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- 2021-06-23 发布
数学（文）试卷
命题：张世源 审题：邱火明 校稿：曾观育
一、选择题（共12题，每题5分）
1、要比较甲乙两位同学谁的数学成绩更加稳定，选项中最有说服力的数据是( )
A.两位同学近10次成绩的平均数 B.两位同学近10次成绩的方差
C.两位同学近10次成绩的中位数 D.两位同学近10次成绩的众数
2、为这个椭圆上的一点，则点满足（ ）
A. B.
C. D.
3、空间直角坐标系中，，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 4
4、在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）
A. 210 B. 205 C. 200 D. 195
5、为了解某校老年、中年和青年教师的身体状况，已知老、中、青人数之比为3:7:5，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中老年教师有18人，则样本容量n=（ ）
A. 45 B. 54 C. 90 D. 126
6、若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
7、袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则在下列事件中，是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A恰有1个白球和至多有1个黑球； B至少有2个白球和恰有3个黑球；
C至少有1个黑球和全是白球； D至少有1个白球和至少有1个黑球；
8、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的棱的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
9、南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“相等”是“总相等”的 （ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10、执行如图所示的程序框图，输入m=2,n=5，那么输出的m，n的值分别为 （ ）
A. 7,－3 B. －3,－3 C. 5, －3 D. 5,2
11、椭圆，分别为椭圆的两焦点，点为椭圆上一点且，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
16、甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，则甲比乙早到会面地点15分钟以上的概率为（ ）。
A. B. C. D.
二、填空题（共4题，每题5分）
13、7名学生，其中3名男生4名女生。现用抽签法从中抽一人，则抽到的是男生的概率为____。
14、命题的必要而不充分条件，则实数的最大值是____。
15、数列共10项，已知这10项数据的平均值和方差都是2；数列共10项且满足。记数列中10项数据的平均值为，方差为，则
=____。
16、如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧面都是正方形，且AA1⊥底面ABC，M是侧棱BB1的中点，则异面直线AC1和CM所成的角为____。
三、解答题（共6题，17题10分，18~22每题12分）
17、焦点在轴上的椭圆，点在椭圆上。
（1）求的值。
（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率。
18、如图，梯形中，于,于,且，现将，分别沿与翻折，使点与点重合。
（1）证明:；
（2）求四棱锥的体积。
A
F
E
D
B
C
19、某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温。
（1）求线性回归方程；（参考数据：，）
（2）根据回归方程估计当气温为10℃时的用电量。
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
20、已知某单位由50名职工，将全体职工随机按1-50编号，并且按编号顺序平均分成10组，先要从中抽取10名职工，各组内抽取的编号依次增加5进行系统抽样。
（1）若第五组抽出的号码为22，写出所有被抽出职工的号码；
（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获得体重数据的茎叶图如图所示，求该样本的中位数；
（3）在(2)的条件下，从体重不低于73公斤的职工中随机抽取两名职工，求被抽到的两名职工的体重之和等于154公斤的概率。
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围。
22、已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆C交于A、B两点且为直角，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的值。
数学（文）答案
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
B
C
C
D
A
A
B
D
D
C
二、填空题：
13、 14、-2 15、24 16、
三、解答题：
17、（1）将点P的坐标带入椭圆，解得m=2
（2）.长轴长4、短轴长、焦距、离心率
18、(1).
(2).
19、解：
把代入回归方程得，解得．
回归方程为；
当时，，估计当气温为时的用电量为30度．
20、（1）由题意，第5组抽出的号码为22.因为2＋5×(5－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为2，抽出的10名职工的号码依次分别为：2,7,12,17,22,27,32,37,42,47.
（2）这10名职工的体重中位数为：（70+73）2=71.5
（3）
从这10名职工中随机抽取两名体重不轻于73公斤的职工，共有10种不同的取法：(73,76)，(73,78)，(73,79)，(73,81)，(76,78)，(76,79)，(76,81)，(78,79)，(78,81)，(79,81)，其中体重之和大于等于154公斤的有7种．故所求概率P＝.
21、（1）∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，
根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，
也就是1﹣a≥0，解得a≤1，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；
（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，
命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与命题q必然一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：a＞1或﹣2＜a＜1．
22、（1）由题意， ，， 所以.
椭圆方程为
（2）设，，把代人，得.
因为为直角，所以，
得即
由韦达定理：，
代入上式得：，解得