x2－20x＋64＝0 的两根．∵ an＞0，q＞1，∴ a3＜a5，∴ a5＝16，a3＝4，∴ q＝ a5
a3
＝ 4＝2，
∴ a1＝a3
q2
＝ 4
22
＝1，∴ S6＝1×（1－26）
1－2
＝63.
6. (1，1＋ 2) 解析：由题意可知目标函数 z＝x＋my 在直线 y＝mx 与直线 x＋y＝1 的交点处
取得最大值，又直线 y＝mx 与直线 x＋y＝1 的交点坐标为
1
m＋1
， m
m＋1 ，则 zmax＝ 1
m＋1
＋ m2
m＋1
＜2，
解得 1－ 2＜m＜1＋ 2.又 m＞1，所以 m 的取值范围为(1，1＋ 2)．
7. 5
6
π 解析：由题意知，f(x)＝| 3 sinx
1 cosx|＝ 3cosx－sinx＝2sin
π
3
－x ，向左平移 n 个单位得
到 y＝2sin[π
3
－(x＋n)]＝2sin(π
3
－x－n)．因为是偶函数，故图象关于 x＝0 对称，则π
3
－n＝kπ＋π
2
，则
n＝－kπ－π
6
，故 n 的最小值为5π
6 .
8. 3－1
2
解析：∵ 椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过椭圆上的点 P 作 y
轴的垂线，垂足为 Q，四边形 F1F2PQ 为菱形，∴ P 2c，b 1－4c2
a2 ，Q 0，b 1－4c2
a2 .∵ F1Q2＝
OF21＋OQ2，∴ 4c2＝c2＋b2 1－4c2
a2 ，整理得 3a2c2＝(a2－c2)(a2－4c2)，∴ 4e4－8e2＋1＝0.由 0＜e＜1，
解得 e＝ 3－1
2 .
9. －23
3
解析：因为|AB→ |＝|CA→ ＋CB→ |，所以△ABC 为以 C 为直角顶点的直角三角形．又CP→＝CB→
＋BP→＝CB→ ＋2
3BA→ ＝CB→ ＋2
3(CA→ －CB→ )＝2
3CA→ ＋1
3CB→ ，所以CP→·AB→ ＝
2
3CA→ ＋1
3CB→
·(CB→ －CA→ )＝2
3CA→ ·CB→
＋1
3CB→ 2－2
3CA→ 2－1
3CA→ ·CB→ ＝1
3CB→ 2－2
3CA→ 2＝－23
3 .
10. ③④⑤ 解析：函数 y＝sin4x－cos4x＝－cos2x 的最小正周期是π，故①错误；终边在 y 轴
上的角的集合是{α|α＝kπ＋π
2
≠kπ
2
，k∈Z}，故②错误；在同一坐标系中，函数 y＝sinx 的图象和函数
y＝x 的图象有(0，0)一个公共点，故③正确；把函数 y＝3sin 2x＋π
3 的图象向右平移π
6
得到 y＝3sin[2(x
－π
6)＋π
3]＝3sin2x 的图象，故④正确；在△ABC 中，若 acosB＝bcosA，即 sinA·cosB＝sinB·cosA，
即 tanA＝tanB，即 A＝B，则△ABC 是等腰三角形，故⑤正确．
11. 2
3
解析：设甲、乙两圆半径为 r1，r2，∵ 甲、乙两个圆锥的底面积分别为 S1，S2，且S1
S2
＝9
4
，
∴ r21
r22
＝9
4
，∴ r1
r2
＝3
2.∵ 甲、乙两个圆锥的母线长分别为 L1，L2，它们的侧面积相等，∴ πr1L1＝π
r2L2，∴ L1
L2
＝πr2
πr1
＝r2
r1
＝2
3.
12. 2 解析：∵ |PA|＝ OP2－OA2＝ OP2－1，∴ 当 OP 最小时，|PA|的距离最小，此时圆心到
直线的距离 d＝ 5
1＋22
＝ 5
5
＝ 5，此时|PA|的最小值为 （ 5）2－1＝2.
13. 2 2－2 解析：直接通分相加得 a
a＋2b
＋ b
a＋b
＝a2＋2ab＋2b2
a2＋3ab＋2b2
＝1－ ab
a2＋3ab＋2b2
＝1－
1
a
b
＋2b
a
＋3
.因为 a，b 都是负实数，所以a
b
，2b
a
都为正实数，那么上式中的分母可以利用基本不等式求
出最小值，最小值为 2 2，分母有最小值，即 1
a
b
＋2b
a
＋3
有最大值，那么 1－ 1
a
b
＋2b
a
＋3
可得最小值，最
小值为 2 2－2.
14. 2
3
解析：设 MN 为曲线 y＝1－4
3x2 的切线，切点为(m，n)，可得 n＝1－4
3m2，y＝1－4
3x2 的
导数为 y′＝－8
3x，即直线 MN 的方程为 y－ 1－4
3m2
＝－8
3m(x－m)．令 x＝0，可得 y＝1＋4
3m2，再
令 y＝0，可得 x＝3＋4m2
8m
(m＞0)，即有△MON 面积为 S＝1
2
1＋4
3m2
·3＋4m2
8m
＝9＋16m4＋24m2
48m
.由 S′
＝ 1
48
－ 9
m2
＋48m2＋24 ＝0，解得 m＝1
2.当 m＞1
2
时，S′＞0，函数 S 递增；当 0＜m＜1
2
时，S′＜0，
函数 S 递减．即有 m＝1
2
处取得最小值，且为2
3.
练习(十一)
1. (0，1] 解析：由 lgx＜1＝lg10，得 0＜x＜10，则集合 A＝{x|0＜x＜10}＝(0，10)．由－
1≤sinx≤1，得集合 B＝{y|－1≤y≤1}＝[－1，1]，所以 A∩B＝(0，1]．
2. 4 解析：由茎叶图可知，在区间[139，151]的人数为 20，再由系统抽样的性质可知人数为
20× 7
35
＝4 人．
3. 2－i 解析：由(z－1)i＝1＋i，得 z－1＝1＋i
i
＝－i（1＋i）
－i2
＝1－i，∴ z＝2－i.
4. 1
6
解析：∵ k＝－b
a
≥－2
5
，∴ b
a
≤2
5.符合(b，a)的为(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，
(2，6)，∴ 所求的概率 P＝ 6
36
＝1
6.
5. 192 解析：设该等比数列的公比为 q，则 6q7＝768，即 q7＝128，解得 q＝2，故这个等比数
列的第 6 项为 6×25＝192.
6. －24
7
解析：由 cosx＝4
5
，x∈ －π
2
，0 ，得到 sinx＝－3
5
，所以 tanx＝－3
4
，则 tan2x＝ 2tanx
1－tan2x
＝
2× －3
4
1－ －3
4
2＝－24
7 .
7. 1
6
解析：f(x)＝ x＋a
x
，可得 f′(x)＝ 1
2 x
－ a
x2
，当 x＝1 时，f′(x)＝1
2
－a，∵ 曲线在点 P(1，
a＋1)处的切线与直线 3x＋y＝0 互相垂直，∴ －3·
1
2
－a ＝－1，∴ a＝1
6.
8. 2 7
7
解析：∵ F1，F2 分别是椭圆x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的左右焦点，点 A 是椭圆的右顶点，O
为坐标原点，椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2，|MA|＝|MO|，过 M 作 MN⊥x 轴，交 x 轴于 N，不
妨设 M 在第一象限，∴ N 是 OA 的中点，∴ M 点横坐标为a
2
，∴ M 点纵坐标为 3
2 b，∴ F1(－c，
0)，F2(c，0)，S△MF1F2＝1
2
×2c× 3
2 b＝ 3
2 bc，MF1
→ ·MF2
→ ＝
a
2
＋c， 3
2 b a
2
－c， 3
2 b ＝a2
4
－c2＋3
4b2
＝0，∴ 4c2＝a2＋3b2＝a2＋3a2－3c2，∴ 4a2＝7c2，∴ 2a＝ 7c，∴ 椭圆的离心率 e＝c
a
＝2 7
7 .
9. 4 解析：由AP→·BP→＝2，得(AD→ ＋DP→)·(BC→ －PC→)＝2，
∴ AD→ ＋1
4AB→
· AD→ －3
4AB→
＝2，即|AD→ |2－1
2AB→ ·AD→ － 3
16|AB→ |2＝2.∴ 16－1
2AB→ ·AD→ － 3
16
×64
＝2，解得AB→ ·AD→ ＝4.本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法、减法的三角形法则，是
中档题．
10. 4 解析：函数 y1＝ 1
1－x
与 y2＝2sinπx 的图象有公共的对称中心(1，0)，作出两个函数的图
象如下，当 1＜x≤4 时，y1≥1
3.而函数 y2 在(1，4)上出现 1.5 个周期的图象，在 2，5
2 上是单调增且
为正数函数，y2 在(1，4)上出现 1.5 个周期的图象，在
5
2
，3 上是单调减且为正数，所以函数 y2 在 x
＝5
2
处取最大值为 2≥2
3.而函数 y2 在(1，2)、(3，4)上为负数与 y1 的图象没有交点，所以两个函数图
象在(1，4)上有两个交点(图中 C、D)．根据它们有公共的对称中心(1，0)，可得在区间(－2，1)上也
有两个交点(图中 A、B)且 xA＋xD＝xB＋xC＝2，故所求的横坐标之和为 4.
11. 12
5
≤u≤8
3
解析：作出不等式组对应的平面区域如图，则 x＞0，u＝2x＋3y
x＋y
＝
2＋3·y
x
1＋y
x
＝
3 1＋y
x －1
1＋y
x
＝3－ 1
1＋y
x
.设 k＝y
x
，则 k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，由图象知，AO 的斜率
最小，BO 的斜率最大，由 3x－y－2＝0
2x＋y－8＝0
得 x＝2，
y＝4，
即 B(2，4)．由 x－2y＋1＝0
2x＋y－8＝0
得 x＝3，
y＝2，
即 A(3，2)，
则 AO 的斜率 k＝2
3
，BO 的斜率 k＝2，即2
3
≤k≤2，则 u＝3－ 1
1＋y
x
＝3－ 1
1＋k
在2
3
≤k≤2 上为增函数，
则当 k＝2
3
时，函数取得最小值，u＝12
5
；当 k＝2 时，函数取得最大值，u＝8
3
，即12
5
≤u≤8
3.
12. 5 解析：如图，由抛物线的定义知：抛物线 y2＝4x 上一点 P 到直线 x＝－1 的距离|PM|
＝|PF|，∴ 当 P，Q，F 共线时，P 到直线 x＝－1 的距离与到点 Q(2，2)的距离之差取最大值．∵ F(1，
0)，Q(2，2)，∴ [|PM|－|PQ|]max＝[|PF|－|PQ|]max＝|QF|＝ （2－1）2＋22＝ 5.
13. ③④ 解析：f′(x)＝lnx＋1，x∈ 0，1
e 时，f′(x)＜0，
∴ f(x)在 0，1
e 上单调递减；x∈
1
e
，＋∞ ，f′(x)＞0，∴ f(x)在
1
e
，＋∞ 上单调递增．
① 令 g(x)＝f(x)－x＝xlnx－x，则 g′(x)＝lnx，
设 x1，x2∈(1，＋∞)，则 g′(x)＞0，
∴ 函数 g(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴ 由 x2＞x1，得 g(x2)＞g(x1)；∴ f(x2)－x2＞f(x1)－x1，
∴ f（x1）－f（x2）
x1－x2
＞1，故①错误；
② 令 h(x)＝f(x)－x＝xlnx－x，则 h′(x)＝lnx，∴ x∈(0，1)时，h′(x)＜0，∴ 函数 h(x)在(0，1)
上单调递减．
设 x1，x2∈(0，1)，∴ 由 x1＜x2，得 h(x1)＞h(x2)，
∴ f(x1)－x1＞f(x2)－x2, 故②错误；
③ 令 g(x)＝f（x）
x
＝lnx，则 g′(x)＝1
x
，函数在(0，＋∞)上单调递增．∵ x2＞x1＞0，∴ g(x2)＞
g(x1)，∴ x2·f(x1)＜x1·f(x2)，即③正确；
④ lnx1＞－1 时，f(x)单调递增，∴ x1·f(x1)＋x2·f(x2)－2x2f(x1)＝x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]
＝(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，∴ x1·f(x1)＋x2·f(x2)＞x1·f(x2)＋x2f(x1)．
∵ x2·f(x1)＜x1·f(x2)，利用不等式的传递性可以得到 x1·f(x1)＋x2·f(x2)＞2x2f(x1)，故④正确．
14. 7＋1 解析：设 D(x，y)，由CD→ ＝(x－3，y)及|CD→ |＝1 知(x－3)2＋y2＝1，即动点 D 的轨迹
为以点 C 为圆心的单位圆．
又OA→ ＋OB→ ＋OD→ ＝(－1，0)＋(0， 3)＋(x，y)＝(x－1，y＋ 3)，∴ |OA→ ＋OB→ ＋OD→ |＝
（x－1）2＋（y＋ 3）2.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1 上的点与点 P(1，－ 3)间距离的最大值．
∵ 圆 心 C(3 ， 0) 与 点 P(1 ， － 3 ) 之 间 的 距 离 为 （3－1）2＋（0＋ 3）2 ＝ 7 ， 故
（x－1）2＋（y＋ 3）2的最大值为 7＋1.
练习(十二)
1. {1，2} 解析：根据题意，P＝{1，2，3，4}，Q＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，P、Q 的公共元素
为 1、2，P∩Q＝{1，2}．本题考查集合交集的运算，关键是理解集合交集的含义．
2. (0，3) 解析：∵ z＝a＋3i
1－2i
＝（a＋3i）（1＋2i）
（1－2i）（1＋2i）
＝a－6＋（2a＋3）i
5
是纯虚数，∴ a－6＝0，
2a＋3≠0，
即 a＝6.∴ z＝3i.∴ 在复平面内 z 对应点的坐标为(0，3)．
3. 1＋i 解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的共轭复数： 2i
1＋i
＝2i（1－i）
1－i2
＝1＋i.
4. 6 解析：依题意，得周期 T＝π
3
，2π
ω
＝π
3
，所以ω＝6.
5. 3π
4
解析：∵ sinα－cosα＝ 2，α∈(0，π)，∴ 1－2sinαcosα＝2，即 sin2α＝－1，
故 2α＝3π
2
，∴ α＝3π
4
，故 tanα＝－1.
6. 5
9
解析：到点 O1 的距离等于 1 的点构成一个半个球面，到点 O2 的距离等于 1 的点构成一个
半个球面，两个半球构成一个整球，如图．
点 P 到点 O1，O2 的距离都大于 1 的概率为
P＝球外的体积
圆柱的体积
＝圆柱的体积－球的体积
圆柱的体积
＝
3π－4π
3
π×3
＝5
9.
