2020届二轮复习几何证明与计算学案（全国通用） 51页

几何证明与计算 圆锥曲线性质的探讨 · 平行投影与圆柱面的平面截线 如果直线 l 与 α 相交，如图，过任一个图形 F 上任一点 M 作直线平行于 l，交平面 α 于点 Mʹ‎，则点 Mʹ‎ 叫做点 M 在平面​ α 内关于直线 l 的平行投影（或象）​．如果图形 F 上的所有点在平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 Fʹ‎，则 Fʹ‎ ​叫做图形 F ​在 α 内关于直线​ l 的平行投影．平面 α 叫做投射面，l 叫做投射线． 当 l⊥α 时，称点 Mʹ‎ 为点 M 在平面 α 上的正射影，称图形 Fʹ‎ 为图形 F 在平面 α 上的正射影​． ‎ ‎ 平行投影基本定理：不平行于投影线的线段，在平面上的投影仍为线段，线段上的点分线段的比保持不变，端点仍为端点． 平行投影具有下述性质（直线与投影线不平行）： ①直线或线段的平行投影仍是直线或线段； ②平行直线的平行投影是平行或重合的直线； ③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长； ④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等； ⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．‎ · 圆柱面的平面截线 如果一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得的截线为一圆．如果一个平面与圆柱的轴所成 角为锐角，截圆柱所得的截线的形状是椭圆． ‎ ‎ ‎ · 球的切线与切平面 与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线．球的切线垂直于过切点的半径．如果球的切线通过一点 P，切点为 A，则称线段 PA 的长为从点 P 引的球的切线长．从球外任一点引该球的所有切线长相等． ‎ ‎ 与球只有唯一公共点的平面叫做球的切平面．一个球的切平面，垂直于过切点的半径． ‎ · 圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线 在圆柱面的轴上任取一点 C，过 C 作垂直于轴的平面 α，则平面 α 在圆柱面上的截线是 ‎⊙‎C,r．以 C 为球心，r 为半径作球，则 ‎⊙‎C,r 也是球与圆柱面所有公共点的集合．在 ‎⊙‎C,r 任取一点 H，则 CH 与过点 H 的母线垂直．过球半径的外端与该球半径垂直的直线，都是球的切线，于是圆柱面的每一条母线都与球相切，所有切点的集合是半径为 r 的圆，此圆称做切点圆．圆柱面与球面相切，该球叫做圆柱面的内切球． ‎ ‎ 如果平面 α 与圆柱面的轴线垂直，则平面 α 截圆柱面所得的截线是一个圆，此时称 α 平面为圆柱面的直截面． 如果平面 α 与圆柱面的轴线所成的角为锐角，此时称平面 α 为斜截面． ‎ · 圆锥面 ①一条直线绕着与它相交成定角 θ（‎0<θ<‎π‎2‎）的另一条直线旋转一周，形成的曲面叫做圆锥面．这条直线叫做圆锥面的母线，另一条直线叫做圆锥面的轴．母线与轴的交点叫做圆锥面的顶点，顶点为 S 的圆锥面通常记做圆锥面 S．通过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面． ‎ ‎ ②圆锥面的内切球及性质 设圆锥面 S 的母线与轴线的夹角 α，在圆锥面 S 的轴线上任取一个与顶点 S 不同的点 O，设 SA 为任一条母线，作 OH⊥SA 于点 H，则 OH=SOsinα．点 O 到圆锥面 S 每一条母线的距离都相等．以 O 为球心，OH 为球的半径作球，圆锥面 S 的每一条母线与球 O 相切的切点的轨迹是一个圆．这个圆通常称做切点圆，球 O 叫做圆锥面 S 的内切球． ‎ ‎ 性质1：圆锥面的轴线和每一条母线的夹角相等；轴线上任一点到每条母线的距离相等． 性质2：圆锥面的顶点到正截面之间所截得的母线上的线段长度相等；正截面截圆锥的截线是 圆，其半径等于 dtanα，这里 d 是圆锥面的顶点到正截面的距离，α 是圆锥面的半顶角． 性质3：​圆锥面的斜截面的轴面，垂直于它和正截面的交线． 性质4：圆锥面的内切球和圆锥面的公共点组成一个圆，这个圆所在的平面垂直于圆锥面的轴线．‎ 直线与圆的位置关系 · 圆周角 定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：​圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：直径（或半圆）所对的圆周角是直角​；等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径．​‎ · 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ · 圆内接四边形的性质与判定定理 性质定理1：圆的内接四边形的对角互补． 性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ · 圆的切线的性质及判定 定义：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点． 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．​ 与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．与三角形的一边和其他两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆．​‎ · 弦切角的性质 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ · 圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等． 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 圆幂定理：过定点的直线与定圆交于两点，则此定点到两交点的距离的乘积等于它到此定圆的幂的绝对值．‎ 相似三角形的判定及有关性质 · 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 如图，a∥b∥c，直线 m 、 n 分别与 a 、 b 、 c 交于点 A 、 B 、 C 和 Aʹ‎ 、 Bʹ‎ 、 Cʹ‎，如果 AB=BC，那么 AʹBʹ=BʹCʹ‎． ‎ ‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ · 平行线分线段成比例定理 三条平形线截两条直线，所得的对应线段成比例，也称平行截割定理． 如图，a∥b∥c ​，直线 m 交 a 、 b 、 c 于点 A 、 B 、 C ​，直线 n 交 a 、 b 、 c 于点 D 、 E 、 F ​，则 ABBC‎=‎DEEF． ‎ ‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．​‎ · ‎​相似三角形 如果在两个三角形中，对应角、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形（similar triangle）．设相似三角形对应边的比值为 ‎ k ‎，则 ‎ k ‎ 叫做相似比（或相似系数）．‎ · 相似三角形判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．‎ · ‎​​相似三角形的判定定理 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为： 两角对应相等，两三角形相似． 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．　 