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- 2021-06-23 发布
第01节 平面向量的概念及线性运算
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）
1.四边形OABC中，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,所以.
2.下列说法正确的是（ ）.
A．方向相同或相反的向量是平行向量
B．零向量是
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】B
【解析】选项A:方向相同或相反的非零向量是平行向量；
3.在中，设三边的中点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
=()，=(+)，所以．故选A．
4.【2017·嘉兴模拟】已知向量a与b不共线，且＝λa＋b，＝a＋μb，则点A，B，C三点共线应满足 ( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
【答案】D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得，
而所以，选D.
6.如图，正方形中，为的中点，若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为E是DC的中点，所以，∴，
∴，．
7.【2017广东惠州二调】如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，那么＝( )
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
8.在中，点是上的点，,,则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,,即,.
9.【2017宁夏育才】设为所在平面内一点，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】B
【解析】
,故选B.
10.在中，若点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据题意画出图形如下所示：
∵，∴，∴，∴，故选D．
11.【2017·安徽六校联考】在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝2，则＝( )
A．b－a B．b－a
C．b－a D．b＋a
【答案】C
12.设是平面直角坐标系中不同的四点，若且，则称是关于的“好点对”．已知是关于的“好点对”, 则下面说法正确的是（ ）
A．可能是线段的中点
B． 可能同时在线段延长线上
C． 可能同时在线段上
D．不可能同时在线段的延长线上
【答案】D
【解析】若是线段的中点，则,从而这是不可能的，所以选项A不正确.
若 同时在线段延长线上，则有，与矛盾，所以选项B不正确.
若 同时在线段上，则有，所以与，所以选项C不正确.
若不可能同时在线段的延长线上，，则有，所以与，所以选项D正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）
13. ++= .
【答案】
14.在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【答案】－a＋b
【解析】＝＋＝－＝b－ (a＋b)＝－a＋b.
15.【2017·江苏模拟】设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【答案】
【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.
16.设是已知的平面向量，向量，,在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④若=2，存在单位向量、和正实数，,使，则
其中真命题是____________.
【答案】①②④
所以④成立.综上①②④.
三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足，求实数λ的值．
【答案】﹣2
【解析】
试题分析：将已知向量的等式变形，利用向量加法的平行四边形法则得到的关系，求出λ
解：∵，
∴
∴
∴
∵
∴λ=﹣2.
18.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.
（1）试用表示向量；
（2）证明线段交于一点且互相平分.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】
试题解析：（1） ，.
（2）证明：设线段的中点为，则，
设中点分别为，
同理：，，
∴，即其交于一点且互相平分.
19.平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.
【答案】a－b
【解析】＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝a＋b.＝－＝a－b
20.设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【答案】（1）见解析（2）k＝±1
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a、b是两不共线的非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0.
∴k2－1＝0.∴k＝±1.