7. ①④ 解析：根据平行直线的传递性可知①正确；在长方体模型中容易观察出②中 a、c 还可
以平行或异面；③中 a、b 还可以相交；④是真命题．
8. 0 解析：设 AB 的中点为 D，有OM→ ＝OA→ ＋OB→ ＝2OD→ ，∴ |OM→ |＝2|OD→ |＝R＝2，∴ |OD→ |＝1.
由点到直线的距离公式得 1＝|0－0＋1|
k2＋1
，解得 k＝0.
9. 9
4
解析：当直线 ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 2x－y－6＝0 的交点(8，
10)时，目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大 40，即 8a＋10b＝40，即 4a＋5b＝20，而5
a
＋1
b
＝
5
a
＋1
b 4a＋5b
20
＝5
4
＋
5b
4a
＋ a
5b ≥5
4
＋1＝9
4.
10. 2π
3
解析：在△ABC 中，sinB＝2sinC，由正弦定理可得 b＝2c.由余弦定理，cosA＝
b2＋c2－a2
2bc
，a2－b2＝3
2bc，可得 cosA＝
c2－3
2bc
2bc
＝c2－3c2
4c2
＝－1
2.由 0＜A＜π，可得 A＝2π
3
.
11. －1
4
解析：由正弦定理，得到边 b，c 的关系，代入余弦定理的变式求解即可．
由 2sinB＝3sinC 及正弦定理，得 2b＝3c，即 b＝3
2c.
又 b－c＝1
4a，∴ 1
2c＝1
4a，即 a＝2c.由余弦定理得 cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝
9
4c2＋c2－4c2
2×3
2c2
＝
－3
4c2
3c2
＝－1
4.
12. 0，3
4 解析：由函数 f(x)的解析式作出其图象如图，则当 0≤x≤1 时，函数 f(x)为增函数，
且 1≤f(x)≤2，当 x＞1 时，函数 f(x)为减函数，且 1＜f(x)＜3
2
，由 x＋1＝3
2
，得 x＝1
2
，所以，若满
足 a＞b≥0 时，f(a)＝f(b)，必有 b∈ 0，1
2 ，a∈[1，＋∞)，1＜f(a)＜3
2
，则 0＜b·f(a)＜1
2
×3
2
＝3
4
，由
不等式的可乘积性得：b·f(a)∈ 0，3
4 .
13. 3 解析：∵ 不等式 f(x)＞－xf′(x)在(0，＋∞)上恒成立，
∴ 不等式 f(x)＋xf′(x)＞0 在(0，＋∞)上恒成立，即
[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)＞0，即 xf(x)在(0，＋∞)上递增．
∵ 在 R 上的奇函数 y＝f(x)满足 f(3)＝0，∴ xf(x)为偶函数且有一个零点为 3.
令 g(x)＝0 得 xf(x)＝－lg|x＋1|，如图可知 g(x)有 3 个零点．
14. 12 解析：利用三角形的中位线结合椭圆的定义求解．
椭圆x2
9
＋y2
4
＝1 中，a＝3.
如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∵ D，F1，F2 分别为 MN，AM，BM 的中点，
∴ |BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，
∴ |AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
练习(十三)
1. {2，3} 解析：∵ U＝{1，2，3，4}，A＝{1，4}，B＝{2}，∴ ∁UA＝{2，3}，则 B∪(∁UA)
＝{2，3}．
2. －1＋2i 解析：1＋3i
1－i
＝（1＋3i）（1＋i）
（1－i）（1＋i）
＝－2＋4i
2
＝－1＋2i.
3. y＝sin 10x－7π
4 解析：将函数 y＝sin 5x－π
2 的图象向右平移π
4
个单位，得到函数为 y＝
sin 5 x－π
4 －π
2 ＝sin 5x－7π
4 ，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，可得到函数 y＝
sin 10x－7π
4 的图象．
4. －4 解析：∵ f(x)为定义在 R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，解得 a＝－1.∴ 当 x≥0 时，f(x)＝
3x－2x－1.∴ f(－2)＝－f(2)＝－(32－2×2－1)＝－4.
5. i≥7 解析：31＋33＋35＝273.
6. y2＝8x 解析：由题意可知p
2
＝2，∴ p＝4，且抛物线的标准方程的焦点在 x 轴的正半轴上，
故可设抛物线的标准方程为 y2＝2px，将 p 代入可得 y2＝8x.
7. －1 023 解析：由 an＋1＋2an＝0，得 2an＝－an＋1，则an＋1
an
＝－2，∴ 数列{an}是公比 q＝－2
的等比数列．∵ a2＝－6，∴ a1＝3，则数列{an}的前 10 项和 S10＝3[1－（－2）10]
1＋2
＝1－210＝－1 023.
8.
1
2
，＋∞ 解析：令 F(x)＝f(x)－x3，则由 f(x)－f(－x)＝2x3，可得 F(－x)＝F(x)，故 F(x)为
偶函数，又当 x＞0 时，f′(x)＞3x2 即 F′(x)＞0，所以 F(x)在(0，＋∞)上为增函数．不等式 f(x)－f(x
－1)＞3x2－3x＋1 可化为 F(x)＞F(x－1)，所以有|x|＞|x－1|，解得 x＞1
2.
9. 3 解析：由已知得：四边形 ABCD 为平行四边形，BA→ ＋BC→ ＝BD→ ，|AB→ |＝|DC→ |＝ 2.设BE→＝
BA→
|BA→ |
，BF→＝ BC→
|BC→ |
，BG→ ＝ 3BD→
|BD→ |
，点 E，F，G 分别在线段 BA，BC，BD 上，且EG→ ∥BF→，FG→∥BE→，|BE→|
＝|BF→|＝1，|BG→ |＝ 3，∴ cos∠BAD＝cos∠BEG＝|GE|2＋|EB|2－|BG|2
2|GE||EB|
＝－1
2
，∴ ∠BAD＝120°，∴
S 四边形 ABCD＝2×1
2
×|AB|×|AD|×sin∠BAD＝ 2× 2× 3
2
＝ 3.
10. 64
17
解析：∵ a2＝b2＋c2－2bccosA，即 a2－b2－c2＝－2bccosA，S△ABC＝1
2bcsinA，∴ 分别
代入已知等式得 1
2bcsinA＝2bc－2bccosA，即 sinA＝4－4cosA，代入 sin2A＋cos2A＝1 得 cosA＝15
17
，
∴ sinA＝ 8
17.∵ b＋c＝8，∴ c＝8－b，∴ S△ABC＝1
2bcsinA＝ 4
17bc＝ 4
17b(8－b)≤ 4
17
·
b＋8－b
2
2
＝64
17
，
当且仅当 b＝8－b，即 b＝4 时取等号，则△ABC 面积 S 的最大值为64
17.
11. {x|x＜－lg2} 解析：由题意可知：f(x)＞0 的解集为 x|－1＜x＜1
2 ，故可得 f(10x)＞0 等价于
－1＜10x＜1
2.由指数函数的值域为(0，＋∞)一定有 10x＞－1，而 10x＜1
2
可化为 10x＜10lg1
2
，即 10x＜
10－lg2，由指数函数的单调性可知 x＜－lg2.
12. 3＋2 2 解析：∵ 直线 l：x
a
＋y
b
＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，∴ 1
a
＋2
b
＝1，∴ a＋b＝(a
＋b)
1
a
＋2
b ＝3＋b
a
＋2a
b
≥3＋2 2，当且仅当 b＝ 2a 时上式等号成立．∴ 直线在 x 轴，y 轴上的截距
之和的最小值为 3＋2 2.
13. 0＜b≤1 解析：f2(x)－bf(x)＝0 可化为 f(x)＝0 或 f(x)＝b.作函数 f(x)＝ logax，x＞0，
ax，x≤0
的图
象如下，
当 f(x)＝0 可得 x＝1，故 f(x)＝b 要有两个不同于 1 的实数解，故由图象可得，0＜b≤1.
14. 1 解析：曲线 y＝ 1
2ex2 的导数为 y′＝x
e
，在 P(s，t)处的斜率为 k＝s
e.曲线 y＝alnx 的导数为 y′
＝a
x
，在 P(s，t)处的斜率为 k＝a
s.曲线 y＝ 1
2ex2 与曲线 y＝alnx 在它们的公共点 P(s，t)处具有公共切线，
可得s
e
＝a
s
，并且 t＝ 1
2es2，t＝alns，即
s
e
＝a
s
，
1
2es2＝alns，
解得 lns＝1
2
，s2＝e.可得 a＝1.
练习(十四)
1. [2，＋∞) 解析：由 A 中 y＝lg(x＋3)，得到 x＋3＞0，即 x＞－3，∴ A＝(－3，＋∞)．∵ B
＝[2，＋∞)，∴ A∩B＝[2，＋∞)．
2. 5，8 解析：乙组数据平均数＝(9＋15＋18＋24＋10＋y)÷5＝16.8，解得 y＝8；甲组数据可
排列成：9，12，10＋x，24，27.所以中位数为：10＋x＝15，解得 x＝5.
3. 1 解析：由题意化简 z＝a＋1＋(a－1)i，因为复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，所以复
数 z 为实数，即其虚部 a－1＝0，解得 a＝1.
4. 5 解析：输入 x＝－2，则输出的 y＝(－2)2＋1＝5.
5. －3
2
解析：当 a＞1 时 a－1＋b＝－1，
a0＋b＝0，
无解；当 0＜a＜1 时 a－1＋b＝0，
a0＋b＝－1，
解得 b＝－2，a＝1
2
，
则 a＋b＝1
2
－2＝－3
2.
6. y＝± 5
2 x 解析：双曲线x2
4
－y2
b2
＝1(b＞0)的焦距为 6，所以 a＝2，c＝3，所以 b＝ 5，所以双
曲线的渐近线方程为 y＝± 5
2 x.
7. 2－ 3 解析：由题意可知 T＝π，ω＝2π
π
＝2 ，φ＝－π
3
，代入求值即可得到 f(0)＋
17π
12
＝2－ 3.
8. 5 5π
6
解析：六棱柱的对角线长为 22＋12＝ 5，球的体积为 V＝4π
3
×
5
2
3
＝5 5π
6 .
9.
1
2
，1 解析：∵ 对任意 x，y∈R，都有 f(x)·f(y)＝f(x＋y)，∴ 令 x＝n，y＝1，得 f(n)·f(1)
＝f(n＋1)，即an＋1
an
＝f（n＋1）
f（n）
＝f(1)＝1
2
，∴ 数列{an}是以1
2
为首项，1
2
为公比的等比数列，∴ an＝f(n)
＝
1
2
n
，∴ Sn＝
1
2
1－ 1
2n
1－1
2
＝1－
1
2
n
∈
1
2
，1 .
10. 4
3
解析：∵ B、G、F 三点共线 ，∴ AG→ ＝λAB→ ＋(1－λ)AF→ ＝λAB→ ＋1－λ
2
AC→ .∵ C、G、E
三点共线，∴ AG→ ＝μAE→ ＋(1－μ)AC→ ＝μ
2AB→ ＋(1－μ)AC→ .∴
λ＝μ
2
，
1－λ
2
＝1－μ，
∴ λ＝1
3
，μ＝2
3
，∴ AG→ ＝1
3AB→ ＋2
3AF→.
∴ AG→ ＝2
3AE→ ＋2
3AF→.∵ AG→ ＝xAE→ ＋yAF→，∴ x＋y＝4
3.
11.
－2 5
5
，2 5
5 解析：圆 C：(x－2)2＋y2＝1 的圆心为 C(2，0)，半径 R＝1.设两个切点分别
为 A、B，则由题意可得 PC＝2，∴ 圆心到直线 y＝k(x＋1)的距离小于或等于 PC＝2，
即 |3k|
k2＋1
≤2，解得 k2≤4
5
，可得 k∈ －2 5
5
，2 5
5 .
12. (0，＋∞) 解析：∵ y＝f(x＋2)为偶函数，∴ y＝f(x＋2)的图象关于 x＝0 对称．∴ y＝f(x)
的图象关于 x＝2 对称，∴ f(4)＝f(0)．∵ f(4)＝1，∴ f(0)＝1.设 g(x)＝f（x）
ex (x∈R)，则 g′(x)＝
f′（x）ex－f（x）ex
（ex）2
＝f′（x）－f（x）
ex .又 f′(x)＜f(x)，∴ f′(x)－f(x)＜0.∴ g′(x)＜0，∴ y＝g(x)在定
义域上单调递减．∵ f(x)＜ex，∴ g(x)＜1.∵ g(0)＝f（0）
e0
＝1，∴ g(x)＜g(0)，∴ x＞0.
13. 5
2
解析：(解法 1)在半径为 2 的圆中，以圆心为起点构造单位向量 a，b，c，并满足〈a，b〉
＝60°，分别考察向量 a－b，a－2c 和(a－b)·(a－2c)的几何意义，利用平几知识可得(a－b)·(a－2c)
最大值为5
2.(解法 2)(a－b)·(a－2c)＝1
2
－2(a－b)·c，注意到 a－b，c 都是相互独立的单位向量，所以(a
－b)·c 的最小值为－1，所以(a－b)·(a－2c)最大值为5
2.
14.
7
4
，2 解析：由 f(x)＝
2－|x|，x≤2，
(x－2)
2
，x>2，
得 f(2－x)＝ 2－|2－x|，x≥0，
x2，x<0，
所以 y＝f(x)＋f(2－x)
＝
2－|x|＋x2，x<0，
4－|x|－|2－x|，0≤x≤2，
2－|2－x|＋（x－2）2，x>2，
即 y＝f(x)＋f(2－x)＝
x2＋x＋2，x<0，
2，0≤x≤2，
x2－5x＋8，x>2.
y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(2－x)
－b，所以 y＝f(x)－g (x)恰有 4 个零点等价于方程，f(x)＋f(2－x)－b＝0 有 4 个不同的解，即函数 y
＝b 与函数 y＝f(x)＋f(2－x)的图象有 4 个公共点，由图象可知7
40)上，设圆心坐标为 a，2
a (a＞0)．又圆
与直线 2x＋y＋1＝0 相切，所以圆心到直线的距离 d＝圆的半径 r.由 a＞0 得到 d＝
2a＋2
a
＋1
5
≥4＋1
5
＝
5，当且仅当 2a＝2
a
即 a＝1 时取等号，所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为 5，则所求圆
的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
12. 3
3
解析：由条件得 a2＝(a＋b)2，∴ － 3|a||b|＋b2＝0，∴ |b|＝ 3|a|，∴ （2a＋tb）2
b2
＝
4a2－6ta2＋3t2a2
3a2
＝t2－2t＋4
3
≥
16
3
－4
4
＝1
3
，∴ |2a＋tb|
|b|
的最小值为 3
3 .
13. 9 解析：由题意可得AB→ ·AC→ ＝bccos30°＝2 3，解得 bc＝4，故△ABC 的面积 S＝1
2bcsin30°
＝1，∴ 正数 x，y，z 满足 x＋y＋z＝1，∴ 1
x＋y
＋4
z
＝
1
x＋y
＋4
z (x＋y＋z)＝5＋ z
x＋y
＋4（x＋y）
z
≥
5＋2 z
x＋y
·4（x＋y）
z
＝9，当且仅当 z
x＋y
＝4（x＋y）
z
即 z＝2(x＋y)时取等号，结合 x＋y＋z＝1
可得 x＋y＝1
3
且 z＝2
3.