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：​​三边对应成比例，两三角形相似．​‎ · 直角三角形相似的判定定理 定理1：​如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．‎ · 相似三角形的性质 性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．‎ · 直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． ‎ ‎ 如图，在 Rt△ABC 中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，CD⊥AB，则有 CD‎2‎‎=AD⋅BD，BC‎2‎‎=BD⋅AB，AC‎2‎‎=AD⋅AB．‎ 精选例题 几何证明与计算 ‎ 1. 如图，AB 是半圆的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 切半圆于点 D，CD=2‎，DE⊥AB，垂足为 E，且 E 是 OB 的中点，则 BC 的长为  ．‎ ‎【答案】    ‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎【分析】    因为 DE 为 OB 的中垂线且 OD=OB，‎ 所以 ‎△OBD 为等边三角形，‎∠COD=‎‎60‎‎∘‎，OD=‎‎2‎‎3‎‎3‎，BC=OC-OB=‎4‎‎3‎‎3‎-‎2‎‎3‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎．‎ ‎ 2. （几何证明选讲）如图，PT 切圆 O 于点 T，PA 交圆 O 于 A，B 两点，且与直径 CT 交于点 D，若 CD=2‎，AD=3‎，BD=6‎，则 PB=‎  ．‎ ‎【答案】    ‎‎15‎ ‎ 3. 如图，CB 是 ‎⊙O 的直径，AP 是 ‎⊙O 的切线，AP 与 CB 的延长线交于点 P，A 为切点．若 PA=10‎，PB=5‎，则 AB 的长为  ．‎ ‎【答案】    ‎‎3‎‎5‎ ‎ 4. 如图，已知 PA 是圆 O 的切线，A 是切点，直线 PO 交圆 O 于 B，C 两点，D 是 OC 的中点，连接 AD 并延长交圆 O 于点 E，若 PA＝2‎‎3‎，‎∠APB＝‎‎30‎‎∘‎，则 AE ＝  ．‎ ‎【答案】    ‎‎10‎‎7‎‎7‎ ‎【分析】    因为 PA 为圆的切线，所以 OA⊥PA．‎ 因为 ‎∠APO=‎‎30‎‎∘‎，PA=2‎‎3‎，所以 AO=2‎，PO=4‎．‎ 因为 D 是 OC 中点，所以 BD=3‎，CD=1‎．‎ 在 ‎△AOD 中，OD=1‎，OA=2‎，‎∠AOD=‎‎120‎‎∘‎，由余弦定理解得 AD=‎‎7‎．‎ 因为 BD⋅DC=AD⋅DE，所以 DE=‎‎3‎‎7‎‎7‎，所以 AE=AD+DE=‎‎10‎‎7‎‎7‎．‎ ‎ 5. 如图，圆 A 与圆 B 交于 C，D 两点，圆心 B 在圆 A 上，DE 为圆 B 的直径．已知 CE=1‎，DE=4‎，则圆 A 的半径为  ．‎ ‎【答案】    ‎‎4‎ ‎ 6. 如图，在 ‎△ABC 中，‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎，BD⊥AC，D 为垂足，E 是 BC 的中点．‎ 求证：‎∠EDC=∠ABD．‎ ‎【答案】        略．‎ ‎【分析】        利用同角的余角相等进行证明．‎ ‎【解】        由 BD⊥AC，可得 ‎∠BDC=90‎‎∘‎．‎ ‎    ‎ ‎    由 E 是 BC 中点，可得 DE=CE=‎1‎‎2‎BC．‎ ‎    ‎ ‎    则 ‎∠EDC=∠C．‎ ‎    ‎ ‎    由 ‎∠BDC=90‎‎∘‎，可得 ‎∠C+∠DBC=90‎‎∘‎．‎ ‎    ‎ ‎    由 ‎∠ABC=90‎‎∘‎，可得 ‎∠ABD+∠DBC=90‎‎∘‎．‎ ‎    ‎ ‎    因此 ‎∠ABD=∠C．‎ ‎    ‎ ‎    又 ‎∠EDC=∠C，可得 ‎∠EDC=∠ABD ．‎ ‎ 7. 如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，AB 是圆 O 的直径，BC=CD，AD 的延长线与 BC 的延长线交于点 E，过 C 作 CF⊥AE，垂足为点 F．‎ ‎    (1)证明：CF 是圆 O 的切线；‎ ‎【解】        连接 OC，AC，‎ ‎    因为 BC=CD，‎ ‎    所以 ‎∠CAB=∠CAD．‎ ‎    因为 AB 是圆 O 的直径，‎ ‎    所以 OC=OA．‎ ‎    所以 ‎∠CAB=∠ACO．‎ ‎    所以 ‎∠CAD=∠ACO．‎ ‎    所以 AE∥OC．‎ ‎    因为 CF⊥AE，‎ ‎    所以 CF⊥OC．‎ ‎    所以 CF 是圆 O 的切线．‎ ‎    ‎ ‎    (2)若 BC=4‎，AE=9‎，求 CF 的长．‎ ‎【解】        因为 AB 是圆 O 的直径，‎ ‎    所以 ‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，即 AC⊥BE．‎ ‎    因为 ‎∠CAB=∠CAD，‎ ‎    所以点 C 为 BE 的中点．‎ ‎    所以 BC=CE=CD=4‎．‎ ‎    由割线定理：EC⋅EB=ED⋅EA，且 AE=9‎，‎ ‎    得 ED=‎‎32‎‎9‎．‎ ‎    在 ‎△CDE 中，CD=CE，CF⊥DE，则 F 为 DE 的中点．‎ ‎    所以 DF=‎‎16‎‎9‎．‎ ‎    在 Rt△CFD 中，CF=CD‎2‎-DF‎2‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎16‎‎9‎‎2‎=‎‎4‎‎65‎‎9‎．‎ ‎    所以 CF 的长为 ‎4‎‎65‎‎9‎．‎ ‎ 8. 如图，已知 PA 与 O 圆 相切于点 A，经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B，C，‎∠APC 的平分线分别交 AB，AC 于点 D，E．‎ ‎    (1)证明：‎∠ADE=∠AED；‎ ‎【解】        因为 PA 是切线，AB 是弦，‎ ‎    所以 ‎∠BAP=∠C，‎ ‎    又 ‎∠APD=∠CPE，‎ ‎    所以 ‎∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．‎ ‎    因为 ‎∠ADE=∠BAP+∠APD，‎∠AED=∠C+∠CPE，‎ ‎    所以 ‎∠ADE=∠AED．‎ ‎    (2)若 AC=AP，求 PCPA 的值．‎ ‎【解】        由（1）知 ‎∠BAP=∠C，‎ ‎    又 ‎∠APC=∠BPA，‎ ‎    所以 ‎△APC∽△BPA，‎ ‎    所以 PCPA‎=‎CAAB．‎ ‎    因为 AC=AP，‎ ‎    所以 ‎∠APC=∠C=∠BAP，‎ ‎    由三角形内角和定理可知，‎∠APC+∠C+∠CAP=‎‎180‎‎∘‎．‎ ‎    因为 BC 是圆 O 的直径，‎ ‎    所以 ‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎，‎ ‎    所以 ‎∠APC+∠C+∠BAP=‎180‎‎∘‎-‎90‎‎∘‎=‎‎90‎‎∘‎，‎ ‎    所以 ‎∠C=∠APC=∠BAP=‎1‎‎3‎×‎90‎‎∘‎=‎‎30‎‎∘‎．‎ ‎    在 Rt△ABC 中，CAAB‎=‎‎3‎，‎ ‎    所以 PCPA‎=CAAB=‎‎3‎．‎ ‎ 9. 如图，在 ‎△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F．