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- 2021-06-23 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期期中考试
理数试题
一、选择题（本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，，则中的元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
试题分析：，则，共有个元素，故选B.
考点：1、集合的表示方法；2、集合的并集.
2.若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：函数的定义域.
3.已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，成等比数列，所以可得
，有最小值，故选C.
考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.
4.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站坐班车，且到达发
车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：几何概型概率公式.
5.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：程序运行过程中，各变量值如下所示:第一次循环：，第二次循环：第三次循环：……以此类推，第 次循环：退出循环其中判断框内应填入的条件是:,故选C.
考点：1、程序框图； 2、循环结构.
【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
6.某商场为了了解毛衣的月销售量（件）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4
个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温
17
13
8
2
月销售量（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温为，据此估
计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）
A．58件 B．40件 C．38件 D．46件
【答案】D
考点： 1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.
7.已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：设与的夹角为，，又，
，即，解得，故选C.
考点：1、向量的模与夹角；2、向量垂直的性质及平面向量数量积公式.
8.下列有关命题：①设，命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：
，，的否定：，，；③
设，为空间任意两条直线，则“”是“与没有公共点”的充要条件．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
考点：1、特称命题与全称命题及不等式的性质；2、原命题与逆否命题的等价性及充要条件.
9.已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如
图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为的等腰直角三角形为底面、高为的三棱锥，它的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，外接球直径,表面积为，故选B.
考点：1、几何体的三视图；2、球的表面积公式.
10.“”是“函数与函数的图象重合”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：1、三角函数的诱导公式；2、充分条件与必要条件.
11.已知数列，满足，，，且对任意的正整数，，，，当
时，都有，则（注：）的值为（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【答案】D
【解析】
试题分析：因为对任意的正整数当时，都有，又因为，
所以，即，所以数列是等差数列，首项为，公差为，所以 ，所以=，故选D.
考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、特殊数列求和.
12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△是边长为1的正三角形，为
球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.
13.已知，满足且的最大值是最小值的4倍，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：做出不等式组所表示的可行域如下图所示，联立得点，联立得点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即；当直线经过可行域上的点时，此时直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，由题意得，所以，解得，故选B.
考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
第Ⅱ卷（非选择题共98分）
二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）
14.的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】
考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.
15.如图，若由不等式组（）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆
的圆心在轴上，则实数 ．
【答案】
【解析】
试题分析：画出不等式组表示的可行域，如图，因为三角形的外接圆的圆心在轴上，所以构成的三角形为直角三角形，所以直线与直线相互垂直，所以，解得， 故答案为.
考点：1、可行域及含参数约束条件；2、直线垂直的性质.
16.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭
其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 种．（用
数字作答）
【答案】
考点：1、阅读能力、数学建模能力；2、化归思想及组合问题的“插空法”.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及组合问题的“插空法”，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将熄灯方法转化为组合问题的
“插空法”解答.
17.设、均为正实数，且，以点为圆心，为半径的圆的面积最
小时圆的标准方程为 ．
【答案】
考点：1、圆的标准方程；2、利用基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考察圆的标准方程及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.本题就是利用不等式等号成立的条件进行解答的.
三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.在△中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量，
，且．
（1）求角的大小；
（2）若，△的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据平行向量的性质可得，再由正弦定理得
，进而可得，；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得的值.
试题解析：（1）∵，∴，
由正弦定理，得，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
考点：1、向量平行的性质；2、正弦定理和余弦定理.
19.已知是各项均为正数的等比数列，且，
．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据已知列出关于首项和公比的方程组，解出首项和公比的值即可求得的通项公式；（2）由（1）可知，分三组分别求和即可.
试题解析：（1）设公比为，则，由已知有，
化简得
又，故，，
所以．
考点：1、等比数列的通项及求和公式；2、 “分组求和”的应用.
20.如图，在四棱柱中，侧面底面，，底
面为直角梯形，其中，，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先证四边形为平行四边形，可得，进而由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证底面，进而 可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
（2）因为，为中点，所以，
又侧面底面，
所以底面，
以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的坐标系，则，，，，
所以，，，，
设为平面的一个法向量，
由，，得
令，则，，∴，
又设为平面的一个法向量，
由，，得
令，则，，∴，
则，
故所求锐二面角的余弦值为．
考点：1、线面平行的判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.
21.10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果．
（1）4只袜子没有成双；
（2）4只袜子恰好成双；
（3）4只袜子2只成双，另两只不成双．
【答案】（1）；（2）；（3）.
试题解析：（1）；
（2）；
（3）．
考点：1、组合的应用；2、分步计数乘法原理的应用.
22.在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在直线
上．
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
试题解析：（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.
23.某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
根据表中信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数在区间
上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率；
（2）从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期
望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
试题解析：（1）函数过点，在区间上有且只有一个零点，
则必有即，解得，
所以或，
当时，，当时，，
与为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以．
考点：1、零点分布定理及互斥事件的概率公式、古典概型概率公式；2、离散型随机变量的分布列及期望.
【方法点睛】本题主要考查零点分布定理及互斥事件的概率公式、离散型随机变量的分布列及期望，属于难题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.本题（1）、（2）求概率的过程都是利用这种思路求解的.
24.如图所示，在三棱柱中，是正方形的中心，，平
面，且．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）.
试题解析：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点，依题意得，，，，，．
（1）易得，，
于是．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2）易知，，
设平面的法向量，则即
不妨令，可得．
同样可设面的法向量，得．
于是，从而．
所以二面角的正弦值为．
考点： 1、直线与平面成的角及平面与平面成的角；2、空间向量夹角余弦公式.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求法向量以及求点到平面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.