14. 9 解析：由韦达定理得 a＋b＝p，a·b＝q，则 a＞0，b＞0.当 a，b，－2 适当排序后成等比
数列时，－2 必为等比中项，故 a·b＝q＝4，即 b＝4
a.当适当排序后成等差数列时，－2 必不是等差中
项，当 a 是等差中项时，2a＝4
a
－2，解得 a＝1，b＝4；当4
a
是等差中项时，8
a
＝a－2，解得 a＝4，b
＝1.综上所述，a＋b＝p＝5，所以 p＋q＝9.
第二部分 解 答 题
练习(一)
1. 解：(1) ∵ 向量 m＝ cos2x， 3
2 sinx－1
2cosx ，n＝ 1， 3
2 sinx－1
2cosx ，∴ 函数 f(x)＝m·n＝
cos2x＋
3
2 sinx－1
2cosx 2
＝cos2x＋3
4sin2x＋1
4cos2x－ 3
2 sinxcosx＝3
4cos2x－ 3
4 sin2x＋1
2
＝ 3
2 cos(2x＋π
6
)
＋1
2
，故当 cos 2x＋π
6 ＝1 时，函数 f(x)取得最大值 3＋1
2
，此时 2x＋π
6
＝2kπ，解得 x＝kπ－π
12
，
k∈Z，故 x 取值的集合为 x|x＝kπ－π
12
，k∈Z .
(2) ∵ A，B，C 为锐角三角形 ABC 的三个内角，且 cosB＝3
5
，
∴ sinB＝ 1－cos2B＝4
5.
又 f(C)＝ 3
2 cos 2C＋π
6 ＋1
2
＝－1
4
，
∴ cos 2C＋π
6 ＝－ 3
2
，∴ 2C＋π
6
＝5π
6
，解得 C＝π
3
，
∴ sinA＝sin
2π
3
－B ＝ 3
2 cosB＋1
2sinB＝ 3
2
×3
5
＋1
2
×4
5
＝4＋3 3
10
.
2. (1) 证明：连结 B1C 交 BC1 于点 M，连结 DM.
在△ACB1 中，D 为 AC 中点，M 为 B1C 中点，所以 DM∥AB1.
因为 AB1 平面 BC1D, DM 平面 BC1D，所以 AB1∥平面 BC1D.
(2) 证明：因为 CC1⊥底面 ABC，BD 底面 ABC，所以 CC1⊥BD.在△ABC 中，AB＝BC，D
为 AC 中点，所以 BD⊥AC.
因为 AC∩CC1＝C，所以 BD⊥平面 ACC1A1.
又 BD 平面 C1DB，所以平面 C1DB⊥平面 ACC1A1.
(3) 解：因为 CC1⊥底面 ABC，所以 CC1 为三棱锥 C1DBC 的高，所以 VD C1CB＝VC1BCD＝
1
3S△BCD×CC1＝1
3
×1
2
×2×2 3×4＝8
3 3.
3. 解：(1) 因为圆 E 的半径为 OB－OE＝50－t＝30，所以 CD＝30.在 y＝－ 1
49x2＋50 中，令 y
＝30，得 OD＝14 5.在圆 E：x2＋(y－20)2＝302 中，令 y＝0，得 AO＝10 5，所以 AD＝AO＋OD＝
10 5＋14 5＝24 5.
(2) 由圆 E 的半径为 OB－OE＝50－t，得 CD＝50－t.
在 y＝－ax2＋50 中，令 y＝50－t，得 OD＝ t
a.
DF＝OF＋OD＝50－t＋ t
a.
由题意知，50－t＋ t
a
≤75 对 t∈(0，25]恒成立，
所以 1
a
≤ t＋25
t
恒成立．
当 t＝25
t
，即 t＝25 时， t＋25
t
取得最小值 10，
故 1
a
≤10，解得 a≥ 1
100.
(3) 当 a＝ 1
25
时，OD＝5 t.
又圆 E 的方程为 x2＋(y－t)2＝(50－t)2，
令 y＝0，得 x＝±10 25－t，所以 OA＝10 25－t，
从而 AD＝10 25－t＋5 t.
下求 f(t)＝10 25－t＋5 t(0＜t≤25)的最大值．
(方法 1)令 t＝25cos2α，α∈ 0，π
2 ，则 AD＝10 25－t＋5 t＝10×5sinα＋5×5cosα＝
25 5·sin(α＋φ)，其中φ是锐角，且 tanφ＝1
2
，从而当α＋φ＝π
2
时，AD 取得最大值 25 5.
(方法 2)令 x＝ 25－t，y＝ t，则题意相当于：已知 x2＋y2＝25(x≥0，y≥0)，求 z＝AD＝5(2x
＋y)的最大值．
当直线 y＝－2x＋z
5
与圆弧 x2＋y2＝25(x≥0，y≥0)相切时，z 取得最大值 25 5.
答：当 t＝5 米时，AD 的最大值为 25 5米．
4. 解：(1) 依题意知 m≠0，
设直线 AB 的方程为 y＝－1
mx＋b，
由
x2
2
＋y2＝1，
y＝－1
mx＋b，
得(1
2
＋ 1
m2)x2－2b
mx＋b2－1＝0.
∵ 直线 y＝－1
mx＋b 与椭圆x2
2
＋y2＝1 有两个不同交点，
∴ Δ＝(－2b
m)2－4(1
2
＋ 1
m2)(b2－1)>0，
即 2
m2
＋1－b2>0，(*)
∵ AB 的中点为( 2bm
m2＋2
， bm2
m2＋2)在直线 y＝mx＋1
2
上，
∴ bm2
m2＋2
＝ 2bm2
m2＋2
＋1
2
，即 b＝－m2＋2
2m2
代入(*)，
∴ 2
m2
＋1－(－m2＋2
2m2 )2>0，解得 m<－ 6
3
或 m> 6
3 .
(2) 令 t＝1
m
∈ － 6
2
，0 ∪ 0， 6
2 ，
则|AB|＝ t2＋1·
－2t4＋2t2＋3
2
t2＋1
2
，
点 O 到直线 AB 的距离 d＝
t2＋1
2
t2＋1
，
∴ S△AOB＝S(t)＝1
2
|AB|·d＝1
2
－2 t2－1
2
2
＋2≤ 2
2
，当且仅当 t2＝1
2
时，等号成立，
∴ △AOB 面积的最大值为 2
2 .
5. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为 d，∵ a3＝5，a4＝2a2＋a1，
∴ a1＋2d＝5，
a1＋3d＝2（a1＋d）＋a1，
解得 a1＝1，
d＝2，
∴ an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2) ① bn＝ 1
an·an＋1
＝ 1
（2n－1）（2n＋1）
＝1
2
1
2n－1
－ 1
2n＋1 ，
∴ 数列{bn}的前 n 项和为
Tn＝1
2
1－1
3 ＋
1
3
－1
5 ＋…＋
1
2n－1
－ 1
2n＋1
＝1
2
1－ 1
2n＋1 ＝ n
2n＋1
.
② ∵ T1，Tm，Tn 成等比数列，m＞1，∴ T2m＝T1·Tn，
∴
m
2m＋1
2
＝1
3
× n
2n＋1
，化为3
n
＝－2m2＋4m＋1
m2
＞0，
即 2m2－4m－1＜0，解得 1－ 6
2
＜m＜1＋ 6
2 .
∴ 正整数 m＝2，n＝12.
6. (1) 解：由题意可得 f(x)＝4x2－2bx－1＋b 在[0，1]内有两个不同的零点，
即有
f（0）＝b－1≥0，
f（1）＝3－b≥0，
Δ＝4b2－16（b－1）＞0，
0＜b
4
＜1，
解得 1≤b＜2 或 2＜b≤3.
(2) 证明：只需证明 f(x)min＋M＞0 即可，设 f(x)的最小值是 m，问题转化为证明 M＋m＞0.
f(x)的对称轴为 x＝ b
4a
，
当 b
4a
＞1 时，区间[0，1]为减区间，可得 M＝f(0)＝b－a，
m＝f(1)＝3a－b，则 M＋m＝2a＞0；
当 b
4a
＜0 时，区间[0，1]为增区间，可得 m＝f(0)＝b－a，
M＝f(1)＝3a－b，则 M＋m＝2a＞0；
当 0≤ b
4a
≤1 时，区间[0， b
4a]为减区间，[ b
4a
，1]为增区间，得 m＝f
b
4a ＝4ab－4a2－b2
4a
，
若 f(0)≤f(1)，即 b≤2a，可得 M＝f(1)＝3a－b，M＋m＝8a2b2
4a
≥8a2－a2
4a
＝a＞0；
若 f(0)＞f(1)，即 2a＜b≤4a，可得 M＝f(0)＝b－a，M＋m＝8ab－8a2－b2
4a
＝－（b－4a）2＋8a2
4a
，
由于 2a＜b≤4a，可得 M＋m∈(a，2a]，即为 M＋m＞0.
综上可得 f(x)max＋f(x)min＞0 恒成立，即 f(x)＋M＞0.
练习(二)
1. 解：(1) ∵ 在锐角△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 acosB＋bcosA＝3 5
5 csinC，
∴ 由正弦定理得 sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝3 5
5 sin2C，
∴ sinC＝3 5
5 sin2C.
∵ sinC＞0，∴ sinC＝ 5
3 .∵ C 是锐角，∴ cosC＝2
3.
(2) ∵ S△ABC＝1
2absinC，a＝6，∴ 5b＝8 5，解得 b＝8.
由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝36＋64－2×6×8×2
3
＝36，
∴ c＝6.
2. (1) 证明：∵ SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，
∴ SA⊥平面 ABC.
∵ BC⊥AC，∴ BC⊥平面 SAC.
而 SC 平面 SAC，∴ SC⊥BC.
(2) 解：在△ABC 中，AC⊥BC，AC＝2，BC＝ 13，
∴ AB＝ 4＋13＝ 17.
∵ SA⊥AB，∴ △SAB 为直角三角形，SB＝ 29，
∴ SA＝ 29－17＝2 3.
∵ SA⊥平面 ABC，∴ SA 为棱锥的高，
∴ VS ABC＝1
3
×1
2
×AC×BC×SA＝1
6
×2× 13×2 3＝2 39
3 .
3. 解：(1) 当 0＜x＜80 时，y＝100x－
1
2x2＋40x －500＝－1
2x2＋60x－500；
当 x≥80 时，y＝100x－ 101x＋8 100
x
－2 180 －500＝1 680－ x＋8 100
x .
∴ y＝
－1
2x2＋60x－500，0＜x＜80，
1 680－ x＋8 100
x ，x≥80.
(2) 当 0＜x＜80 时，y＝－1
2(x－60)2＋1 300，
此时，当 x＝60 时，y 取得最大值，最大值为 1 300(万元)，
当 x≥80 时，y＝1 680－ x＋8 100
x ≤1 680－2 x·8 100
x
＝1 500，
当且仅当 x＝8 100
x
，即 x＝90 时，y 取得最大值，最大值为 1 500(万元)，
所以，当年产量为 90 台时，该企业在这一电子设备中所获利润最大，最大利润为 1 500 万元．
4. (1) 解：f′(x)＝ 1
x＋1
，f′(0)＝1，
∴ f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝x.
由 y＝x，
y＝x2＋bx＋1，
得 x2＋(b－1)x＋1＝0.
∵ y＝x 与函数 g(x)的图象相切，
∴ Δ＝(b－1)2－4＝0，解得 b＝－1 或 b＝3.
(2) 解：当 b＝－2 时，h(x)＝ln(x＋1)－x2＋2x－1，
h′(x)＝ 1
x＋1
－2x＋2＝3－2x2
x＋1
.
当 x∈[0，1]时，h′(x)＞0，∴ h(x)在[0，1]上单调递增，
h(x)max＝h(1)＝ln2，h(x)min＝h(0)＝－1，
∴ [h(x1)－h(x2)]max＝h(x)max－h(x)min＝1＋ln2.
∵ x1、x2∈[0，1]使得 h(x1)－h(x2)≥M 成立，
∴ M 的最大值是 1＋ln2.
(3) 证明：∵ h(x)的图象与 x 轴交于两个不同的点 A(x1，0)、B(x2，0)，
∴ 方程 ln(x＋1)－x2－bx－1＝0 的两个根为 x1、x2，
故 ln（x1＋1）－x21－bx1－1＝0，
ln（x2＋1）－x22－bx2－1＝0.
两式相减，得
b＝ln（x1＋1）－ln（x2＋1）
x1－x2
－(x1＋x2)．
h′(x)＝ 1
x＋1
－2x－b，
h′
x1＋x2
2 ＝ 2
x1＋x2＋2
－(x1＋x2)－b
＝ 2
x1＋x2＋2
－ln（x1＋1）－ln（x2＋1）
x1－x2
.
要证 h′
x1＋x2
2 <0，
即 2
x1＋x2＋2
－ln（x1＋1）－ln（x2＋1）
x1－x2
<0，
也就是2（x2－x1）
x1＋x2＋2
＋lnx1＋1
x2＋1
<0.
令 t＝x1＋1
x2＋1
(00.
因此 u(t)在(0，1)上是增函数，则 u(t)＜u(1)＝0，即2（x2－x1）
x1＋x2＋2
＋lnx1＋1
x2＋1
<0，
故 2
x1＋x2＋2
－ln（x1＋1）－ln（x2＋1）
x1－x2
＜0，即 h′
x1＋x2
2 <0 成立．
5. 解：(1)由圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，可知圆心 M(－1，0)，半径 1；
圆 N：(x－1)2＋y2＝9，圆心 N(1，0)，半径 3.
设动圆的半径为 R，
∵ 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，
∴ |PM|＋|PN|＝R＋1＋(3－R)＝4.
而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆，
∴ a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴ 曲线 C 的方程为x2
4
＋y2
3
＝1(去掉点(－2，0))．
(2) 设曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤3－1＝2，所以 R≤2，当且仅当圆
P 的圆心为(2，0)，R＝2 时，其半径最大，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
① l 的倾斜角为 90°，直线 l 的方程为 x＝0，|AB|＝2 3.
② 若 l 的倾斜角不为 90°，由于圆 M 的半径 1≠R，可知 l 与 x 轴不平行，
设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 |QP|
|QM|
＝R
r1
，可得 Q(－4，0)，所以可设 l：y＝k(x＋4)，
由 l 与 M 相切可得 |3k|
1＋k2
＝1，解得 k＝± 2
4 .
∴ 直线 l 的方程为 y＝± 2
4 (x＋4)，
代入x2
4
＋y2
3
＝1，可得 7x2＋8x－8＝0，
∴ |AB|＝ 1＋1
8
· －8
7
2
＋4×8
7
＝18
7 .