‎ ‎    (1)求 BFFC 的值；‎ ‎【解】        过 D 点作 DG∥BC，并交 AF 于 G 点，‎ ‎    因为 E 是 BD 的中点，所以 BE=ED．又因为 ‎∠EBF=∠EDG，‎∠BEF=∠DEG，‎ ‎    所以 ‎△BEF≅△DEG．‎ ‎    所以 BF=DG，所以 BF:FC=DG:FC．‎ ‎    因为 D 是 AC 的中点，所以 DG:FC=1:2‎，所以 BF:FC=1:2‎．‎ ‎    (2)若 ‎△BEF 的面积为 S‎1‎，四边形 CDEF 的面积为 S‎2‎，求 S‎1‎‎:‎S‎2‎ 的值．‎ ‎【解】        若 ‎△BEF 以 BE 为底，‎△BDC 以 BC 为底，则由（1）知 BE:BC=1:3‎．‎ ‎    又由 BF:BD=1:2‎ 可知 h‎1‎‎:h‎2‎=1:2‎，其中 h‎1‎ 、 h‎2‎ 分别为 ‎△BEF 和 ‎△BDC 的高．‎ ‎    则 S‎△BEFS‎△BDC‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎，则 S‎1‎‎:S‎2‎=1:5‎．‎ ‎10. 如图所示，在 ‎⊙O 中，直径 AB=10 cm，弦 BC=8 cm，点 D 是 AB 的中点，连接 AC，AD，BD．‎ ‎    (1)求 AC 和 BD 的长；‎ ‎【解】         ‎∵AB 为 ‎⊙O 的直径，‎∴∠ACB=∠ADB=‎‎90‎‎∘‎，‎ ‎     ‎∵AB=10‎，BC=8‎，‎∴‎ 在 Rt△ABC 中，AC=AB‎2‎-BC‎2‎=6‎cm．‎ ‎     ‎∵‎ 点 D 是 AB 的中点，‎ ‎     ‎∴AD=‎BD，‎∴AD=BD，‎ ‎     ‎∴△ABD 为等腰直角三角形，‎ ‎     ‎∴BD=AB⋅sin‎45‎‎∘‎=10×‎2‎‎2‎=5‎‎2‎cm．‎ ‎    (2)求四边形 ADBC 的面积．‎ ‎【解】        由（1）知 S四边形ADBC‎=S‎△ABC+‎S‎△ABD‎=‎1‎‎2‎AC⋅BC+‎1‎‎2‎AD‎2‎‎=‎1‎‎2‎×6×8+‎1‎‎2‎×‎‎5‎‎2‎‎2‎‎=49cm‎2‎.‎ 圆锥曲线性质的探讨 ‎ 1. 已知椭圆两准线间的距离为 ‎8‎，离心率为 ‎1‎‎2‎，则 Dandelin球的半径是   ‎‎.‎ ‎【答案】    ‎‎3‎ ‎【分析】    根据Dandelin球的性质，Dandelin球的半径为圆柱的半径，即为椭圆的短半轴长，由两准线间距离为 ‎8‎，离心率为 ‎1‎‎2‎，易求短半轴长为 ‎3‎．‎ ‎ 2. 圆锥曲线的几何性质．‎ ‎（1）焦点：Dandelin 球与平面 π 的  ．‎ ‎（2）准线：截面与 Dandelin 球和圆锥交线所在平面的  ．‎ ‎（3）离心率：e=‎  ．‎ ‎【答案】    （1）切点；（2）交线；（3）‎cosβcosα ‎ 3. 一个圆锥的顶角为 ‎50‎‎∘‎，若圆锥的某截面与轴线所成角为 ‎30‎‎∘‎，则截线形状是  ．‎ ‎【答案】    椭圆 ‎ 4. 几何图形在平面上的正射影．‎ ‎（1）点 A 是平面 α 外一点，过点 A 向平面 α 作垂线，设垂足为点 Aʹ‎，那么把 Aʹ‎ 称作点 A 在平面 α 的  ．‎ ‎（2）一个图形 F 上的各点在平面 α 上的  也组成一个图形 Fʹ‎，则图形 Fʹ‎ 称作图形 F 在平面 α 上的  ．‎ ‎【答案】    （1）正射影（2）正射影；正射影 ‎ 5. 几何图形在平面上的平行射影．‎ 设直线 l 与平面 α 相交，把直线 l 的方向称为  ．过点 A 作平行于 l 的直线，必与平面 α 交于点 Aʹ‎，那么把点 Aʹ‎ 称作点 A 沿直线 l 的方向在平面 α 上的  ，一个图形上各点在平面 α 上的平行射影所组成的图形称作该图形的  ．正射影是平行射影的特例．‎ ‎【答案】    投影方向；平行射影；平行射影 ‎ 6. 已知圆锥面 S，母线与轴线所成的角为 ‎45‎‎∘‎，在轴线上取一点 C，使 SC=5‎，过点 C 作一平面与轴线的夹角等于 ‎30‎‎∘‎，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径．‎ ‎【解】        所截得的曲线是双曲线．‎ ‎    设焦球 O 的半径为 R．‎ ‎     ‎∵SO=‎2‎R，OC=2R，‎ ‎     ‎∴SC=‎2+‎‎2‎R=5‎，即 R=‎5‎‎2+‎‎2‎=‎‎5‎‎2-‎‎2‎‎2‎．‎ ‎    设另焦球 Oʹ‎ 的半径为 Rʹ‎，‎ ‎    则 OOʹ=R+Rʹ‎cos‎45‎‎∘‎=‎‎2‎R+Rʹ‎，‎ ‎    又截面与轴线的夹角为 ‎30‎‎∘‎，‎ ‎     ‎∴Rʹ-R=‎1‎‎2‎OOʹ=‎‎2‎‎2‎R+Rʹ‎，‎ ‎     ‎∴Rʹ=‎3+2‎‎2‎R=‎‎5‎‎2+‎‎2‎‎2‎．‎ ‎ 7. 如图，已知平面 π 与圆锥的轴的夹角为 β，圆锥母线与轴的夹角为 α，α=β，求证：平面 π 与圆锥的交线为抛物线．‎ ‎【解】        证明：当 β=α 时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个 Dandelin 球与圆锥交线为圆 S．记圆 S 所在平面为 πʹ‎，π 与 πʹ‎ 的交线记为 m．球切 π 于 F‎1‎ 点．‎ ‎    在截口上任取一点 P，过 P 作 PA⊥m 于 A，过 P 作 PB⊥平面πʹ‎ 于 B，过 P 作圆锥的母线交平面 πʹ‎ 于 C，连接 AB 、 PF‎1‎ 、 BC．‎ ‎    由切线长定理，PF‎1‎=PC．‎ ‎     ‎∵PB 平行于圆锥的轴，‎∴∠APB=β，‎∠BPC=α．‎ ‎    在 Rt△ABP 中，PA=‎PBcosβ，‎ ‎    在 Rt△BCP 中，PC=‎PBcosα．‎ ‎     ‎∵α=β，‎∴PC=PA．‎∴PF‎1‎=PA．即截口上任一点到定点 F 和到定直线 m 的距离相等．‎ ‎     ‎∴‎ 截口曲线为抛物线．‎ ‎ 8. 若圆柱的一正截面的截线是半径为 ‎3‎ 的圆，圆柱的斜截面与轴线成 ‎60‎‎∘‎，求截面椭圆的两个焦点之间的距离．‎ ‎【解】        设椭圆长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c．‎ ‎    则 b=3‎，a=‎3‎sin‎60‎‎∘‎=2‎‎3‎，‎ ‎     所以 c‎2‎‎=a‎2‎-b‎2‎=3‎，所以 c=‎‎3‎．‎ ‎     所以两焦点间距离为 ‎2c=2‎‎3‎．‎ ‎ 9. 已知一圆锥面 S 的轴线为 Sx，轴线与母线的夹角为 ‎30‎‎∘‎，在轴上取一点 O，使 SO=3cm，球 O 与这个锥面相切，求球 O 的半径和切圆的半径．‎ ‎【解】        由已知，OH=‎1‎‎2‎SO=‎3‎‎2‎cm，‎ ‎     HC=OHsin‎60‎‎∘‎=‎3‎‎2‎×‎3‎‎2‎=‎3‎‎3‎‎4‎cm．‎ ‎    所以球 O 的半径为 ‎3‎‎2‎cm，切点圆的半径为 ‎3‎‎3‎‎4‎cm．‎ ‎10. 垂直于圆柱轴线的平面截圆柱面所得的截线是半径为 ‎2‎ 的圆，另一截面与圆柱面轴线的夹角为 ‎60‎‎∘‎，求 ‎ Dandelin 双球的球心距离．‎ ‎【解】        设斜截圆柱的平面为 δ，‎ Dandelin 双球的球心分别为 C‎1‎，C‎2‎，与平面 δ 的切点分别为 F‎1‎，F‎2‎，如图为圆柱面的轴截面图．‎ ‎    由题意知 C‎1‎F‎1‎‎⊥δ，C‎2‎F‎2‎‎⊥δ，‎ ‎    所以 C‎1‎F‎1‎‎∥‎C‎2‎F‎2‎，‎ ‎    所以 C‎1‎，C‎2‎，F‎1‎，F‎2‎ 共面．