湖南省湘东九校2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题 Word版含答案 14页

数学试题 湘东九校2019-2020学年高二下学期期末联考 数学试题 试卷满分：150分 考试时量：120分钟 班级：________ 姓名：________ 考号：‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数，则在复平面上对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高.若某斜三棱柱的底面是边长为4正三角形，侧棱长为4（单位：），侧棱与底面所成的角为60°，则该柱体的体积（单位：）是（ ）‎ A. 24 B. C. D. ‎ ‎5. 函数的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6. 某保密单位有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和，若在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知函数，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 是边长为的正三角形，是的中心，则（ ）‎ A. 2 B. ﹣2 C. D. ‎ ‎9. 已知函数，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 如图所示，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若 且的面积为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎11. 如图，在平行四边形中，满足，，若将其沿折成二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有12个整数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上.‎ ‎13. 若展开式的常数项为160，则_______.‎ ‎14. 已知数列满足，，且数列为等比数列，则的值为________.‎ ‎15.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了8门校本课程，其中艺术类课程5门，劳动类课程3门.小明从8门课程中任选3门，其中劳动类课程至少选1门，则小明的选课方法共有________.‎ ‎16.已知动点在抛物线上，动点在直线上，则两点距离的最小值是______.‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17 （本小题10分）.‎ 在中，角，，所对的边分别为，，.且满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知，求外接圆的面积..‎ ‎18. （本小题12分）‎ 等比数列满足：，且成等差数列.设等差数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（1）求、的通项公式.‎ ‎（2）记，求的前项和为.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 平行四边形满足，，是线段的中点，沿将三角形折起至，使得所在平面与底面互相垂直，如图所示，线段的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求与平面所成角的正切值.‎ ‎20. （本小题12分）‎ 十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某县积极引导农民种植一种优质黄桃作为帮助农民脱贫致富的主导产业，从而大大提升了该县村民的经济收入，去年黄桃喜获丰收，从中随机抽取100个.测量这些黄桃的横径，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求这1000个黄桃横径的众数和中位数（结果保留一位小数）；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，可以认为全县丰收的黄桃横径值近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎（i）若规定横径为的为一级果，试估计这1000个横桃中一级果的个数；‎ ‎（ii）为答谢广大农户的积极参与，某调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除前颜色个完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个，让农户从箱子中随机取出一个球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止（取球次数不超过3次）.若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖，现农户李四参加了抽奖活动，记他中奖时取球的总次数为随机变量，求的分布列和数学期望.‎ ‎（附，，，，，‎ 若，则 ）‎ ‎21. （本小题12分）‎ 已知椭圆的左右焦点分别为，过作直线，交椭圆于、两点，的周长为8，且椭圆经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过坐标原点作直线的垂线，交椭圆于，两点，试判断是否为定值，若是，求出这个定值.