6. (1) 解：∵ Sn＋an＝4，n∈N*，
∴ 当 n≥2 时，Sn－1＋an－1＝4，
∴ an＋an－an－1＝0，即 an＝1
2an－1.
当 n＝1 时，2a1＝4，解得 a1＝2.
∴ 数列{an}是等比数列，an＝2×
1
2
n－1
＝22－n.
(2) 解：dn＝cn＋logCan＝2n＋3＋logC22－n
＝2n＋3＋(2－n)logC2
＝(2－logC2)n＋3＋2logC2.
假设存在这样的常数 C，使得数列{dn}是常数列，则 2－logC2＝0，解得 C＝ 2.
∴ 存在这样的常数 C＝ 2，使得数列{dn}是常数列，dn＝3＋2log 22＝7.
(3) 证明：∵ 对于任意的正整数 n，均有 b1an＋b2an－1＋b3an－2＋…＋bna1＝
1
2
n
－n＋2
2
成立(*)，
∴ b1an＋1＋b2an＋…＋bna2＋bn＋1a1＝
1
2
n＋1
－n＋3
2
.①
(*)两边同乘以1
2
可得 b1an＋1＋b2an＋…＋bna2＝
1
2
n＋1
－n＋2
4
.②
①－② 可得 bn＋1a1＝n＋2
4
－n＋3
2
＝－n－4
4
，
∴ bn＋1＝－n－4
8
，
∴ bn＝－n－3
8
(n≥3)．
又 2b1＝1
2
－3
2
，解得 b1＝－1
2.
又 b1a2＋b2a1＝1
4
－4
2
，
∴ －1
2
×1＋b2×2＝－7
4
，解得 b2＝－5
8.
当 n＝1，2 时，bn＝－n－3
8
也适合，
∴ bn＝－n－3
8
(n∈N*)是等差数列．
练习(三)
1. 解：(1) 向量AB→ ＝(2，6)，BC→ ＝(sinθ，1)，θ∈(0，π)，若 A、B、C 三点共线，则有sinθ
2
＝1
6
，解得 sinθ＝1
3
，
∴ cos θ＋3π
2 ＝sinθ＝1
3.
(2) 由AC→ ·BC→ ＝(2＋sinθ，7)·(sinθ，1)＝2sinθ＋sin2θ＋7＜33
4
，解得－5
2
＜sinθ＜1
2
，
∴ 2kπ－7π
6
＜θ＜2kπ＋π
6
，k∈Z.
即要求的θ的取值范围为 2kπ－7π
6
，2kπ＋π
6 ，k∈Z.
2. (1) 证明：∵ AB⊥平面 BCD，CD 平面 BCD，
∴ AB⊥CD.
又 CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB 平面 ABD，BD 平面 ABD，
∴ CD⊥平面 ABD.
(2) 解：(解法 1)由 AB⊥平面 BCD，得 AB⊥BD，
∵ AB＝BD＝1，∴ S△ABD＝1
2.
∵ M 是 AD 的中点，
∴ S△ABM＝1
2S△ABD＝1
4.
由(1) 知，CD⊥平面 ABD，
∴ 三棱锥 C － ABM 的高 h＝CD＝1，
因此三棱锥 A － MBC 的体积
VA － MBC＝VC － ABM＝1
3S△ABM·h＝ 1
12.
(解法 2)由 AB⊥平面 BCD，知平面 ABD⊥平面 BCD.
又平面 ABD∩平面 BCD＝BD，
如图，过点 M 作 MN⊥BD 交 BD 于点 N，
则 MN⊥平面 BCD，且 MN＝1
2AB＝1
2.
又 CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴ S△BCD＝1
2.
∴ 三棱锥 A － MBC 的体积 VA － MBC＝VA － BCD－VM － BCD＝1
3AB·S△BCD－1
3MN·S△BCD＝ 1
12.
3. 解：(1) 依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在 △ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB×AC×cos ∠ BAC ＝ 122 ＋ 202 －
2×12×20×cos120°＝784.
解得 BC＝28.所以渔船甲的速度为BC
2
＝14 海里/小时．
故渔船甲的速度为 14 海里/小时．
(2) (解法 1)在△ABC 中，因为 AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得 AB
sinα＝ BC
sin120°，
即 sinα＝ABsin120°
BC
＝
12× 3
2
28
＝3 3
14 .
故 sinα的值为3 3
14 .
(解法 2)在△ABC 中，因为 AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，
由余弦定理，得 cosα＝AC2＋BC2－AB2
2AC×BC
，
即 cosα＝202＋282－122
2×20×28
＝13
14.
因为α为锐角，所以 sinα＝ 1－cos2α＝ 1－
13
14
2
＝3 3
14 .
故 sinα的值为3 3
14 .
4. 解：(1) 直线 l：x＝my－1 经过(－1，0)，即有 F1(－1，0)，即 c＝1.
当 m＝0 时，x＝－1，代入椭圆方程，可得 y＝±b 1－1
a2
，
即有b2
a
＝ 2
2 .又 a2－1＝b2，解得 a＝ 2，b＝1，即有椭圆的方程为x2
2
＋y2＝1.
(2) 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，(y1，y2＞0)，
由题意可得，x21
2
＋y21＝1，x22
2
＋y22＝1，①
由 MF1∥NF2，则 kMF1＝kNF2，即有 y1
x1＋1
＝ y2
x2－1
，②
由S△MF1F2
S△NF1F2
＝3，则
1
2·2·y1
1
2
·2·y2
＝3 即 y1＝3y2.③
由①②③解得 x1＝0
y1＝1
或
x2＝4
3
，
y2＝1
3
，
即有 M(0，1)，N(4
3
，1
3)．则 m＝x1＋1
y1
＝1.即有直线 l：x－y＋1
＝0.
5. 解：(1) 由 Sn＝an＋n2－1，得 Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1(n≥2)，
两式相减，得 an＝an－an－1＋2n－1，
∴ an－1＝2n－1，则 an＝2n＋1.
由 3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，
∴ 3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3.
∴ bn＋1＝4n＋3
3n .∴ 当 n≥2 时，bn＝4n－1
3n－1 .
由 b1＝3 适合上式，∴ bn＝4n－1
3n－1 .
(2) 由(1)知，bn＝4n－1
3n－1
，
∴ Tn＝3
1
＋7
3
＋11
32
＋…＋4n－5
3n－2
＋4n－1
3n－1 . ①
1
3Tn＝3
3
＋ 7
32
＋11
33
＋…＋4n－5
3n－1
＋4n－1
3n . ②
①－②，得 2
3Tn＝3＋4
3
＋ 4
32
＋…＋ 4
3n－1
－4n－1
3n
＝3＋4·
1
3
1－ 1
3n－1
1－1
3
－4n－1
3n
＝5－4n＋5
3n .
∴ Tn＝15
2
－4n＋5
2·3n－1.
∵ Tn－Tn＋1＝4（n＋1）＋5
2·3n
－4n＋5
2·3n－1
＝－（4n＋3）
3n
＜0.
∴ Tn＜Tn＋1，即{Tn}为递增数列．
又 T3＝15
2
－4×3＋5
2×9
＝59
9
＜7，T4＝15
2
－4×4＋5
2×27
＝64
9
＞7，
∴ Tn＜7 时，n 的最大值 3.
6. 解：(1) 因为 f′(x)＝－ 1
x2
＋a
x
＝ax－1
x2
，当 a＝1，f′(x)＝x－1
x2 .
令 f′(x)＝0，得 x＝1.又 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以 x＝1 时，f(x)的极小值为 1.
f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；
(2) 因为 f′(x)＝－ 1
x2
＋a
x
＝ax－1
x2
，且 a≠0，
令 f′(x)＝0，得到 x＝1
a.
若在区间[1，e]上存在一点 x0，使得 f(x0)＜0 成立，
其充要条件是 f(x)在区间[1，e]上的最小值小于 0 即可．
1° 当 a＜0 时，f′(x)＜0 对 x∈(0，＋∞)成立，所以 f(x)在区间[1，e]上单调递减，
故 f(x)在区间[1，e]上的最小值为 f(e)＝1
e
＋alne＝1
e
＋a.由1
e
＋a＜0，得 a＜－1
e
，即 a∈ －∞，－1
e .
2° 当 a＞0 时，
① 若 e≤1
a
，则 f′(x)≤0 对 x∈[1，e]成立，
所以 f(x)在区间[1，e]上单调递减，
所以 f(x)在区间[1，e]上的最小值为 f(e)＝1
e
＋alne＝1
e
＋a＞0，
显然，f(x)在区间[1，e]上的最小值小于 0 不成立；
② 若 1＜1
a
＜e，即 1＞a＞1
e
时，则有
x 1，1
a
1
a
1
a
，e
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以 f(x)在区间[1，e]上的最小值为 f
1
a ＝a＋aln1
a.
由 f
1
a ＝a＋aln1
a
＝a(1－lna)＜0，
得 1－lna＜0，解得 a＞e，即 a∈(e，＋∞)舍去；
当 0＜1
a
＜1，即 a＞1，即有 f(x)在[1，e]递增，
可得 f(1)取得最小值，且为 1，f(1)＞0，不成立．
综上可知 a＜－1
e
符合题意．
练习(四)
1. 解：(1) 由正弦定理可得，3(sin2B＋sin2C－sin2A)＝2 3sinBsinC，即为 3(b2＋c2－a2)＝2 3bc，
由余弦定理可得 cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝ 3
3
，sinA＝ 1－
3
3
2
＝ 6
3
，tanA＝sinA
cosA
＝ 2；
(2) △ABC 的面积为 6＋ 2，即有 1
2bcsinA＝ 2＋ 6，即 bc＝6＋2 3，
a2＝b2＋c2－2bccosA≥2bc－2 3
3 bc＝ 2－2 3
3 (6＋2 3)＝8，即有 a≥2 2，则当 b＝c 时，a 取得
最小值，且为 2 2.
2. (1) 解：设 AA1＝h.
∵ VA1C1ME＝VEA1C1M，S△A1C1M＝1
2
×A1C1×h＝h
2
，棱锥 EA1C1M 的高为 2，
∴ VEA1C1M＝1
3
×h
2
×2＝ 2
6
，
解得 h＝ 2
2
，即 AA1 的长度为 2
2 .
(2) 证明：连结 AB1 交 A1E 于 F，连结 MF.
∵ E 为 BB1 的中点，∴ AF＝2
3AB1.
又 AM＝2
3AC，∴ MF∥CB1.
而 MF 平面 A1EM，CB1 平面 A1EM，
∴ CB1∥平面 A1EM.
3. 解：(1) 设钉身的高为 h，钉身的底面半径为 r，钉帽的底面半径为 R.由题意可知圆柱的高 h
＝2R＝38，圆柱的侧面积 S1＝2πrh＝760π，
半球的表面积 S2＝1
2
×4πR2＋πR2＝1 083π，
故铆钉的表面积 S＝S1＋S2＝760π＋1 083π＝1 843π.
(2) V1＝πr2h1＝100×24π＝2 400π，
V2＝1
2
×4
3
πR3＝2
3
×193π＝13 718π
3 .
设钉身的长度为 l，则 V3＝πr2·l＝100πl，
由于 V3＝V1＋V2，
∴ 2 400π＋13 718π
3
＝100πl，解得 l≈70 mm.
4. (1) 解：由 Sn＝3n(n∈N*)，且 a1＝S1，an＝Sn－Sn－1(n＞1)，
可得 an＝ 3，n＝1，
2·3n－1，n≥2，
当 n＝2 时，9＝2·3n－1，得 m N*，所以不是“E 数列”；
(2) 解：由数列{bn}是等差数列，其首项 b1＝1，公差 d＜0，可得 n＋n（n－1）
2
d＝1＋(m－1)d，
即为 m＝n－1
d
＋n（n－1）
2
＋1，n（n－1）
2
为非负整数，所以首先n－1
d
要恒为整数，d 为所有非负整
数的公约数且 d＜0，所以 d＝－1；
(3) 证明：首先，若 dn＝bn(b 是常数)，则数列{dn}前 n 项和为 Sn＝n（n－1）
2
b 是数列{dn}中的
第n（n－1）
2
项，因此{dn}是“E 数列”，对任意的等差数列{an}，an＝a1＋(n－1)d(d 为公差)．设 bn
＝na1，cn＝(d－a1)(n－1)，则 an＝bn＋cn，而数列{bn}，{cn}都是“E 数列”，故对任意的等差数列{an}，
总存在两个“E 数列”{bn}和{cn}，使得 an＝bn＋cn(n∈N*)成立．
5. 解：(1) ∵ 椭圆 C：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，离心率为 2
2
，过点 F 且与 x 轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为 2，
∴
c
a
＝ 2
2
，
2b2
a
＝ 2，
a2＝b2＋c2，
解得 a＝ 2，b＝1，
∴ 椭圆方程为x2
2
＋y2＝1.
(2) 由题意得直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，即 kx－y＋m＝0，设 A(x1，y1)，
B(x0，y0)，
∵ 直线 l 与圆 M 相切，
∴ |m|
k2＋1
＝r，即 m2＝r2(k2＋1)， ①
联立
y＝kx＋m，
x2
2
＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
由直线 l 与椭圆 G 相切，得Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，即 m2＝2k2＋1， ②
由①②得 k2＝r2－1
2－r2
，m2＝ r2
2－r2.
设点 B(x0，y0)，则 x20＝4m2－4
1＋4k2
＝8r2－8
3r2－2
，y20＝1－x20
4
＝ r2
3r2－2
，
∴ |OB|2＝x20＋y20＝9r2－8
3r2－2
＝3－ 2
3r2－2
，
∴ |AB|2＝|OB|2－|OA|2＝3－ 2
3r2－2
－r2＝3－ r2＋ 2
3r2－2 ≥3－2 2r2
3r2－2
＝3－2
2
3－2
r2
.
∵ 1＜r＜ 2，∴ 1＜r2＜2，
∴ r2→2 时，|AB|取得最大值 3－2 2＝ 2－1.
6. 解：(1) F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－ax－lnx，x＞0，
F′(x)＝2x－a－1
x
＝2x2－ax－1
x
.
令 h(x)＝2x2－ax－1，Δ＝a2＋8＞0，
解 h(x)＝0 得 x1＝a－ a2＋8
4
＜0(舍)，x2＝a＋ a2＋8
4
＞0，
∴ F(x)在 0，a＋ a2＋8
4 上递减，在(a＋ a2＋8
4
，＋∞)上递增．
(2) r(x)＝f(x)＋g
1＋ax
2 ＝x2－ax＋ln1＋ax
2
，
∴ r′(x)＝2ax x－a2－2
2a
ax＋1
.