设 C‎1‎C‎2‎ 与 F‎1‎F‎2‎ 相交于点 C，‎ ‎    因为 C‎1‎F‎1‎‎⊥δ，所以 ‎∠C‎1‎CF‎1‎=‎‎60‎‎∘‎，‎ ‎    所以 C‎1‎C=C‎1‎F‎1‎sin‎60‎‎∘‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎    同理 C‎2‎C=‎‎4‎‎3‎‎3‎，‎ ‎    所以 C‎1‎C‎2‎‎=C‎1‎C+C‎2‎C=‎‎8‎‎3‎‎3‎，‎ ‎    所以 ‎ Dandelin 双球的球心距离为 ‎8‎‎3‎‎3‎．‎ 直线与圆的位置关系 ‎ 1. 如图，AB 是圆 O 的直径，AB=2‎，D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C，若 DA=DC，则 ‎∠BDC=‎  ，BC=‎  ．‎ ‎【答案】    ‎30‎‎∘‎；‎‎1‎ ‎ 2. 如图，AB 的延长线上任取一点 C，过 C 作圆的切线 CD，切点为 D，‎∠ACD 的平分线交 AD 于 E，则 ‎∠CED  ．‎ ‎【答案】    ‎‎45‎‎∘‎ ‎ 3. 如图，AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，他们相交于 AB 的中点 P，PD=‎‎2a‎3‎，‎∠OAP=‎‎30‎‎∘‎，则 CP=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎9‎‎8‎a ‎ ‎【分析】    在 ‎△OPA 中，P 为 AB 的中点，‎∠OAP=‎‎30‎‎∘‎，所以 AP=‎3‎‎2‎a，又由相交弦定理得 PC⋅PD=PA‎2‎，得 PC⋅‎2‎‎3‎a=‎‎3‎‎2‎a‎2‎，即 PC=‎9‎‎8‎a．‎ ‎ 4. 如图，已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上一点，且 DF=CF=‎‎2‎，AF:FB:BE=4:2:1‎．若 CE 与圆相切，则 CE 的长为  ．‎ ‎【答案】     ‎7‎‎2‎ ‎ ‎【分析】    设 AF=4k，BF=2k，BE=k，由 DF⋅FC=AF⋅BF，得 ‎2=8‎k‎2‎，即 k=‎‎1‎‎2‎，‎ 从而 AF=2‎，BF=1‎，BE=‎‎1‎‎2‎，AE=‎‎7‎‎2‎，由切割线定理得 CE‎2‎=BE⋅EA=‎1‎‎2‎×‎7‎‎2‎=‎‎7‎‎4‎，故 CE=‎‎7‎‎2‎．‎ ‎ 5. 如图，P 是 O 外一点 PB 分别和 ‎⊙O 切于 A，B，C 是 AB 上任意一点，过 C 作 O 的切线分别交 B 于 D，E，若 ‎△PDE 的周长为 ‎12‎，则 PA 长为  ．‎ ‎【答案】     ‎6‎ ‎ ‎【分析】    根据切线长定理得 DA=DC，EC=EB，PA=PB．‎ ‎ C‎△PDE‎=PD+PE+DE=PD+DC+PE+EC=PD+AD+PE+EB=PA+PB=12‎ ‎ ‎ ‎∴PA=6‎．‎ ‎ 6. 如图，已知点 P 为 Rt△ABC 的斜边 AB 的延长线上一点，且 PC 与 Rt△ABC 的外接圆相切，过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，若 PA=18‎，PC=6‎，求线段 CD 的长．‎ ‎【解】        由切割线定理，得 PC‎2‎=PA⋅PB，解得 PB=2‎，‎ ‎    所以 AB=16‎，即 Rt△ABC 的外接圆半径 r=8‎，‎ ‎    记 Rt△ABC 的外接圆的圆心为 O，连 OC，则 OC⊥PC，‎ ‎    在 Rt△POC 中，由面积法得 OC⋅PC=PO⋅CD，解得 CD=‎‎24‎‎5‎．‎ ‎ 7. 如图，‎⊙O 中 AB 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点．‎ ‎    (1)若 ‎∠PFB=2∠PCD，求 ‎∠PCD 的大小；‎ ‎【答案】        ‎‎60‎‎∘‎ ‎【分析】        本题考查圆周角定理的简单应用．‎ ‎【解】        连接 PB,BC，‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎    ‎ ‎    则 ‎∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.‎ 因为 AP‎=‎BP，所以 ‎∠PBA=∠PCB，又 ‎∠BPD=∠BCD，所以 ‎∠BFD=∠PCD.‎ 又 ‎∠PFB+∠BFD=‎‎180‎‎∘‎，‎∠PFB=2∠PCD，所以 ‎3∠PCD=‎180‎‎∘‎,‎ 因此 ‎∠PCD=‎‎60‎‎∘‎．‎ ‎    (2)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明：OG⊥CD．‎ ‎【答案】        略 ‎【分析】        本题的关键是得到 C,D,F,E 四点共圆．‎ ‎【解】        因为 ‎∠PCD=∠BFD，所以 ‎∠EFD+∠PCD=‎180‎‎∘‎,‎ 因此知 C,D,F,E 四点共圆，其圆心既在 CE 的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，‎ ‎    ‎ ‎    故 G 就是过 C,D,E,F 四点的圆的圆心，所以 G 在 CD 的垂直平分线上．‎ ‎    ‎ ‎    又 O 也在 CD 的垂直平分线上，因此 OG⊥CD．‎ ‎ 8. 如图，‎⊙O 是以 AB 为直径的 ‎△ABC 的外接圆，D 是 BC 的中点，连接 AD 并延长与过 C 点的切线交于点 P，OD 与 BC 相交于 E．‎ ‎    (1)求证：OE=‎1‎‎2‎AC；‎ ‎【解】         ‎∵D 是 BC 的中点，‎∴∠CAB=∠DOB，‎ ‎     ‎∴AC∥OD．‎ ‎    又 O 为 AB 的中点，OD 与 CB 交于点 E，‎∴OE=‎1‎‎2‎AC．‎ ‎    (2)求证：DPAP‎=‎BD‎2‎AC‎2‎；‎ ‎【解】        由弦切角定理知：‎∠PAC=∠PCD．又 ‎∠P 为公共角，‎ ‎     ‎∴PD=‎PC‎2‎PA，‎∴PDPA=PC‎2‎PA‎2‎=‎DC‎2‎AC‎2‎．‎ ‎    又 DC=BD，‎∴PDPA=‎BD‎2‎AC‎2‎．‎ ‎    (3) AC=6‎，AB=10‎ 时，求切线 PC 的长．‎ ‎【解】         ‎∵AC=6‎，AB=10‎，‎∴BC=8‎，BE=4‎，OE=3‎，‎ ‎     ‎∴DE=OD-OE=5-3=2‎．‎ ‎     ‎∵AC∥OE，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，‎∴∠OEB=‎‎90‎‎∘‎，即 OD⊥BC．‎ ‎    在 Rt△BED 中，BD‎2‎=DE‎2‎+BE‎2‎=‎2‎‎2‎+‎4‎‎2‎=20‎，‎ ‎     ‎∴AD=AB‎2‎-BD‎2‎=‎10‎‎2‎‎-20‎=4‎‎5‎，CD=BD=2‎‎5‎．‎ ‎    由（2）知 PDPD+4‎‎5‎‎=BD‎2‎AC‎2‎=‎2‎‎5‎‎2‎‎6‎‎2‎=‎‎5‎‎9‎，‎ ‎     ‎∴PD=5‎‎5‎，AP=AD+PD=9‎‎5‎．‎ ‎    由切割线定理，得 CP‎2‎=PD⋅PA=5‎5‎×9‎‎5‎，‎∴CP=15‎．‎ ‎ 9. 如图1，在以 O 为圆心的两个同心圆中，A，B 是大圆上任意两点，过 A，B 分别作小圆的割线 AY 和 BQ．求证：AX⋅AY=BP⋅BQ．‎ ‎【解】        ‎ ‎    方法一：‎ ‎    如图2，过点 A，B 分别作小圆的切线 AC，BD，C，D 为切点，连接 CO，AO，DO，BO，由切割线定理，得 AC‎2‎=AX⋅AY，BD‎2‎=BP⋅BQ，在 Rt△AOC 和 Rt△BOD 中，‎ ‎     OC=OD，OA=OB，‎∴Rt△AOC≅Rt△BOD，‎∴AC=BD，‎ ‎     ‎∴AX⋅AY=BP⋅BQ．‎ ‎    方法二：‎ ‎    如图1，作直线 XP 分别交大圆于点 E，F，分别延长 AY，BQ 交大圆于点 C，D．