‎ ‎22. （本小题共12分）‎ 设函数，‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）若，，求证：‎ 数学试题答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B A D C C B A C A D ‎1. 答案：D【解答】解：∵集合，，‎ ‎∴.故选：D. ‎ ‎2. 答案：C【解答】解：在复平面上对应的点的坐标为，位于第三象限.故选：C. ‎ ‎3. 答案：B【解答】因为，，所以本题考查了对数函数和指数函数的单调性，对数的运算性质，属于基础题.‎ ‎4. 答案：A【解答】：斜三棱柱的高是 该柱体的体积为24，选A. ‎ ‎5. 答案：选D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，函数单调性的求法，是基础题.‎ ‎6. 答案：C【解答】：在任意时刻恰有一个系统发生故障的概率，选C. ‎ 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，是基础题.‎ ‎7. 答案：C【解答】：由题意知函数在定义域上单调递减.由 可得，∴，解得，故原不等式的解集为，故选C. ‎ ‎8. 答案：B【解答】：‎ 故选：B.【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题.‎ ‎9. 答案：A【解答】：由条件得，∴或将条件展开平方可得结果 ‎10. C【解答】解：设，由题意可得，‎ 所以，即，可得，∴，所以，故选：C. ‎ ‎11. 答案：A【解答】解：平行四边形中，∵，沿折成直二面角 ‎∵平面⊥平面，三棱锥的外接球的直径为，‎ ‎∴∴外接球的半径为2，故表面积是.故选：A. ‎ ‎12. 答案：D. 【解答】：∵偶函数满足，的周期为8且关于直线对 称，∵当时，知恒成立，又由得，即在上有6个零点，而单调递增，单调递减，，，，，，‎ ‎∴∴，选D. ‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分，将答案写在答题纸上.‎ ‎13. 答案：2【解答】：解：二项式的展开式的通项公式为，令，‎ 可得；.【点评】本题主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力.‎ ‎14. 答案：2【解答】：解：∵数列满足，，且数列为等比数列，∴公比，故，则.【点评】本题主要考查等比数列的定义和通项公式，属于基础题.‎ ‎15. 答案：46，解答 ‎16. 答案：【解答】解：∵设动点动点在抛物线上，满足：，，同理，当时，到轴与到：动点满足：，，当到直线距离最小时，，到的距离：‎ ‎，当时，取最小值.‎ 三、解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.将解题过程及答案填写在答题纸上.‎ ‎17. 解：（1）‎ ‎∴由正弦定理可得：‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∵，∴；‎ ‎（2）∵，，，∴‎ ‎∴外接圆的面积为 ‎18. 【解析】（1）由条件得：，∴，∵，∴‎ 而，所以 又，，所以 ‎（2）由（1）知 所以 ‎【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 ‎19. （I）证明：如图，取线段的中点，连接，‎ ‎∵是线段的中点，则且.‎ 平行四边形中，为线段中点，则且.‎ 则且，故四边形为平行四边形，‎ ‎∴.‎ 又∵平面，平面，∴平面；‎ ‎（II）解：法一：如图，在等边中取边中点，连接，连接，则，‎ ‎∵平面平面，且平面平面，‎ ‎∴平面，则为与平面所成角 在平行四边形中，，是线段的中点，‎ 设，则有，，在中，可得 又，‎ 法二：设，，设与平面所成的角为，如图，以为轴，以过和中点的直线为轴，以为轴建立直角坐标系，‎ 则，，，‎ 平面的法向量取为，则，‎ ‎∴‎ ‎20. 【解析】（1）这1000个黄桃横径的众数为72.5，‎ 设中位数为，则有，解得，‎ 所以中位数为72.6‎ ‎（2）（i）由题可得黄桃的横径，‎ 所以这1000个黄桃中一级有个.‎ ‎（ii）由题可知李四每一次取球中奖的概率为，未中奖的概率为.则，且的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考査二项分布的性质等基础知识，是中档题．‎ ‎21. 【解析】（1）∵，∴，‎ 又，有 所以椭圆的方程为 ‎（2）当直线的斜率不存在时，，，‎ 当直线的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程得：，‎ ‎∴，∴；‎ 又直线，代入椭圆方程得：‎ ‎∴‎ 则，‎ 综上所述为定值.‎ ‎22. 【解析】（1）∵，∴，∴‎ 切线方程为：‎ 法一：记，则，∴在单调减，∴，∴，即 又由，可记，结合，得在上单调递增，∴，‎ 要证：，即证 当时，，‎ 记，则在单调递增，又，‎ ‎∴，∴在单调递减，‎ ‎∴，‎ 即，证毕.‎ 法二：，则，且，，∴在上为增函数.‎ ‎①当时，即，∴在单调递减，∴，所以在单调递增，∴，故此时不成立.‎ ‎②当时，时，，且故存在使，且，又，∴∴‎ 设，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴存在，且当时，，且 要使原不等式成立，只需，∵，‎ 所以只需 令，∴，且在内为减函数，‎ ‎∵，，故存在，使，‎ 所以在单调递增，在单调递减，‎ 所以又即，且 故原不等式成立.‎