∵ a∈(1，2)，∴ a2－2
2a
＜1
2
，
∴ x∈
1
2
，＋∞ 时，F(x)是增函数，
∴ x∈
1
2
，1 ，F(x)max＝F(1)＝1－a＋ln1＋a
2
，a∈(1，2)．
∵ 对任意的 a∈(1，2)，总存在 x∈
1
2
，1 ，使不等式 F(x)＞k(1－a2)成立，
∴ 对任意的 a∈(1，2)，不等式 1－a＋ln1＋a
2
＞k(1－a2)成立．
于是问题等价于：对任意的 a∈(1，2)，不等式 ln1＋a
2
＋1－a＋k(a2－1)＞0 恒成立．
记 g(a)＝ln1＋a
2
＋1－a＋k(a2－1)(1＜a＜2)，则 g′(a)＝ a
1＋a(2ka－1＋2k)．
当 k＝0 时，g′(a)＝ －a
1＋a
＜0，∴ g(a)在区间(1，2)上递减，此时，g(a)＜g(1)＝0.
由于 a2－1＞0，∴ k≤0 时不可能使 g(a)＞0 恒成立，
故必有 k＞0，∴ g′(a)＝ a
1＋a
(2ka－1＋2k)．若 1
2k
－1＞1，可知 g(a)在区间(1，min{2， 1
2k
－1})
上递减，在此区间上，有 g(a)＜g(1)＝0，与 g(a)＞0 恒成立矛盾，故 1
2k
－1≤1，这时，g′(a)＞0，
g(a)在(1，2)上递增，恒有 g(a)＞g(1)＝0，满足题设要求，∴
k＞0，
1
2k
－1≤1，即 k≥1
4
，∴ 实数 k 的取
值范围为[1
4
，＋∞)．
练习(五)
1. 解：(1) ( 2a－c)BA→ ·BC→ ＝cCB→ ·CA→
可化为( 2a－c)|BA→ |·|BC→ |cosB＝c|CB→ |·|CA→ |cosC，
即( 2a－c)cacosB＝cabcosC，∴ ( 2a－c)cosB＝bcosC.
根据正弦定理有( 2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
所以 2sinAcosB＝sin(C＋B)，即 2sinAcosB＝sinA，
因为 sinA＞0，所以 cosB＝ 2
2
，即 B＝π
4
.
(2) 因为|BA→ －BC→ |＝ 6，所以|CA→ |＝ 6，即 b2＝6，
根据余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，可得 6＝a2＋c2－ 2ac，
由基本不等式知 6＝a2＋c2－ 2ac≥2ac－ 2ac＝(2－ 2)ac，即 ac≤3(2＋ 2)，
故△ABC 的面积 S＝1
2acsinB＝ 2
4 ac≤3（ 2＋1）
2
，即当 a＝c＝ 6＋3 2时，△ABC 的面积的
最大值为3（ 2＋1）
2
.
2. (1) 证明：∵ A1O⊥平面 ABCD，BD 在平面 ABCD 内，
∴ A1O⊥BD.
又 ABCD 是正方形，∴ BD⊥AC.
∵ A1O、AC 在平面 A1AC 内，∴ BD⊥平面 A1AC.
而 AA1 在平面 A1AC 内，∴ AA1⊥BD.
(2) 证明：在四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 中，DD1∥BB1 且 DD1＝BB1，
∴ 四边形 BB1D1D 是平行四边形，故 BD∥B1D1.
又在四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 中，A1D1∥BC 且 A1D1＝BC，
∴ 四边形 A1BCD1 是平行四边形，故 A1B∥D1C.
而 A1B、BD 是平面 A1BD 内的相交直线，D1C、B1D1 是平面 CD1B1 内的相交直线，
∴ 平面 A1BD∥平面 CD1B1.
(3) 解：在正方形 ABCD 中，AB＝ 2，
∴ AO＝1
2AC＝1.
又 A1O⊥平面 ABCD，AC 在平面 ABCD 内，∴ A1O⊥AC.
故 A1O＝ A1A2－AO2＝ 3，
∴ VABD － A1B1D1＝1
2
×AB×BC×A1O＝ 3.
3. 解：(1) ∵ 圆心在 x 轴上，半径为 4 的圆 C 位于 y 轴的右侧，
∴ 可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝16(a＞0)．
∵ 圆与 y 轴相切，∴ a＝4，∴ 圆的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2) ∵ 椭圆x2
25
＋y2
b2
＝1(b＞0)的离心率为4
5
，
∴ e＝c
a
＝ 25－b2
5
＝4
5
，解得 b＝3，
∴ c＝ a2－b2＝4，∴ F1(－4，0)，F2(4，0)，
∴ F2(4，0)恰为圆心 C.
① 过 F2 作 x 轴的垂线与圆交于两点 P1、P2，则∠P1F2F1＝∠P2F2F1＝90°，符合题意；
② 过 F1 作圆的切线，分别与圆切于点 P3、P4，连结 CP3、CP4，则∠F1P3F2＝∠F1P4F2＝90°，
符合题意．
综上，圆 C 上存在 4 个点 P，使得△PF1F2 为直角三角形．
4. 解：(1) 由题意知，利润 y＝t 4＋20
t －(10＋2t)－x.
由销售量 t 万件满足 t＝5－ 9
2（x＋1），代入得 y＝20－
9
x＋1
＋x
(0≤x≤a)．
(2) y＝21－
9
x＋1
＋x＋1 ≤21－6＝15，当且仅当 9
x＋1
＝x＋1，即 x＝2 时，取等号．
当 a≥2 时，促销费用投入 2 万元，厂家的利润最大；当 1＜a＜2 时，y′＝－（x－2）（x＋4）
（x＋1）2
＞0，故 y＝20－
1
x＋1
＋x 在 1≤x≤a 上单调递增；
所以在 1≤x≤a 时，函数有最大值，促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大．
综上所述，当 a≥2 时，促销费用投入 2 万元，厂家的利润最大；当 1＜a＜2 时，促销费用投入
a 万元，厂家的利润最大．
5. 解：(1) 由题意 n∈N*，an 与 an＋1 恰为方程 x2－bnx＋2n＝0 的两个根．可得 an·an＋1＝2n，
∴ an＋1an＋2
anan＋1
＝an＋2
an
＝2n＋1
2n
＝2.
∵ a1·a2＝2，a1＝1，a2＝2，
∴ a1，a3，…，a2n－1 是首项为 a1＝1，公比为 2 的等比数列，
a2，a4，…，a2n 是首项为 a2＝2，公比为 2 的等比数列．
∴ a2n－1＝2n－1，a2n＝2n，n∈N*.
即 an＝
2
n－1
2 ，n＝2k－1，k∈N*，
2
n
2，n＝2k，k∈N*.
∵ bn＝an＋an＋1，
当 n 为奇数时，bn＝2
n－1
2 ＋2
n＋1
2 ＝3·2
n－1
2 ；
当 n 为偶数时，bn＝2
n
2＋2
n
2＝2·2
n
2.
∴ bn＝
3×2
n－1
2 ，n 为奇数，
21＋n
2
，n 为偶数.
(2) Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，
当 n 为偶数时，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝3－3·2
n
2
1－2
＋4－4·2
n
2
1－2
＝7·2
n
2－7；
当 n 为奇数时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2
n－1
2 －7，
∴ Sn＝
10×2
n－1
2 －7，n 为奇数，
7×2
n
2－7，n 为偶数.
6. (1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋1
x
－m＝x2－mx＋1
x
.
令 f′(x)＝0，得 x2－mx＋1＝0.
当Δ＝m2－4≤0，即 00，即 m>2 时，由 x2－mx＋1＝0 解得
x1＝m－ m2－4
2
，x2＝m＋ m2－4
2
，且 00，在(x1，x2)内，f′(x)<0，
∴ f(x)在区间(0，x1)及(x2，＋∞)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减．
(2) 解：由(1)可知，当 02m 且 x>1 时，f(x)>0，故 f(x)有且仅有一个零点．
当 m>2 时，∵ f(x)在(0，x1)及(x2，＋∞)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，
且 f(x1)＝1
2
m－ m2－4
2
2
＋lnm－ m2－4
2
－m（m－ m2－4）
2
＝－m2＋m m2－4－2
4
＋lnm－ m2－4
2
，
而－m2＋m m2－4－2
4
<－m2＋m2－2
4
<0，
02)，
∴ f(x1)<0，由此知 f(x2)2m 且 x>1 时，f(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．
综上所述，当 m>0 时，f(x)有且仅有一个零点．
(3) 证明：假设曲线 y＝f(x)在点(x，f(x))(x>0)处的切线经过原点，则有f（x）
x
＝f′(x)，即
1
2x2＋lnx－mx
x
＝x＋1
x
－m，
化简得 1
2x2－lnx＋1＝0(x>0)．(*)
记 g(x)＝1
2x2－lnx＋1(x>0)，则 g′(x)＝x－1
x
＝x2－1
x
，
令 g′(x)＝0，解得 x＝1.
当 01 时，g′(x)>0，
∴ g(1)＝3
2
是 g(x)的最小值，即当 x>0 时，1
2x2－lnx＋1≥3
2.
由此说明方程(*)无解，
∴ 曲线 y＝f(x)没有经过原点的切线．
练习(六)
1. 解：f(x)＝ 3sinx
4cosx
4
＋cos2x
4
＝ 3
2 sinx
2
＋1
2cosx
2
＋1
2
＝sin
x
2
＋π
6 ＋1
2.
(1) 若 f(x)＝1，可得 sin
x
2
＋π
6 ＝1
2
，
则 cos
2π
3
－x ＝2cos2
π
3
－x
2 －1＝2sin2
x
2
＋π
6 －1＝－1
2.
(2) 由 acosC＋1
2c＝b 可得 a·a2＋b2－c2
2ab
＋1
2c＝b，即 b2＋c2－a2＝bc，
∴ cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝1
2
，得 A＝π
3
，B＋C＝2π
3
.
又 B，C 均为锐角，∴ B∈
π
6
，π
2 ，
∴ sin B＋π
6 ∈
3
2
，1 ，
∴ f(2B)＝sin B＋π
6 ＋1
2
的取值范围是
3＋1
2
，3
2 .
2. 证明：(1) ∵ 三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，
∴ CC1⊥平面 ABC.
∵ AD 平面 ABC，∴ AD⊥CC1.
∵ AD⊥DE，DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线，
∴ AD⊥平面 BCC1B1.
∵ AD 平面 ADE，∴ 平面 ADE⊥平面 BCC1B1.
(2) ∵ △A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，F 为 B1C1 的中点，
∴ A1F⊥B1C1.
∵ CC1⊥平面 A1B1C1，A1F 平面 A1B1C1，∴ A1F⊥CC1.
∵ B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线，
∴ A1F⊥平面 BCC1B1.
∵ AD⊥平面 BCC1B1，∴ A1F∥AD.
∵ A1F 平面 ADE，AD 平面 ADE，
∴ 直线 A1F∥平面 ADE.
3. 解：(1) ∵ 当 x＝10 时，y＝9.2，即51
50
×10－a×102－ln1＝9.2，解得 a＝ 1
100.
∴ f(x)＝51
50x－ x2
100
－ln x
10(x∈(1，t])．
(2) 对 f(x)求导，得 f′(x)＝51
50
－ x
50
－1
x
＝－x2－51x＋50
50x
＝－（x－1）（x－50）
50x
.
令 f′(x)＝0，得 x＝50 或 x＝1(舍去)．
当 x∈(1，50)时，f′(x)＞0，∴ f(x)在(1，50)上是增函数；
当 x∈(50，＋∞)时，f′(x)＜0，∴ f(x)在(50，＋∞)上是减函数．
当 t＞50 时，当 x∈(1，50)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，50)上是增函数；当 x∈(50，t]时，f′(x)
＜0，f(x)在(50，t]上是减函数．
∴ 当 x＝50 时，y 取得最大值；
当 t≤50 时，当 x∈(1，t)时，f′(x)＞0，f(x)在(1，t)上是增函数，∴ 当 x＝t 时，y 取得最大值．
4. 解：(1) 设等差数列{an}的公差为 d，则 a1＋4d＝－3，
7a1＋21d＝－14，
解得 a1＝1，
d＝－1.
∴ an＝1－(n－1)＝2－n.
∵ bn＋1－2bn＝0，
∴ 数列{bn}是公比为 2 的等比数列．
由 b2＋b4＝2b1＋8b1＝20，得 b1＝2，
∴ bn＝2·2n－1＝2n.
(2) 由(1) cn＝2－n
2n
，
∴ Tn＝ 1
21
＋ 0
22
＋－1
23
＋…＋3－n
2n－1
＋2－n
2n
①，
1
2Tn＝ 1
22
＋ 0
23
＋－1
24
＋…＋3－n
2n
＋2－n
2n＋1
②，
①－②，得 1
2Tn＝1
2
－
1
22
＋ 1
23
＋ 1
24
＋…＋ 1
2n －2－n
2n＋1
，
∴ Tn＝1－
1
2
＋ 1
22
＋ 1
23
＋…＋ 1
2n－1 ＋n－2
2n
＝1－ 1－ 1
2n－1 ＋n－2
2n
＝ n
2n.
5. (1) 解：由题意得
e＝c
a
＝ 3
2
，
3
a2
＋ 1
4b2
＝1，
a2＝b2＋c2.
解得 a2＝4，b2＝1.
所以椭圆 C 的方程为x2
4
＋y2＝1.
(2) 证明：(证法 1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将 y＝kx＋m 代入x2
4
＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0，x1＋x2＝－8km
4k2＋1
，
故 xM＝x1＋x2
2
＝－ 4km
4k2＋1
，yM＝kxM＋m＝ m
4k2＋1
.
于是直线 OM 的斜率 kOM＝yM
xM
＝－ 1
4k
，即 kOM·k＝－1
4.
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值－1
4.
(证法 2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．则 xM≠0，x1－x2≠0，
由
x21
4
＋y21＝1，
x22
4
＋y22＝1
得（x1＋x2）（x1－x2）
4
＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
则yM（y1－y2）
xM（x1－x2）
＝－1
4
，即 kOM·k＝－1
4.
所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值－1
4.
6. 解：(1) ∵ b＝2－a，∴ f(x)＝ax2＋(2－a)x－lnx，
∴ f′(x)＝（2x－1）（ax＋1）
x
，
① 若 a≥0，则 x∈ 0，1
2 时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，
x∈
1
2
，＋∞ 时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
故当 x＝1
2
时，函数取最小值－a
4
＋1＋ln2，
当－a
4
＋1＋ln2＞0，即 0≤a＜4(1＋ln2)时，函数无零点；
当－a
4
＋1＋ln2＝0，即 a＝4(1＋ln2)时，函数有一个零点；
当－a
4
＋1＋ln2＜0，即 a＞4(1＋ln2)时，函数有两个零点．
② 若 a＜0，当－2＜a＜0 时，x∈ 0，1
2 或 x∈ －1
a
，＋∞ 时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，x∈
1
2
，－1
a 时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
此时 f
1
2 ＝－a
4
＋1＋ln2＞0，函数有一个零点；
当 a＝－2 时，f′(x)≤0 恒成立，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，函数有一个零点；
当 a＜－2 时，x∈ 0，－1
a 或 x∈
1
2
，＋∞ 时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，x∈ －1
a
，1
2 时，f′
(x)＞0，f(x)为增函数，
此时 f
－1
a ＝－1
a
＋1＋ln(－a)＞0，函数有一个零点．
综上可得 0≤a＜4(1＋ln2)时，函数无零点；
a＜0 或 a＝4(1＋ln2)时，函数有一个零点；
a＞4(1＋ln2)时，函数有两个零点；
(2) 由 a＞0，且对于任意 x＞0，f(x)≥f(1)，则函数 f(x)在 x＝1 处取得最小值，
由 f′(x)＝2ax＋b－1
x
＝0 得－b＋ b2＋8a
4a
是 f(x)的唯一的极小值点，
故－b＋ b2＋8a
4a
＝1，整理得 2a＋b＝1 即 b＝1－2a.