‎ ‎    由相交弦定理得 AX⋅XC=EX⋅XF,BP⋅PD=FP⋅PE，‎ ‎     ‎∵AX=CY，BP=DQ，EX=FP，‎∴AX⋅XC=AX⋅AY，BP⋅PD=BP⋅BQ，EX⋅XF=FP⋅PE，‎∴AX⋅AY=BP⋅BQ．‎ ‎    方法三：‎ ‎    如图2，连接 AO 并延长交小圆于点 E，F，连接 BO 并延长交小圆于点 C，D，由割线定理得 AX⋅AY=AE⋅AF，BP⋅BQ=BC⋅BD，‎ ‎     ‎∴AE=BC，AF=BD，‎∴AE⋅AF=BC⋅BD，‎∴AX⋅AY=BP⋅BQ．‎ ‎10. 如图所示，P 为 ‎⊙O 外一点，PA，PB 分别切 ‎⊙O 于点 A，B，点 C 为 AB 上任意一点，过 C 作 ‎⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于点 D，E，‎△PDE 的周长为 ‎8 cm，且 ‎∠DOE=‎‎70‎‎∘‎，根据图示求：‎ ‎    (1) PA 的长；‎ ‎【解】         PA=PD+DA，PB=PE+EB，DE=DC+CE．‎ ‎    由切线长定理可知 PA=PB，DA=DC，EB=EC，‎ ‎     ‎∴PA+PB=2PA=PD+PE+DA+EB=PD+PE+‎DC+EC，即 ‎2PA=PD+PE+DE，而 ‎△PDE 的周长 ‎=PD+PE+DE=8 cm，‎ ‎     ‎∴2PA=8 cm，‎∴PA=4 cm．‎ ‎    (2) ‎∠P 的度数．‎ ‎【解】        ‎ ‎    连接 OA，OB，OC，则 PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC，‎ ‎    由题意知 ‎∠1=∠2‎，‎∠3=∠4=∠9=‎‎90‎‎∘‎，‎∠OEC=∠OEB，‎ ‎    由三角形内角和定理得 ‎∠5=∠6‎，‎∠7=∠8‎，‎ ‎    又 ‎∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=‎‎360‎‎∘‎，‎ ‎     ‎∴∠P=‎180‎‎∘‎-‎‎∠5+∠6+∠7+∠8‎．‎ ‎     ‎∵∠DOE=∠6+∠7=‎‎70‎‎∘‎，‎ ‎     ‎∴∠5+∠6+∠7+∠8=‎‎140‎‎∘‎，‎ ‎     ‎∴∠P=‎180‎‎∘‎-‎140‎‎∘‎=‎‎40‎‎∘‎．‎ 相似三角形的判定及有关性质 ‎ 1. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=4‎，CD=2‎，E、F 分别为 AD、BC 上的点，且 EF=3‎，EF∥AB，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为  ．‎ ‎【答案】     ‎7‎‎5‎ ‎ ‎【分析】    如图，分别延长 AD、BC，且 AD∩BC=P．‎ 因为 CDEF‎=‎2‎‎3‎,‎ 所以 S‎△PCDS‎△PEF‎=‎‎4‎‎9‎；‎ 因为 CDAB‎=‎2‎‎4‎,‎ 所以 S‎△PCDS‎△PAB‎=‎‎4‎‎16‎，所以 S梯形ABEFS梯形EFCD‎=‎‎7‎‎5‎．‎ ‎ 2. 如图，‎∠B=∠D，AE⊥BC，‎∠ACD=‎‎90‎‎∘‎，且 AB=6‎，AC=4‎，AD=12‎，则 AE=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎2‎ ‎ ‎【分析】    因为 AE⊥BC，所以 ‎∠AEB=∠ACD=‎‎90‎‎∘‎，又因为 ‎∠B=∠D，所以 ‎△AEB∽△ACD，从而 ACAE‎=‎ADAB，于是 AE=AB⋅ACAD=‎6×4‎‎12‎=2‎．‎ ‎ 3. 如图，E，F 是梯形 ABCD 的腰 AD，BC 上的点，其中 CD=2AB，EF∥AB，若 EFAB‎=‎CDEF，则 AEED‎=‎  ．‎ ‎【答案】    ‎‎2‎‎2‎ ‎【分析】    如图，过 A 作 AH∥BC，交 EF 、 CD 于 G 、 H．‎ 设 AB=a，CD=2a．因为 EFAB‎=‎CDEF，所以 EF=‎2‎a．由 EF∥AB∥CD 得 AEAD‎=EGDH=EF-ABCD-AB=‎2‎a-a‎2a-a=‎2‎-1‎．又 AD=AE+ED，故 AEAE+ED‎=‎2‎-1‎，得 AEED‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎ 4. 在 Rt△ABC 中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，CD 是高，AC=12 cm，BC=15 cm，则 S‎△ACD‎:S‎△BCD=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎16:25‎ ‎ ‎【分析】     ‎∵∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，CD 是高，‎ ‎ ‎∴AC‎2‎=AD⋅AB，BC‎2‎=BD⋅AB，‎ ‎ ‎∴AD:BD=AC‎2‎:BC‎2‎．‎ 又 S‎△ACD‎=‎1‎‎2‎⋅AD⋅CD，S‎△BCD‎=‎1‎‎2‎⋅BD⋅CD，‎ ‎ ‎∴S‎△ACD:S‎△BCD=AD:BD=AC‎2‎:BC‎2‎．‎ 又 AC=12‎，BC=15‎，‎ ‎ ‎∴S‎△ACD:S‎△BCD=144:225=16:25‎．‎ ‎ 5. 如图所示，已知直线 l‎1‎，l‎2‎，l‎3‎，且 l‎1‎‎∥l‎2‎∥‎l‎3‎，CH=4.5 cm，AG=3 cm，BG=5 cm，EF=12.9 cm，则 DH=‎  ，EK=‎  ．‎ ‎【答案】     ‎7.5 cm；‎34.4 cm ‎ ‎【分析】    由 l‎1‎‎∥l‎2‎∥‎l‎3‎，可得 DHCH‎=‎BGAG，所以 DH=BG⋅CHAG=‎5×4.5‎‎3‎=7.5‎cm，同理可得 EK 的长度．‎ ‎ 6. 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G 分别为垂足．求证：AF⋅AC=BG⋅BE．‎ ‎【解】         ‎∵CD 垂直平分 AB，‎ ‎     ‎∴△ACD 和 ‎△BDE 均为直角三角形，且 AD=BD．‎ ‎    又 DF⊥AC，DG⊥BE，‎ ‎     ‎∴AF⋅AC=AD‎2‎，BG⋅BE=DB‎2‎，‎ ‎     ‎∵AD‎2‎=DB‎2‎，‎ ‎     ‎∴AF⋅AC=BG⋅BE．‎ ‎ 7. 如图所示，BD∶DC=5∶3‎，E 为 AD 的中点，求 BE∶EF 的值．‎ ‎【解】        过 D 作 DG∥CA 交 BF 于 G，则 BGGF‎=BDDC=‎‎5‎‎3‎．‎ ‎    ‎ ‎    因为 E 为 AD 的中点，DG∥AF，‎ ‎    所以 ‎△DGE≅△AFE，EG=EF．‎ ‎    所以 BGEF‎=BG‎1‎‎2‎GF=‎2BGGF=2×‎5‎‎3‎=‎‎10‎‎3‎．‎ ‎    故 BEEF‎=BG+EFEF=BGEF+1=‎10‎‎3‎+1=‎‎13‎‎3‎．‎ ‎ 8. 已知两个三角形的相似比为 ‎3:2‎，面积之差为 ‎25 ‎cm‎2‎，求这两个三角形的面积．‎ ‎【解】        设这两个相似三角形的面积分别为 x ‎cm‎2‎ 和 x+25‎cm‎2‎．‎ ‎    由题意得 x+25‎x‎=‎‎3‎‎2‎‎2‎，即 x+25‎x‎=‎‎9‎‎4‎，则 ‎9x=4x+100‎，所以 x=20‎，x+25=45‎．‎ ‎    故两个三角形的面积分别为 ‎45 ‎cm‎2‎，‎20 ‎cm‎2‎．‎ ‎ 9. 小伟身高 ‎1.6 m ，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在 A 路灯的底部，他又向前走了 ‎5 m ，又发现身影的顶部正好在 B 路灯的底部．已知两路灯之间的距离为 ‎10 m （两路灯的高度是一样的）．求：‎ ‎    (1)路灯的高度；‎ ‎【解】        ‎ ‎    设 A,B 为两个路灯，小伟从 MN 平移到 PQ ，并设 C,D 分别为 A,B 两灯的底部．‎ ‎    由已知可得 MN=PQ=1.6 m ， NQ=5 m ， CD=10 m ．‎ ‎    设路灯高为 h，CN=x ，则 QD=5-x ．‎ ‎    因为 ‎△CMN 相似于 ‎△CBD ，‎ ‎    所以 CNCD‎=‎MNBD， 即 x‎10‎‎=‎1.6‎h. ⋯⋯①‎ ‎ ‎    又因 ‎△PQD 相似于 ‎△ACD ，‎ ‎    所以 PQAC‎=‎QDCD，即 ‎1.6‎h‎=‎5-x‎10‎. ⋯⋯②‎ ‎ ‎    由 ① ② 式得 x=2.5 m，h=6.4 m．‎ ‎    (2)当小伟走到 B 路灯下，他在 A 路灯下的身影有多长？‎ ‎【解】        ‎ ‎    当小伟移到 BD 所在的线上（设为 DH ），连接 AH 交地面于 E ，则 DE 的长即为所求的影长．‎ ‎    因为 ‎△DEH 相似于 ‎△CEA ，‎ ‎    所以 DHAC‎=‎DECE，即 ‎1.6‎‎6.4‎‎=‎DEDE+10‎．‎ ‎    解得 DE=‎‎10‎‎3‎，‎ ‎    即影长为 ‎10‎‎3‎‎ m ．‎ ‎10. 已知线段 AB，在线段 AB 上求作一点 P，使 AP=‎3‎‎5‎AB．‎ ‎【解】        ‎ ‎    如图所示．‎ ‎    （i）过 A 作射线 AM；‎ ‎    （ii）在 AM 上以任意长顺次截取 AC=CD=DE=EF=FG；‎ ‎    （iii）连接 GB，过 E 作 EP∥GB，交 AB 于 P．‎ ‎    则点 P 为所求的点．‎ 课后练习 ‎ 1. 如图，半径为 ‎2‎ 的 ‎⊙O 中，‎∠AOB=‎‎90‎‎∘‎，D 为 OB 的中点，AD 的延长线交 ‎⊙O 于点 E，则线段 DE 的长为  ．‎ ‎ 2. 如图 AP=3‎，BP=5‎，CP=2.5‎，则 CD 长为  ．‎ ‎ 3. 如图，A，B 是圆 O 上的两点，‎∠AOB=‎‎120‎‎∘‎，C 是 AB 弧的中点．延长 OA 至 P 使得 OA=AP，连接 PC，设圆 O 的半径 R=1‎，则 PC 的长是  ．‎ ‎ 4. 如图，‎⊙O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D，且 CD=4‎，BD=8‎，则 ‎⊙O 的半径等于  ．‎ ‎ 5. 如图，‎△ABC 是圆 O 的内接三角形，PA 是圆 O 的切线，A 为切点，PB 交于 AC 于点 E，交圆 O 于点 D，若 PE=PA，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，且 PD=2‎，BD=6‎，则 AC=‎  ．‎ ‎ 6. 已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成 ‎30‎‎∘‎ 角的不过圆锥顶点的平面截圆锥面时，所截得的截线为  ，离心率为  ．‎ ‎ 7. 物体在太阳光照射下形成的影子就是平行射影，这与我们所学的平行射影原理相同，正方形纸片在太阳光照射下，在水平底面上的影子的形状可能是  ．（写出一个即可）‎ ‎ 8. 用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、________和________．‎ ‎ 9. 已知圆锥面的母线与轴线成 ‎44‎‎∘‎ 角，用一个与轴线成 ‎44‎‎∘‎ 角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是  ．‎ ‎10. 一平面与半径为 ‎4‎ 的圆柱面相截，截面的 ‎ Dandelin 双球的球心距离为 ‎12‎，则截线椭圆的离心率为  ．‎ ‎11. 如图， ‎⊙O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A ．若 BD⊥AE ， AB=4‎ ， BC=2‎ ， AD=3‎ ，则 DE=‎  ； CE=‎  ．‎ ‎12. 如图，AC 为 ‎⊙O 的直径，OB⊥AC，弦 BN 交 AC 于点 M．若 OC=‎‎3‎，OM=1‎，则 MN=‎  ．‎ ‎13. 如图，圆 O 的半径为 ‎1‎，A,B,C 是圆周上的三点，满足 ‎∠ABC=‎‎30‎‎∘‎，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA=‎  ．‎ ‎14. 如图，直线 AB，BC，CD 与圆 O 相切，AD 是圆 O 的直径，AC，BO 交于点 F，BD，OC 交于点 E，AC，BD 交于点 P，OB=3‎，OC=4‎，则 ‎（1）‎∠BOC 夹圆 O 所得圆弧的弧长为  ；‎ ‎（2）DP:DB=‎  ；‎ ‎（3）由条件可知以 BC 为直径的圆 K 与直线 DC 相交，与线段 BD 交于点 Q，则圆 K 截直线 DC 所得的弦长为  ，DQ⋅DB=‎  ；‎ ‎（4）AFFC‎+DEEB=‎  ．‎ ‎15. 在半径为 ‎2 cm 的 ‎⊙O 内有长为 ‎2‎3‎ cm 的弦 AB，则此弦所对的圆心角 ‎∠AOB 等于  ．‎ ‎16. 如图所示，‎△ABC∽△AFE，EF=8‎，且 ‎△ABC 与 ‎△AFE 的相似比是 ‎3:2‎，则 BC=‎  ，写出图中所有相等的角  ．‎ ‎17. 如图所示，AB=8,AD=3,AC=6‎，当 AE=‎  时，‎△ADE∽△ACB．‎ ‎18. 所谓射影，就是正射影．其中，从一点向一条直线所引垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的  ．一条线段的两个端点在一条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的  ．‎ ‎19. 如图，BE 、 CF 分别为钝角 ‎△ABC 的两条高，已知 AE=1‎，AB=3‎，CF=4‎‎2‎，则 BC 边的长为  ．‎ ‎20. 在 ‎△ABC 中，D 是边 AC 的中点，点 E 在线段 BD 上，且满足 BE=‎1‎‎3‎BD，延长 AE 交 BC 于点 F，则 BFFC 的值为  ．‎ ‎21. 如图，已知圆 O‎1‎ 与圆 O‎2‎ 交于点 A，B，P，Q 是圆 O‎1‎ 上的两点，PA，PB 交圆 O‎2‎ 于点 M，F，QA，QB 交圆 O‎2‎ 于点 E，N，求证：MN∥EF．‎ ‎22. 如图，CD 是圆 O 的切线，切点为 D，CA 是过圆心的割线且交圆 O 于 B 点，过 B 作 ‎⊙O 的切线交 CD 于点 E，DE=‎1‎‎2‎EC．‎ 求证：‎ ‎    (1)CA=3CB；‎ ‎    (2)CA=‎3‎CD．‎ ‎23. 如图，D，E 分别为 ‎△ABC 的边 AB，AC 上的点，且不与 ‎△ABC 的顶点重合．已知 AE 的长为 m，AC 的长为 n，AD，AB 的长是关于 x 的方程 x‎2‎‎-14x+mn=0‎ 的两个根．‎ ‎    (1)证明：C，B，D，E 四点共圆；‎ ‎    (2)若 ‎∠A=‎‎90‎‎∘‎，且 m=4‎，n=6‎，求 C，B，D，E 所在圆的半径．‎ ‎24. 如图，已知圆上的弧 AC‎=‎BD ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：‎ ‎    (1) ‎∠ACE=∠BCD ；‎ ‎    (2) BC‎2‎=BE×CD．‎ ‎25. 有人玩折纸游戏，他先把一张矩形纸 ABCD 按如图（1）所示对折，设折痕为 MN．如图（2）所示，再沿 AE 折叠矩形一部分，使 B 落在折痕 MN 上，AE 与 MN 交于 P，得到 Rt△ABE，延长 EB 交 AD 于 F，得到 ‎△AEF，他认为 ‎△AEF 是一个等边三角形，他的观点是否正确？试说明理由．‎ ‎26. 