令 g(x)＝2－4x＋lnx，则 g′(x)＝1－4x
x
，
令 g′(x)＝0，得 x＝1
4
，
当 0＜x＜1
4
时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当 x＞1
4
时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．
因此 g(x)≤g
1
4 ＝1＋ln1
4
＝1－ln4＜0，
故 g(a)＜0，即 2－4a＋lna＝2b＋lna＜0，即 lna＜－2b.
练习(七)
1. 解：(1) f(x)＝ 2
2 cos 2x＋π
4 ＋sin2x
＝1
2cos2x－1
2sin2x＋1
2(1－cos2x)
＝1
2
－1
2sin2x，
∴ 函数 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π.
(2) 当 x∈ 0，π
2 时，g(x)＝1
2
－f(x)＝1
2sin2x，
当 x∈ －π
2
，0 时，x＋π
2
∈ 0，π
2 ，
g(x)＝g x＋π
2 ＝1
2sin2 x＋π
2
＝－1
2sin2x；
当 x∈ －π，－π
2 时，x＋π∈ 0，π
2 ，
g(x)＝g(x＋π)＝1
2sin2(x＋π)＝1
2sin2x.
∴ g(x)在[－π，0]上的解析式为
g(x)＝
－1
2sin2x
－π
2
≤x≤0 ，
1
2sin2x
－π≤x＜π
2 .
2. (1) 证明：取 PD 中点 H，连结 MH、AH.
因为 M 为 PC 中点，所以 HM∥CD，HM＝1
2CD.
因为 AB∥CD，AB＝1
2CD，所以 AB∥HM，且 AB＝HM.
所以四边形 ABMH 为平行四边形，所以 BM∥AH.
因为 MB 平面 PAD，AH 平面 PAD，
所以 MB∥平面 PAD.
(2) 解：取 AD 中点 O，连结 PO.
因为 PA＝PD，所以 PO⊥AD.
因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，
PO 平面 PAD，所以 PO⊥平面 ABCD.
取 BC 中点 K，连结 OK，则 OK∥AB.
以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设 AB＝2，则 A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，4，0)，D(－1，0，0)，P(0，0， 3)，BC→ ＝(－
2，2，0)，PB→＝(1，2，－ 3)．
平面 BCD 的法向量OP→＝(0，0， 3)，设平面 PBC 的法向量 n＝(x，y，z)，
由
BC→ ·n＝0，
PB→·n＝0，
得
－2x＋2y＝0，
x＋2y－ 3z＝0.
令 x＝1，则 n＝(1，1， 3)．
cos〈OP→，n〉＝ OP→·n
|OP→||n|
＝ 15
5 .
由图可知，二面角 PBCD 是锐二面角，
所以二面角 PBCD 的余弦值为 15
5 .
(3) 在线段 PB 上不存在点 N，使得 DN⊥平面 PBC.
设点 N(x，y，z)，且PN
PB
＝λ，λ∈[0，1]，则PN→＝λPB→，
所以(x，y，z－ 3)＝λ(1，2，－ 3)，
则
x＝λ，
y＝2λ，
z＝ 3－ 3λ.
所以 N(λ，2λ， 3－ 3λ)，DN→ ＝(λ＋1，2λ， 3－ 3λ)．
若 DN⊥平面 PBC，则DN→ ∥n，
即λ＋1＝2λ＝ 3－ 3λ
3
，此方程无解，
所以在线段 PB 上不存在点 N，使得 DN⊥平面 PBC.
3. 解：(1) 如图，作 OH⊥AB 于点 H，交线段 CD 于点 E，连结 OA、OB，
∴ ∠AOB＝π
6
，
∴ AB＝2Rsin π
12
，OH＝Rcos π
12
，
OE＝DE＝1
2AB＝Rsin π
12
，
∴ EH＝OH－OE＝R cos π
12
－sin π
12
S＝AB·EH＝2Rsin π
12
·R cos π
12
－sin π
12
＝R2 2sin π
12cos π
12
－2sin2π
12
＝R2 sinπ
6
＋cosπ
6
－1 ＝ 3－1
2
R2.
(2) 设∠AOB＝θ 0＜θ＜π
2 ，
则 AB＝2Rsinθ
2
，OH＝Rcosθ
2
，OE＝1
2AB＝Rsinθ
2
，
∴ EH＝OH－OE＝R cosθ
2
－sinθ
2 ，
S＝AB·EH＝2Rsinθ
2
·R cosθ
2
－sinθ
2
＝R2 2sinθ
2cosθ
2
－2sin2θ
2
＝R2(sinθ＋cosθ－1)
＝R2 2sin θ＋π
4 －1 .
∵ θ∈ 0，π
2 ，
∴ θ＋π
4
∈
π
4
，3π
4 ，
∴ 当θ＋π
4
＝π
2
即θ＝π
4
时，Smax＝( 2－1)R2，
此时 A 在弧 MN 的四等分点处．
答：当 A 在弧 MN 的四等分点处时，Smax＝( 2－1)R2.
4. (1) 解：由题意可知 a2＝4，b2＝4
3
，∴ c2＝a2－b2＝8
3
，
∴ e＝c
a
＝ 6
3
，
∴ 椭圆 C 的离心率为 6
3 .
(2) 证明：若切线 l 的斜率不存在，则 l：x＝±1，在x2
4
＋3y2
4
＝1 中令 x＝1 得 y＝±1，
不妨设 A(1，1)，B(1，－1)，则OA→ ·OB→ ＝1－1＝0，
∴ OA⊥OB.
同理，当 l：x＝－1 时，也有 OA⊥OB.
若切线 l 的斜率存在，设 l：y＝kx＋m，
依题意 |m|
k2＋1
＝1，即 k2＋1＝m2，由 y＝kx＋m，
x2＋3y2＝4，
得
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－4＝0.显然Δ＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ 6km
3k2＋1
，x1x2＝3m2－4
3k2＋1
，
∴ y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，
OA→ ·OB→ ＝x1x2＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2
＝(k2＋1)3m2－4
3k2＋1
－km 6km
3k2＋1
＋m2
＝（k2＋1）（3m2－4）－6k2m2＋（3k2＋1）m2
3k2＋1
＝4m2－4k2－4
3k2＋1
＝4（k2＋1）－4k2－4
3k2＋1
＝0，
∴ OA⊥OB.
综上所述，总有 OA⊥OB 成立．
5. 解：(1) f′(x)＝1－lnx
x2
，则 f′(1)＝1.
∴ 函数 y＝f(x)在点(1，0)处的切线方程为 x－y－1＝0.
(2) 设 h(x)＝f（x）
x
＝lnx
x2 (x＞0)，则 h′(x)＝1－2lnx
x3 (x＞0)．
令 h′(x)＝1－2lnx
x3
＝0，解得 x＝ e.
当 x 在(0，＋∞)上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (0， e) e ( e，＋∞)
h′(x) ＋ 0 －
h(x) 极大值 1
2e
由上表可知，当 x＝ e时，h(x)取得最大值 1
2e
，
由已知对任意的 x＞0，k＞f（x）
x
＝h(x)恒成立，
所以 k 的取值范围是
1
2e
，＋∞
.
(3) 令 g(x)＝0 得 k＝f（x）
x
＝lnx
x2 .
由(1)知，h(x)＝lnx
x2
在
1
e
， e 上是增函数，在[ e，e2]上是减函数．
且 h
1
e ＝－e2，h( e)＝ 1
2e
，h(e2)＝2
e4
，
当2
e4
≤k＜ 1
2e
时，函数 g(x)在
1
e
，e2
上有两个零点．
6. 解：(1) ∵ 数列{an}，{bn}都为递增数列，
∴ 由递推式可得 an＋1－an＝2，b2＝－2b1，bn＋2＝2bn＋1，n∈N*，
则数列{an}为等差数列，数列{bn}从第二项起构成等比数列．
∴ an＝2n－1，bn＝
－1，n＝1，
2n－1，n≥2.
(2) ① ∵ 数列{an}满足：存在唯一的正整数 k＝5，使得 ak＋1＜ak，且|an＋1－an|＝2，
∴ 数列{an}必为 1，3，5，7，9，7，9，11，…，即前 5 项为首项为 1，公差为 2 的等差数列，
从第 6 项开始为首项 7，公差为 2 的等差数列，
故 Sn＝ n2，n≤5，
n2－4n＋20，n≥6.
② ∵ |bn＋1
bn
|＝2，即 bn＋1＝±2bn，
∴ |bn|＝2n－1.
而数列{bn}为“坠点数列”且 b1＝－1，
∴ 数列{bn}中有且只有两个负项．
假设存在正整数 m，使得 Sm＋1＝Tm，显然 m≠1，且 Tm 为奇数，而{an}中各项均为奇数，∴ m
必为偶数．
首先证明：m≤6.
若 m＞7，数列{an}中(Sm＋1)max＝1＋3＋…＋(2m＋1)＝(m＋1)2，
而数列{bn}中，bm 必然为正，否则 Tm＝－1＋b2＋…＋(－2m－1)≤－1＋21＋…＋2m－2＋(－2m－1)
＝－3＜0，显然矛盾；
∴ (Tm)min＝－1＋21＋…＋2m－3＋(－2m－2)＋2m－1＝2m－1－3.
设 cm＝2m－1－(m＋1)2－3，
设 dm＝cm＋1－cm＝2m－1－2m－3，
而 dm＋1－dm＝2m－1－2＞0(m＞7)，
∴ {dm}(m＞7)为递增数列，且 d7＞0，则{cm}(m＞7)为递增数列，而 c8＞0，
∴ (Tm)min＞(Sm)max，即 m≤6.
当 m＝6 时，构造：{an}为 1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}为－1，2，4，8，－16，32，64，…
此时 p＝2，q＝4.
∴ mmax＝6，对应的 p＝2，q＝4.
练习(八)
1. 解：(1) 由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝5
3sinA，
即 sinB(sin2A＋cos2A)＝5
3sinA，
故 sinB＝5
3sinA，所以b
a
＝5
3.
(2) 设 b＝5t(t>0)，则 a＝3t，
于是 c2＝a2＋8
5b2＝9t2＋8
5
·25t2＝49t2，即 c＝7t.
由余弦定理得 cosC＝a2＋b2－c2
2ab
＝9t2＋25t2－49t2
2·3t·5t
＝－1
2
，
所以 C＝2π
3
.
2. 证明：(1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，AD 平面 ABC，∴ AD⊥CC1.
∵ AD⊥DE，且 DE∩CC1＝E，∴ AD⊥平面 B1BCC1.
(2) 根据(1)得 AD⊥平面 B1BCC1，
∵ BC 平面 B1BCC1，∴ AD⊥BC.
在△ABC 中，AB＝AC，∴ D 为 BC 的中点．
连结 DF，得 DF∥AA1，且 DF＝AA1，即四边形 AA1FD 为平行四边形，∴ A1F∥AD.
∵ AD 平面 ADE，A1F 平面 ADE，∴ A1F∥平面 ADE.
3. 解：(1) ∵ 对任意 n∈N*，都有 Sn＝3
2an－n(n∈N*)，且 S1＝a1，∴ a1＝S1＝3
2a1－1，得 a1＝
2.
当 n≥2 且 n∈N*时，有 an＝Sn－Sn－1＝
3
2an－n －
3
2an－1－（n－1） ＝3
2an－3
2an－1－1，即 an－3an
－1＝2，
∴ an＋1＝3(an－1＋1)，由此表明{an＋1}是以 a1＋1＝3 为首项，3 为公比的等比数列．∴ an＋1
＝3·3n－1＝3n，∴ an＝3n－1，故数列{an}的通项公式为 an＝3n－1.
(2) an
an＋1
＝ 3n－1
3n＋1－1
＝1
3
－ 2
9·3n－3
＝1
3
－ 2
8·3n＋3n－3
≥1
3
－ 2
8·3n
，
∴ a1
a2
＋a2
a3
＋a3
a4
＋…＋ an
an＋1
≥n
3
－1
4(1
3
＋ 1
32
＋…＋ 1
3n)＝n
3
－1
8
1－ 1
3n ＞n
3
－1
8.
4. 解：(1) f′(x)＝a（1－x）
x
(x>0)，
当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(0，1]，单调减区间为[1，＋∞)；
当 a<0 时，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，单调减区间为(0，1]．
当 a＝0 时，f(x)不是单调函数．
(2) f′(2)＝－a
2
＝1 得 a＝－2，f(x)＝－2lnx＋2x－3，
∴ g(x)＝x3＋
m
2
＋2 x2－2x，
∴ g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵ g(x)在区间(1，3)上不单调，且 g′(0)＝－2，
∴ g′（1） <0，
g′（3） >0，
解得－37
3 f(1)，
即－ln x＋x－1>0，
∴ ln x0，∴ b1＝3.
当 n≥2 时，4Sn＝b2n＋2bn－3 ①，
4Sn－1＝b2n－1＋2bn－1－3 ②，
①－②得，4bn＝b2n－b2n－1＋2bn－2bn－1，(bn－bn－1－2)·(bn＋bn－1)＝0，∵ bn>0，∴ bn－bn－1＝2，
∴ {bn}是首项为 3，公差为 2 的等差数列．故 bn＝2n＋1.
(2) cn＝ 1
（2an＋5）bn
＝ 1
（6n－3）（2n＋1）
＝1
6
1
2n－1
－ 1
2n＋1 ，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1
6[(1
1
－1
3)＋(1
3
－1
5)＋(1
5
－1
7)＋…＋( 1
2n－1
－ 1
2n＋1)]＝1
6(1－ 1
2n＋1)．
∵ Tn＝ n
3（2n＋1），Tn＋1＝ n＋1
3（2n＋3）
，
∴ Tn
Tn＋1
＝ （2n＋3）n
（n＋1）（2n＋1）
＝ 2n2＋3n
2n2＋3n＋1
＝1－ 1
2n2＋3n＋1
，
令 f(x)＝1－ 1
2x2＋3x＋1
，则当 x>0 时，f′(x)＝ 4x＋3
（2x2＋3x＋1）2
＞0，
∴
Tn
Tn＋1 为递增数列，∴ Tn
Tn＋1
≥T1
T2
＝5
6.
又 Tn
Tn＋1
≥ am
am＋1
对 n∈N*恒成立，故 am
am＋1
＝3m－4
3m－1
≤5
6
，
解得 m≤19
3
，
∴ 正整数 m 的最大值为 6.