如图，上面一个 Dandelin 球与圆锥面的交线为圆 S，记圆 S 所在的平面为 πʹ‎，设 π 与 πʹ‎ 的交线为 m，在椭圆上任取一点 P，连接 PF‎1‎，在 π 中过 P 作 m 的垂线，垂足为 A，过 P 作 πʹ‎ 的垂线，垂足为 B，则 AB 是 AP 在 πʹ‎ 上的射影．若 Rt△ABP 中，‎∠APB=β 为定角．‎ ‎    (1)求平面 π 与 πʹ‎ 所成二面角的大小；‎ ‎    (2)求证：PF‎1‎PA 为定值．‎ ‎27. 如图，A‎1‎A‎2‎‎=2a，F‎1‎F‎2‎‎=2c，求证：e=ca=‎cosβcosα．‎ ‎28. 已知一圆锥的母线与轴的夹角为 ‎30‎‎∘‎，一平面截圆锥得一双曲线，截面的两焦球的半径分别为 ‎2‎ 和 ‎4‎，求截线双曲线的实轴长和离心率．‎ ‎29. 如图，已知 PF‎1‎∶PF‎2‎=1∶3‎，AB=12‎，G‎1‎G‎2‎‎=20‎，求 PQ．‎ ‎30. 已知顶点为 S 的圆锥面的母线与轴线的夹角为 ‎30‎‎∘‎，又有一平面 α 与圆锥面的轴线成 θ 角，且 cosθ=‎‎4‎‎5‎，该平面与轴线的交点为 C，已知 SC=11‎，一球与锥面相切并在平面 α 的上方与 α 相切，求此内切球的半径．‎ ‎31. 如图，D,E 分别是 ‎△ABC 边 AB,AC 的中点，直线 DE 交 ‎△ABC 的外接圆于 F,G 两点，若 CF∥AB，证明：‎ ‎    (1) CD=BC；‎ ‎    (2) ‎△BCD∽△GBD．‎ ‎32. 如图，圆 O‎1‎ 与圆 O‎2‎ 内切于点 A ，其半径分别为 r‎1‎ 与 r‎2‎r‎1‎‎>‎r‎2‎ ，圆 O‎1‎ 的弦 AB 交圆 O‎2‎ 于点 C （ O‎1‎ 不在 AB 上），求证： AB:AC 为定值．‎ ‎33. 如图， A,B,C,D 四点在同一圆上， AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC=ED ．‎ ‎    (1)证明： CD∥AB ；‎ ‎    (2)延长 CD 到 F ，延长 DC 到 G ，使得 EF=EG ，证明： A,B,G,F 四点共圆．‎ ‎34. 如图，‎△ABC 内接于 ‎⊙O，AB=AC，直线 MN 切 ‎⊙O 于点 C，弦 BD∥MN，AC，BD 相交于点 E．‎ ‎    (1)求证：‎△ABE≅△ACD；‎ ‎    (2)若 AB=6 cm，BC=4 cm，求 AE 的长．‎ ‎35. 如图，‎△OAB 是等腰三角形，‎∠AOB=‎‎120‎‎∘‎，以 ‎⊙O 为圆心，OA 为半径作圆．‎ ‎    (1)证明：直线 AB 与 O 相切；‎ ‎    (2)点 C，D 在 ‎⊙O 上，且 A，B，C，D 四点共圆，证明：AB∥CD．‎ ‎36. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 上一点，F 是 BC 延长线上一点，且 CE=CF，BE 的延长线交 DF 于点 G．求证：‎△BGF∽△DGE．‎ ‎37. 如图，在 Rt△ABC 中，‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎，AD⊥BC 于 D，BE 平分 ‎∠ABC 交 AC 于点 E，EF⊥BC 于 F，求证：EF:DF=BC:AC．‎ ‎38. 如图所示，已知在平行四边形 ABCD 中，延长 AB 到 E，使 BE=‎1‎‎2‎AB，连接 ED 分别交 BC，AC 于 F，G．求 EF:FG:GD 的值．‎ ‎39. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AB，CD 的中点，S‎△ABD‎:S‎△BCD=3:7‎．求 EF 将梯形 ABCD 分成两部分的面积之比．‎ ‎40. 如图，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD‎2‎=AF⋅AB．‎ 几何证明与计算-出门考 姓名                                                                 成绩                                  ‎ ‎ 1. 如图，三角形 ABC 中，AB=AC，‎⊙O 经过点 A，与 BC 相切于 B，与 AC 相交于 D，若 AD=CD=1‎，则 ‎⊙O 的半径 r=‎  ．‎ ‎ 2. 如图，已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC，BC 的长分别为 ‎4 cm 、 ‎3 cm，以 AC 为直径作圆与斜边 AB 交于点 D，则 BD 的长为   cm．‎ ‎ 3. 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且 PBBC‎=‎‎1‎‎2‎，则 PABC‎=‎  ．‎ ‎ 4. 如图，已知三角形 ABC 内接于圆 O，AD 平分 ‎∠BAC，交 BC 于点 F，交圆 O 于点 D，过点 B 作圆 O 的切线交 AD 的延长线于点 E，令 AF=a，FD=b，DE=c，则 BE:BF=‎  ，BF=‎  ，FC=‎  ．‎ ‎ 5. 如图，EB，EC 是 ‎⊙O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是 ‎⊙O 上两点，如果 ‎∠E=‎‎46‎‎∘‎，‎∠DCF=‎‎32‎‎∘‎，则 ‎∠A 的大小为  ．‎ ‎ 6. 已知圆锥母线与轴夹角为 ‎60‎‎∘‎，平面 π 与轴夹角为 ‎45‎‎∘‎，则平面 π 与圆锥交线的离心率是  ，该曲线的形状是  ．‎ ‎ 7. 椭圆的定义．‎ ‎（1）平面上到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做  ．‎ ‎（2）用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱两底面平行时，截面是  ，当平面与圆柱两底面不平行时，截面是  ．‎ ‎ 8. 将两个半径为 ‎2 cm 的球嵌入底面半径为 ‎2 cm 的圆柱中，使两球心的距离为 ‎6 cm．一个平面分别与两个球相切，且与圆柱面的交线为一个椭圆，则该椭圆的离心率为  ．‎ ‎ 9. 已知圆柱底面半径为 b，平面 π 与圆柱母线夹角为 ‎30‎‎∘‎，在圆柱与平面交线上有一点 P 到一准线 l‎1‎ 的距离是 ‎3‎b，则点 P 到另一准线 l‎2‎ 对应的焦点 F‎2‎ 的距离是  ．‎ ‎10. 一个圆经过平行射影后得到的图形是  ．‎ ‎11. 如图所示，过 ‎⊙O 外一点 P 作一条直线与 ‎⊙O 交于 A ， B 两点．已知 PA=2‎ ，点 P 到 ‎⊙O 的切线长 PT=4‎ ，则弦 AB 的长为  ．‎ ‎12. 如图，圆 O 的半径为 ‎5 cm，点 P 是弦 AB 的中点，OP=3 cm，弦 CD 过点 P，且 CPCD‎=‎‎1‎‎3‎，则 CD 的长为   ‎ cm．‎ ‎13. 已知 PA，PB 分别切 ‎⊙O 于 A，B 两点，PA=5‎，在劣弧 AB 上取一点 C，过 C 作 ‎⊙O 的切线，分别交 PA，PB 于 D，E 两点，则 ‎△PDE 的周长等于  ．‎ ‎14. 如图，AB 是半圆 O 的直径，P 在 AB 的延长线上，PD 与半圆 O 相切于点 C，AD⊥PD．若 PC=4‎，PB=2‎，则 CD=‎  ．‎ ‎15. 已知 ‎⊙O 是 ‎△ABC 的外接圆，过点 C 的切线交 AB 的延长 线于点 D，CD=2‎‎7‎，AB=BC=3‎，则 BD=‎  ，AC=‎  ．‎ ‎16. 如图所示，在等腰三角形 ABC 中，‎∠ACB=‎‎90‎‎∘‎，点 D 在 BC 上，‎∠ADC=‎‎60‎‎∘‎，在 AD 上取点 E，使 AE∶ED=2∶1‎，过点 E 作 EF∥BC，交 AB 于 F，连接 CF 交 AD 于 P，那么 S‎△EFP‎∶S‎△DCP=‎  ．‎ ‎17. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB=2CD，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M．若 DB=9‎，则 BM=‎  ．‎ ‎18. 如图所示，四边形 ABCD 是矩形，‎∠BEF=‎‎90‎‎∘‎，‎①②③④‎ 这四个三角形能相似的是  ．‎ ‎19. 已知在梯形 ABCD 中，DC∥AB，‎∠D=‎‎90‎‎∘‎，AC⊥BC，AB=10 cm，AC=6 cm，则此梯形的面积为  ．‎ ‎20. 如图所示，在 ‎△ABC 与 ‎△AEF 中，AB=AE，BC=EF，‎∠B=∠E，AB 交 EF 于 D，则下列结论：① ‎∠AFC=∠C；② DF=CF；③ ‎△ADE∽△FDB；④ ‎∠BFD=∠CAF．其中正确的是  ．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎21. 如图，已知圆 O 是 ‎△ABC 的外接圆，AB=BC，AD 是 BC 边上的高，AE 是圆 O 的直径．过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F．‎ ‎    (1)求证：AC⋅BC=AD⋅AE；‎ ‎    (2)若 AF=2‎，CF=2‎‎2‎，求 AE 的长．‎ ‎22. 如图所示，已知 AB 为 ‎⊙O 的直径，AC 为弦，OD∥BC，交 AC 于 D，BC=4 cm．‎ ‎    (1)试判断 OD 与 AC 的位置关系；‎ ‎    (2)求 OD 的长；‎ ‎    (3)若 ‎2sinA-1=0‎，求 ‎⊙O 的直径．‎ ‎23. 已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为 ‎2‎ 的圆，另一平面与圆柱的轴成 ‎30‎‎∘‎ 角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．‎ ‎24. 如图所示，BC 为 ‎⊙O 的直径，AB‎=‎AD，以点 A 为切点的切线与 CD 的延长线交于点 E．‎ ‎    (1) ‎∠AED 是否等于 ‎90‎‎∘‎ ？为什么？‎ ‎    (2)若 AD=2‎‎5‎，ED:EA=1:2‎，求 ‎⊙O 的半径；‎ ‎    (3)在（2）的条件下，求 ‎∠CAD 的正弦值．‎ ‎25. 如图所示，AD 是 ‎△ABC 中 ‎∠BAC 的平分线，经过点 A 的 ‎⊙O 与 BC 切于点 D，与 AB，AC 分别相交于 E，F 点．求证：EF∥BC．‎ ‎26. 已知圆柱底面的半径等于 ‎2 cm，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成 ‎60‎‎∘‎，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离．‎ ‎27. 已知一圆柱面的半径为 ‎3‎，圆柱面的一截面的两焦球的球心距为 ‎12‎，求截面截圆柱面所得的椭圆的长半轴长、短半轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．‎ ‎28. 已知一平面与圆柱的母线成 ‎45‎‎∘‎ 角，该截面的两个 Dandelin 球上的点的最短距离为 ‎2‎，求截线椭圆的长轴长、短轴长和离心率．‎ ‎29. 已知圆柱底面半径为 ‎3‎，平面 β 与圆柱母线夹角为 ‎60‎‎∘‎，在平面 β 上以 G‎1‎G‎2‎ 所在直线为横轴，以 G‎1‎G‎2‎ 中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面 β 与圆柱截口椭圆的方程．‎ ‎30. 已知圆锥面 S，其母线与轴线所成的角为 ‎30‎‎∘‎，在轴线上取一点 C，使 SC=5‎，通过点 C 作一截面 δ 使它与轴线所成的角为 ‎45‎‎∘‎，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．‎ ‎31. 如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使 BD=DC，连接 AC，AE，DE．求证：‎∠E=∠C．‎ ‎32. 在长为 ‎20 m，宽为 ‎16 m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点 C），展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角 B 点安装监控摄像头，使点 B 与圆 C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内（如图阴影所示）．‎ ‎（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）‎ ‎    (1)若圆盘半径为 ‎2‎5‎ m，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；‎ ‎    (2)若监控摄像头最大水平摄像视角为 ‎60‎‎∘‎，求圆盘半径的最大值．‎ ‎33. 如图，已知线段 a,b，求作：线段 c，使 c‎2‎‎=ab．‎ ‎34. 如图，弦 AD 和 CE 相交于 ‎⊙O 内一点 F，延长 EC 与过点 A 的切线相交于点 B，且 AB=BF=FD，BC=1 cm，CE=8 cm，求 EF 和 AF 的长．‎ ‎35. 如图所示，E 是圆内两弦 AB 和 CD 的交点，直线 EF∥CB，交 AD 的延长线于 F，FG 切圆于 G．求证：‎ ‎    (1) ‎△DFE∽△EFA；‎ ‎    (2) EF=FG．‎ ‎36. 如图，AB 是 ‎⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 垂直，并与 AB 相交于点 E，点 F 为弦 CD 上异于点 E 的任意一点，连接 BF，AF 并延长交 ‎⊙O 于点 M，N．‎ ‎    (1)求证：B，E，F，N 四点共圆；‎ ‎    (2)求证：AC‎2‎+BE⋅BM=AB‎2‎．‎ ‎37. 如图所示，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EF⊥EC 交 AB 于 F，连接 FC（AB>AD）．‎ ‎    (1) ‎△AEF 与 ‎△ECF 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．‎ ‎    (2)设 ABBC‎=k，是否存在这样的 k 值，使得 ‎△AEF 与 ‎△BCF 相似？若存在，证明你的结论，并求出 k 的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎38. 如图，AD 是 ‎△ABC 边 BC 上的高，DE⊥AB，DF⊥AC．‎ ‎    (1)证明：B，C，F，E 四点共圆；‎ ‎    (2)若 AF=5‎，CF=2‎，DE=2‎‎5‎，求 AB 的长．‎ ‎39. 如图，在 ‎△ABCAB>AC 的边 AB 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AD=AE，直线 DE 和 BC 的延长线交于点 P，求证：BPCP‎=‎BDCE．‎ ‎40. 如图所示，在 ‎△ABC 中，‎∠A，‎∠B，‎∠ACB 的对边分别是 a，b，c．点 P 是 AB 上的一个动点（P 与 A，B 不重合）．连接 PC，过点 P 作 PQ∥AC 交 BC 于点 Q．‎ ‎    (1)如果 a，b 满足关系式 a‎2‎‎+b‎2‎-12a-16b+100=0‎，c 是不等式组 ‎2x-1‎‎3‎‎>x-4,‎‎2x+3<‎‎6x+1‎‎2‎ 的最大整数解，试说明 ‎△ABC 的形状；‎ ‎    (2)在（1）的条件下，设 AP=x，S‎△PCQ‎=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围．‎