练习(十一)
1. 解：(1) f(x)＝ 3
2 sinx
2
＋
1＋cosx
2
2
＝sin
x
2
＋π
6 ＋1
2.
由 f(θ)＝sin
θ
2
＋π
6 ＋1
2
＝1 知，
sin
θ
2
＋π
6 ＝1
2
，
∴ cos
2
3π－θ ＝cos π－
π
3
＋θ
＝－cos
π
3
＋θ ＝－ 1－2sin2
θ
2
＋π
6
＝－ 1－2·
1
2
2
＝－1
2.
(2) 由 2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C
知 2sin Acos B＝sin (B＋C)＝sin A，∴ cos B＝1
2.
∵ B∈(0，π)，∴ B＝π
3
，A∈ 0，2π
3 ，
∴ f(A)＝sin
A
2
＋π
6 ＋1
2.
∴ π
60，得 x∈ 0，1
e ，所以函数 f(x)在 0，1
e 上单调递增．
令 f′(x)<0，得 x∈
1
e
，＋∞ ，所以函数 f(x)在
1
e
，＋∞ 上单调递减．
所以，f(x)max＝f
1
e ＝－e·1
e
＋ln1
e
＝－2.
所以 f(x)＋2≤0 成立．
(ⅱ) 由(ⅰ)知， f(x)max＝－2, 所以|f(x)|≥2.
设 g(x)＝lnx
x
＋3
2
，x∈(0，＋∞)，所以 g′(x)＝1－lnx
x2 .
令 g′(x)＝0，得 x＝e.
令 g′(x)>0，得 x∈(0，e)，所以函数 g(x)在(0，e)上单调递增，
令 g′(x)<0，得 x∈(e，＋∞)，所以函数 g(x)在(e，＋∞)上单调递减；
所以，g(x)max＝g(e)＝lne
e
＋3
2
＝1
e
＋3
2<2, 即 g(x)<2.
所以|f(x)|>g(x) ，即|f(x)|>lnx
x
＋3
2.
所以，方程|f(x)|＝lnx
x
＋3
2
没有实数解．
练习(十二)
1. 解：(1) f(x)＝ 3sinxcosx＋cos2x＝ 3
2 sin2x＋1
2cos2x＋1
2
＝sin 2x＋π
6 ＋1
2.
所以 T＝2π
2
＝π.
令 2kπ－π
2
≤2x＋π
6
≤2kπ＋π
2
(k∈Z)，得 kπ－π
3
≤x≤kπ＋π
6
(k∈Z)．
所以 f(x)的最小正周期为π，单调增区间为[kπ－π
3
，kπ＋π
6
](k∈Z)．
(2) 因为－π
2
≤x≤0，所以－5π
6
≤2x＋π
6
≤π
6
，因此，当 2x＋π
6
＝－π
2
，即 x＝－π
3
时，f(x)
的最小值为－1
2
；当 2x＋π
6
＝π
6
，即 x＝0 时，f(x)的最大值为 1.
2. 证明：(1) 连结 OD.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，
因为 AB＝AA1，所以四边形 AA1B1B 为正方形，
所以 O 为 A1B 中点．
因为 D 为 BC 中点，
所以 OD 为△A1BC 的中位线，所以 OD∥A1C.
因为 A1C 平面 AB1D，OD 平面 AB1D，
所以 A1C∥平面 AB1D.
(2) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，因为 AC⊥AB，AC⊥AA1，AA1∩AB＝A，所以 AC⊥平面
AA1B1B，所以 AC⊥A1B.
在正方形 AA1B1B 中，A1B⊥AB1，AC∩AB1＝A，
所以 A1B⊥平面 AB1C.
(3) 存在．取 B1C 中点 E，连结 DE，AE.所以 DE∥BB1.
所以 DE⊥BC.
因为 AB＝AC，D 为 BC 中点，所以 AD⊥BC.
因为 AD∩DE＝D，所以 BC⊥平面 ADE.
所以 BC⊥AE.
所以当 E 为 B1C 中点时，BC⊥AE.
3. 解：(1) 对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，由图象知 A＝8 3
3
，ω＝2π
T
＝ 2π
4·（8－5）
＝π
6
.将
B 5，8 3
3 代入到 y＝8 3
3
·sin(π
6
x＋φ)中，得5π
6
＋φ＝2kπ＋π
2
(k∈Z)．
又|φ|＜π
2
，所以φ＝－π
3
.故 y＝8 3
3 sin
π
6
x－π
3 .
(2) 在 y＝8 3
3 sin
π
6
x－π
3 中，令 x＝4，得 D(4，4)，所以曲线 OD 的方程为 y2＝4x(0≤x≤4)．
设点 P
t2
4
，t (0≤t≤4)，则矩形 PMFE 的面积为 S＝ 4－t2
4 t(0≤x≤4)．S′＝4－3t2
4
，由 S′＝0，得
t＝4 3
3 .当 t∈ 0，4 3
3 时，S′＞0，则 S 单调递增；当 t∈
4 3
3
，4 时，S′＜0，则 S 单调递减．所
以当 t＝4 3
3
时，S 最大，此时点 P 的坐标为
4
3
，4 3
3 .
4. 解：(1) f(x)＝x2－ax＋lnx，a∈R.定义域为(0，＋∞)，
导数 f′(x)＝2x－a＋1
x
，a∈R.依题意，f′(1)＝0.
所以 f′(1)＝3－a＝0，解得 a＝3.
(2) a＝3 时，f(x)＝lnx＋x2－3x，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1
x
＋2x－3＝1＋2x2－3x
x
，
当 0＜x＜1
2
或 x＞1 时，f′(x)＞0，
当1
2
＜x＜1 时，f′(x)＜0，
故 f(x)的单调递增区间为 0，1
2 ，(1，＋∞)，单调递减区间为
1
2
，1 .
(3) 由 f(x)＞0，得 a＜lnx＋x2
x
在 x＞1 时恒成立，
令 g(x)＝lnx＋x2
x
，则 g′(x)＝1＋x2－lnx
x2 .
令 h(x)＝1＋x2－lnx，则 h′(x)＝2x－1
x
＝2x2－1
x
，
所以 h(x)在(1，＋∞)上为增函数，h(x)＞h(1)＝2＞0.
故 g′(x)＞0，故 g(x)在(1，＋∞)上为增函数，即有 g(x)＞g(1)＝1，
所以 a≤1，即实数 a 的取值范围为(－∞，1]．
5. 解：(1) 设点 N(0，n)，则 MN 的中点为 －1
2
，n
2 ，
∴
－1
2
2
4
＋
n
2
n
3
＝1，解得 n＝±3
2 5，
所以直线 l 的方程为 y＝±3
2 5(x＋1)．
(2) 假设在 x 轴上存在点 P，使得△PAB 为等边三角形．
设直线 l 为 x＝ty－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x＝ty－4，
3x2＋4y2＝12，
∴ (3t2＋4)y2－24ty＋36＝0，
∴ y1＋y2＝ 24t
3t2＋4
，y1y2＝ 36
3t2＋4
，Δ＝144(t2－4)＞0，
∴ AB 中点为
－16
3t2＋4
， 12t
3t2＋4 ，
∴ AB 的中垂线为 y－ 12t
3t2＋4
＝－t
x＋ 16
3t2＋4 ，
∴ 点 P 为
－ 4
3t2＋4
，0 ，
∴ P 到直线 l 的距离 d＝
|2t2＋12
3t2＋4
|
t2＋1
＝12 t2＋1
3t2＋4
.
∵ |AB|＝12 t2－4
3t2＋4
1＋t2，
∴ 12 t2＋1
3t2＋4
＝ 3
2
·12 t2－4
3t2＋4
1＋t2，
∴ t＝±4 3
3 .
∴ 存在点 P
－1
5
，0 使△PAB 为等边三角形．
6. 解：(1) 由 an＝2an－1＋2n(n≥2 且 n∈N*)，得an
2n
＝an－1
2n－1
＋1，即
an
2n 是首项为1
2
，公差 d＝1 的等
差数列．则an
2n
＝1
2
＋(n－1)＝n－1
2
，数列{an}的通项公式 an＝(2n－1)·2n－1.
(2) ∵ an＝(2n－1)·2n－1，
∴ Sn＝1·20＋3·21＋5·22＋…＋(2n－1)·2n－1，
2Sn＝1·21＋3·22＋…＋(2n－1)·2n.
两式相减得－Sn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n
＝1＋22（1－2n＋1）
1－2
－(2n－1)·2n＝－3＋(3－2n)·2n，
∴ Sn＝(2n－3)·2n＋3.
(3) ∵ bn＝Sn－3
3n
，∴ bn＝(2n－3)·
2
3
n
，
由 bn≥bn＋1，
bn≥bn－1，
即
（2n－3）·
2
3
n
≥（2n－1）·
2
3
n＋1
，
（2n－3）·
2
3
n
≥（2n－5）·
2
3
n－1
，
解得7
2
≤n≤9
2
，即 n＝4，即数列{bn}的最大项为 b4＝80
81.
练习(十三)
1. 解：(1) 由(2b－c)cosA＝acosC，得 2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，
得 2sinBcosA＝sin(A＋C)，所以 2sinBcosA＝sinB.
因为 0＜B＜π，所以 sinB≠0，所以 cosA＝1
2.
因为 0＜A＜π，所以 A＝π
3
.
(2) 因为 b＝2c，
所以 cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝4c2＋c2－9
4c2
＝1
2
，解得 c＝ 3.
因为 b＝2 3.
所以 S△ABC＝1
2bcsinA＝1
2
×2 3× 3× 3
2
＝3 3
2 .
2. (1) 证明：设 EC 与 DF 交于点 N，连结 MN，
在矩形 CDEF 中，点 N 为 EC 中点，
∵ M 为 EA 中点，∴ MN∥AC.
∵ AC 平面 MDF，MN 平面 MDF，
∴ AC∥平面 MDF.
(2) 取 CD 中点为 G，连结 BG，EG，
平面 CDEF⊥平面 ABCD，平面 CDEF∩平面 ABCD＝CD，
AD 平面 ABCD，AD⊥CD，
∴ AD⊥平面 CDEF，同理 ED⊥平面 ABCD，
∴ ED 的长即为四棱锥 EABCD 的高．
在梯形 ABCD 中 AB＝1
2CD＝DG，AB∥DG，
∴ 四边形 ABGD 是平行四边形，BG∥AD，
∴ BG⊥平面 CDEF.
又 DF 平面 CDEF，∴ BG⊥DF.
又 BE⊥DF，BE∩BG＝B，∴ DF⊥平面 BEG，DF⊥EG.
由 Rt△DEG∽Rt△EFD，∴ DE2＝DG·EF＝8，DE＝2 2，
∴ VE ABCD＝1
3SABCD·ED＝4 2.
3. 解：(1) f(t)＝－ 3
20(t－20)2＋60，0≤t≤40，t∈N.
(2) φ(t)＝
－ 3
10
（t－20）2·t＋120t，0≤t≤30，t∈N，
60
－ 3
20
（t－20）2＋60 ，30＜t≤40，t∈N.
① 当 0≤t≤30 时，令φ′(t)＝－ 9
10t2＋24t＝0 得 t＝80
3
，
当 t∈ 0，80
3 时，φ′(t)＞0，当 t∈
80
3
，30 时，φ′(t)＜0，但 t＝80
3 N*，当 t＝26 时，φ(26)
＝2 839.2，当 t＝27 时，φ(27)＝2 843.1；
② 当 30＜t≤40 时，φ(t)＜φ(30)＝2 700.
故第 27 天销售利润最大，最大利润是 2 843.1 万元．
4. 解：(1) 由 4Sn＝a2n＋2an＋1， ①
得 n≥2 时，4Sn－1＝a2n－1＋2an－1＋1， ②
∴ 由①－②得，n≥2 时，4an＝a2n＋2an－a2n－1－2an－1，
∴ a2n－a2n－1＝2(an＋an－1)，
∴ an＞0，∴ an＋an－1＞0，
∴ an－an－1＝2，
则数列{an}为等差数列，其公差 d＝2.
又由 4S1＝a21＋2a1＋1，得 a1＝1.
∴ an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2) 由(1)知 an＝2n－1，得 bn＝ log2
2n－1＋3
2 ＝[log2(n＋1)]，
由符号[x]的定义知，
b2＝[log23]＝1，b4＝[log25]＝2，…，
∴ b2n＝[log2(2n＋1)]＝n.
∴ Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n， ③
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1， ④
由③－④，得
－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝2（1－2n）
1－2
－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴ Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.
5. (1) 解：由已知得3
a2
＋ 1
4b2
＝1， ①
又 e＝ 3
2
，所以a2－b2
a2
＝3
4
，即 a2＝4b2， ②
由①②得 a2＝4，b2＝1，
所以曲线 C1 的方程为x2
4
＋y2＝1(y≥0)．
从而 A(－2，0)，
所以曲线 C2 的方程为 x2＋y2＝4(y＜0)．
(2) 解：由(1)知 A(－2，0)，B(0，1)，
所以 AB 直线方程为 x－2y＋2＝0.
由题意知，当曲线 C2 在点 Q 上的切线与直线 AB 平行时，
△QAB 的面积最大．
设切线方程为 x－2y＋t＝0，
由直线与圆相切得 |t|
5
＝2，所以 t＝－2 5或 t＝2 5(舍去)，
此时△QAB 的高为 h＝|2－（－2 5）|
5
＝2＋2 5
5
，
所以(S△QAB)max＝1
2|AB|·h＝1
2
× 5× 2＋2 5
5 ＝ 5＋1.
所以△QAB 面积的最大值为 5＋1.
(3) 证明：由题意得 k≠0，F( 3，0)，N
－m
k
，0 ，
设 M(x0，y0)，由
y＝kx＋m，
x2
4
＋y2＝1，得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
又直线 l 与曲线 C1 相切于 M，
所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝0，即 m2＝4k2＋1，
x0＝1
2
×
－ 8km
1＋4k2 ＝－ 4km
1＋4k2
，y0＝kx0＋m＝ m
1＋4k2
，
所以 M
－ 4km
1＋4k2
， m
1＋4k2 ，即 M
－4k
m
，1
m ，
从而 kOM＝－ 1
4k
，
所以 P
4 3
3
，－ 3
3k ，
所以FM→ ＝ －4k
m
－ 3，1
m ＝1
m(－4k－ 3m，1)，
NP→＝
m
k
＋4 3
3
，－ 3
3k ＝－ 3
3k(－4k－ 3m，1)，
所以FM→ ＝－ 3k
m NP→，
所以 MF∥PN.
6. 解：(1) 由题意得 x∈(0，＋∞)，
当 a＝－1 时，f(x)＝x2－x－lnx，f′(x)＝2x2－x－1
x
＝（x－1）（2x＋1）
x
，
∴ x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴ f(x)的单调减区间是(0，1)，单调增区间是[1，＋∞)．
(2) ① 当 a＝0 时，f(x)＝x2＞0，显然符合题意；
② 当 a＞0 时，当 0＜x＜e－1－1
a
＜1 时，
f(x)＜1＋a＋alnx＜1＋a＋a
－1－1
a ＝0＜1
2(e＋1)a，不符合题意；
③ 当 a＜0 时，则 f′(x)＝2x2＋ax＋a
x
，
对于 2x2＋ax＋a＝0，Δ＝a2－8a＞0，
∴ 该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在 x0∈(0，＋∞)，使得 2x20＋ax0＋a＝0，即 f′(x0)
＝0，
∴ 0＜x＜x0 时，f′(x)＜0，x＞x0 时，f′(x)＞0，
∴ f(x)min＝f(x0)＝x20＋a(x0＋lnx0)＝x20＋1
2ax0＋1
2a＋1
2a[(x0－1)＋2lnx0]＝1
2a[(x0－1)＋2lnx0]．
∵ f(x)＞1
2(e＋1)a，
∴ x0＋2lnx0－(e＋2)＜0，∴ 0＜x0＜e.
由 2x20＋ax0＋a＝0，得 a＝－ 2x20
x0＋1
.
设 y＝－ 2x20
x0＋1
，y′＝－ 2x20＋4x0
（x0＋1）2
＜0，
∴ 函数 y＝－ 2x20
x0＋1
在(0，e)上单调递减，
∴ － 2x20
x0＋1
∈
－ 2e2
e＋1
，0
.
综上所述，实数 a 的取值范围是
－ 2e2
e＋1
，0
.
练习(十四)
1. 解：(1) ∵ b2＋c2＝3＋bc，a＝ 3，
∴ b2＋c2－a2＝bc，∴ cosA＝b2＋c2－a2
2bc
＝1
2.
又∠A 是△ABC 的内角，故 A＝π
3
.
(2) ∵ b2＋c2＝3＋bc≥2bc，∴ bc≤3，故 S△ABC＝1
2bcsinA≤3 3
4
，故 bsinC＝
1
2absinC
1
2a
＝2S
3
≤ 2
3
×
3 3
4
＝3
2
，当且仅当 b＝c 时取得最大值．
2. 证明：(1) 因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AD∥BC，AD＝BC.
又 BC∥EF，BC＝1
2EF，
所以 AD∥EF，AD＝1
2EF.
因为 G 是 EF 的中点，
所以 AD∥EG 且 AD＝EG，
所以四边形 ADEG 为平行四边形，
所以 DE∥AG.
而 AG 平面 ACG，DE 平面 ACG，
所以 DE∥平面 ACG.
(2) 因为 AB⊥平面 BCEF，
而 CG 平面 BCEF，所以 AB⊥CG.
因为 BC∥EG，BC＝EG，且 BC＝CE，
所以四边形 BCEG 为菱形，
所以 BF⊥CG.
又 AB∩BE＝B，所以 CG⊥平面 ABE.
3. 解：(1) 连结 OB，因为 AB＝x，所以 OA＝ 9－x2.
设圆柱底面半径为 r，则 9－x2＝2πr，即 4π2r2＝9－x2，
所以 V＝πr2x＝π·9－x2
4π2
·x＝9x－x3
4π
，其中 00(n∈N*)，所以 q>0.从而 q＝1
2.
故数列{an}的通项公式为 an＝1
2
·
1
2
n－1
＝
1
2
n
.
(2) bn＝3an＋2n－7＝ 3
2n
＋2n－7.
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝
3
2
＋ 3
22
＋ 3
23
＋…＋ 3
2n ＋2(1＋2＋3＋…＋n)－7n＝3·
1
2
－ 1
2n
·1
2
1－1
2
＋n(n＋1)
－7n
＝n2－6n＋3－ 3
2n
＝(n－3)2－6－ 3
2n.
当 n≥3 时，因为(n－3)2－6 和－ 3
2n
都是关于 n 的增函数，
所以，当 n≥3 时，Tn 是关于 n 的增函数，即 T3＜T4＜T5＜….
因为 T1＝－7
2
＝－28
8
，T2＝－23
4
＝－46
8
，T3＝－51
8
，所以 T1＞T2＞T3；
于是(Tn)min＝T3＝－51
8 .
5. 解：(1) f′(x)＝a（ex＋1）－axex
（ex＋1）2
－be－x，
依题意 f(0)＝1，f′(0)＝－1
2
，解得 a＝b＝1.
(2) 由(1)可知 f(x)＝ x
ex＋1
＋e－x，代入 f(x)> x
ex－1
＋ke－x 得 x
ex＋1
＋e－x> x
ex－1
＋ke－x 即 1－k> 2x
ex－e－x.
因为当 x>0 时，ex－e－x>0，x<0 时，ex－e－x<0，
所以 2x
ex－e－x>0，
所以 1－k>0 即（1－k）
ex－e－x
ex－e－x－ 2x
1－k >0.
令 2
1－k
＝t，设 g(x)＝ex－e－x－tx 则 t>0，
又 g′(x)＝ex＋e－x－t.
(ⅰ) 当 00 时，g(x)>g(0)＝0，又此时 ex－e－x>0，1－k>0，
所以（1－k）
ex－e－x
ex－e－x－ 2x
1－k >0，即 f(x)> x
ex－1
＋ke－x 成立．
② 当 x<0 时，g(x)0，
所以（1－k）
ex－e－x
ex－e－x－ 2x
1－k >0，即 f(x)> x
ex－1
＋ke－x 成立．
因此当 k≤0 时，当 x≠0 时，都有 f(x)> x
ex－1
＋ke－x 成立，符合题意．
(ⅱ) 当 t>2 即 02，所以 x2>0，x1＝－x2<0，
当 x∈(0，x2)时 g′(x)<0，所以 g(x)在(0，x2)上递减，所以 g(x)0，1－k>0，
所以（1－k）
ex－e－x
ex－e－x－ 2x
1－k <0，即 f(x)< x
ex－1
＋ke－x 与 f(x)> x
ex－1
＋ke－x 矛盾，所以不符合题
意．
综上可知，k 的取值范围是 k≤0.
6. (1) 解：∵ e＝ 3
2
，∴ c＝ 3
2 a，∴ b＝1
2a，∴ a＝2b.
又椭圆过点(2 3，1)，∴ 12
4b2
＋ 1
b2
＝1，解得 a2＝16，b2＝4，
∴ 椭圆方程为x2
16
＋y2
4
＝1.
(2) 证明：由(1)知 B(－4，0)，c(0，2)，
故直线 BC 的方程为 y＝1
2x＋2，
因为直线 AP 的斜率为 k，点 A(4，0)，
所以直线 AP 的方程为 y＝k(x－4)，
与椭圆方程联立，整理可得(4k2＋1)x2－32k2x＋64k2－16＝0.
又点 P(xP，yP)在椭圆上，故有 4·xP＝64k2－16
4k2＋1
，
∴ xP＝16k2－4
4k2＋1
，yP＝k
16k2－4
4k2＋1
－4 ＝ －8k
4k2＋1
，
∴ P
16k2－4
4k2＋1
， －8k
4k2＋1 .
故直线 CP 的方程为 y＝
2＋ 8k
4k2＋1
0－16k2－4
4k2＋1
＋2，即 y＝ 1＋2k
2（1－2k）x＋2.
又点 E 为直线 CP 与 x 轴交点，令 y＝0 得 x＝8k－4
2k＋1
，
∴ E
8k－4
2k＋1
，0
.
将直线 BC 与直线 AP 联立可得
y＝1
2x＋2，
y＝k（x－4），
解得
x＝8k＋4
2k－1
，
y＝ 8k
2k－1
.
∴ D
8k＋4
2k－1
， 8k
2k－1 .
故直线 DE 的斜率为
k1＝
8k
2k－1
－0
8k＋4
2k－1
－8k－4
2k＋1
＝2k（2k＋1）
8k
＝1
4(2k＋1)＝1
2
k＋1
2 ，
即 2k1＝k＋1
2.
练习(十五)
1. 解：(1) m＝ sinx，1
2 ，n＝ cosx，cos 2x＋π
6 ，
f(x)＝m·n＋3
2
＝ sinx，1
2 · cosx，cos 2x＋π
6 ＋3
2
＝sinxcosx＋1
2cos 2x＋π
6 ＋3
2
＝3
2
＋1
2sin 2x＋π
3 ，
函数的单调递增区间 2kπ－π
2
≤2x＋π
3
≤2kπ＋π
2
，kπ－5π
12
≤x≤kπ＋π
12
，k∈Z，
所以单调递增区间为 kπ－5π
12
，kπ＋π
12 ，k∈Z.
(2) 由 f(C)＝3
2
可得 f(C)＝3
2
＋1
2sin 2C＋π
3 ＝3
2
，
∴ sin 2C＋π
3 ＝0，∴ 2C＋π
3
＝π或 2C＋π
3
＝2π，可得 C＝π
3
或 C＝5π
6
(舍去)．
∵ C＝π
3
，c＝ 3，∴ a
sinA
＝ b
sinB
＝ c
sinC
＝ 3
3
2
＝2，
∴ a＝2sinA，b＝2sinB.
a－1
2b＝2sinA－sinB＝2sinA－sin
2π
3
－A
＝2sinA－sin2π
3
cosA＋cos2π
3
sinA＝3
2sinA－ 3
2 cosA
＝ 3sin A－π
6 ，
∵
0＜A＜π
2
，
0＜2π
3
－A＜π
2
，
∴ π
6
＜A＜π
2
，0＜A－π
6
＜π
3
，
则 0＜ 3sin A－π
6 ＜3
2
，
故 a－1
2b 的取值范围为 0，3
2 .
2. (1) 证明：连结 BC1，交 B1C 于 E，连结 ME.
因为直三棱柱 ABCA1B1C1，M 是 AB 中点，所以侧面 BB1C1C 为矩形，ME 为△ABC1 的中位线，
所以 ME∥AC1.
因为 ME 平面 B1CM, AC1 平面 B1CM，
所以 AC1∥平面 B1CM.
(2) 解：因为 S△ABC＝1
2BA·BCsin∠ABC，S△MBC＝1
2BM·BCsin∠MBC，
所以 VB1BCM＝1
3
·1
2BM·BCsin∠ABC·B1B，
VABC1A1B1C1＝1
2BA·BCsin∠ABC·B1B，
由 VB1BCM＝1
9VABC1A1B1C1，
得 BM＝1
3BA.∵ AC⊥BC，∴ 在 Rt△ACB 中，
BA＝ AC2＋BC2＝5，所以 BM＝5
3.
当 BM 长为5
3
时，三棱锥 B1BCM 的体积是三棱柱 ABCA1B1C1 的体积的1
9.
3. 解：设销量为 x.
A 方式的利润为(56－30)x－5 000，
B 方式的利润为(48－30)x.
① 若(56－30)x－5 000＞(48－30)x，解得 x>625；
② 若(56－30)x－5 000＝(48－30)x，解得 x＝625；
③ 若(56－30)x－5 000＜(48－30)x，解得 x＜625.
综上可得：销量为 625 时，A、B 两种任选；销量小于 625 时，选 B 种；销量大于 625 时，选 A
种．
4. 解：(1) 因为椭圆 C 的焦点为 F1(0，3)，
∴ b2＝a2＋9，则椭圆 C 的方程为x2
a2
＋ y2
a2＋9
＝1.
∵ M(x，4)(x＞0)为椭圆 C 上一点，△MOF1 的面积为3
2
，
∴ 1
2
×3×x＝3
2
，∴ x＝1，∴ M(1，4)．
代入椭圆 C 的方程x2
a2
＋ y2
a2＋9
＝1，可得1
a2
＋ 16
a2＋9
＝1；
∴ a4－8a2－9＝0，∴ a2＝9，
∴ 椭圆 C 的方程为x2
9
＋y2
18
＝1.
(2) 假设存在符合题意的直线 l，设直线方程为 y＝4x＋m，代入椭圆方程，消去 y，可得 18x2
＋8mx＋m2－18＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8m
18
，x1x2＝m2－18
18
，
∵ 以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点，∴ OA→ ·OB→ ＝0，
∴ x1x2＋y1y2＝0.∴ x1x2＋16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝0.
∴ 17×m2－18
18
－4m×8m
18
＋m2＝0，∴ m＝± 102.
此时Δ＝64m2－72(m2－18)＞0，
∴ 直线方程为 y＝4x± 102.
5. (1) 解：a4＝2，a5＝1.
(2) 证明：ak＝1(k∈N*)，假设 ak＋1＝m，
① 当 m＝1 时，依题意有 ak＋2＝ak＋3＝…＝1；
② 当 m>1 时，依题意有 ak＋2＝m，ak＋3＝1；
③ 当 m<1 时，依题意有 ak＋2＝1
m
，ak＋3＝ 1
m2
，ak＋4＝1
m
，ak＋5＝1
m
，ak＋6＝1.
由以上过程可知：若 ak＝1(k∈N*)，在无穷数列{an}中，第 k 项后总存在数值为 1 的项，以此
类推，数列{an}中有无穷项为 1.
(3) 证明：由条件可知 an>1(n＝1，2，3，…)，
因为{an}中任何一项不等于 1，所以 an≠an＋1(n＝1，2，3，…)．
① 若 a2n－1>a2n，则 bn＝a2n－1.
因为 a2n＋1＝a2n－1
a2n
，所以 a2n－1>a2n＋1.
若a2n－1
a22n
>1，则 a2n＋2＝a2n－1
a22n
a2n＋2；
若a2n－1
a22n
<1，则 a2n＋2＝ a2n
a2n－1
a2n
＝ a22n
a2n－1
＝ a2n
a2n－1
·a2na2n＋2；
若a2n－1
a22n
＝1，则 a2n＋2＝1，于题意不符；
所以 a2n－1>max{a2n＋1，a2n＋2}，即 bn>bn＋1.
② 若 a2n－1a2n＋1；
因为 a2n＋2＝ a2n
a2n＋1
，所以 a2n>a2n＋2；
所以 a2n>max{a2n＋1，a2n＋2}，即 bn>bn＋1.
综上所述，对于一切正整数 n，总有 bn>bn＋1，所以数列{bn}是单调递减数列．
6. 解：(1) 若 k＝1，函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}，f′(x)＝ex（3－x2）
（1－x）2 .
则曲线 y＝f(x)在点(0，f（0）)处切线的斜率为 f′(0)＝3.
而 f(0)＝1，则曲线 y＝f(x)在点(0，f（0）)处切线的方程为 y＝3x＋1.
(2) 函数 f(x)的定义域为{x|x≠k}，
f′(x)＝ex（2k＋k2－x2）
（k－x）2 .
① 当 k>0 时，由 x≠k，且此时 k2＋2k>k，可得－ k2＋2k k2＋2k，函数 f(x)为减函数；
令 f′(x)>0，解得－ k2＋2kk.
令 f′(x)<0，解得 x<－ k2＋2k或 x> k2＋2k，但 x≠k，所以当 x k2＋2k
时，函数 f(x)为减函数；
令 f′(x)>0，解得－ k2＋2k
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