2018-2019学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．圆周运动是一种常见的周期性变化现象，可表述为：质点在以某点为圆心半径为r的圆周上的运动叫“圆周运动”，如图所示，圆O上的点以点A为起点沿逆时针方向旋转到点P，若连接OA、OP，形成一个角，当角，则（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】运用求任意角的三角函数值的步骤：化正、脱周、变锐角和求值，可得所求值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数值的求法，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增，故在区间（0，1）上是增函数,故选B ‎【考点】函数的单调性 点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．‎ ‎3．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据诱导公式直接计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎4．已知向量若为实数，则＝（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出向量的坐标，然后根据向量的平行得到所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴ ，解得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的运算和向量共线的坐标表示，属于基础题．‎ ‎5．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由及即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.‎ ‎6．经过点，斜率为2的直线在y轴上的截距为（ ）‎ A． B． C．3 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】写出直线的点斜式方程，再将点斜式方程化为斜截式方程即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为直线经过点，且斜率为2，故点斜式方程为：，化简得：，故直线在y轴上的截距为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的方程，解题关键是应熟知直线的五种方程形式，属于基础题,‎ ‎7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：该几何体是正方体在两个角各挖去四分之一个圆柱，因此．故选B．‎ ‎【考点】三视图，体积．‎ ‎8．若将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据正弦型函数的图象平移规律计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图象的平移变化，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.‎ ‎9．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ）‎ A．的坐标为 B．的坐标为 C．的长为 D．的长为 ‎【答案】D ‎【解析】根据坐标系写出各点的坐标分析即可.‎ ‎【详解】‎ 由所建坐标系可得：，，，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间直角坐标系的应用，考查空间中距离的求法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎10．三角函数是刻画客观世界周期性变化规律的数学模型，单位圆定义法是任意角的三角函数常用的定义方法，是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，任意角的终边与单位圆交点坐标为因变量的函数.平面直角坐标系中的单位圆指的是平面直角坐标系上，以原点为圆心，半径为单位长度的圆.问题：已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出和的值，再根据诱导公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边与单位圆的交点为，所以，，‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角三角函数值的求法，考查诱导公式的应用，属于基础题,‎ ‎11．下列关于函数（）的叙述，正确的是（ ）‎ A．在上单调递增，在上单调递减 B．值域为 C．图像关于点中心对称 D．不等式的解集为 ‎【答案】D ‎【解析】运用正弦函数的一个周期的图象，结合单调性、值域和对称中心，以及不等式的解集，可得所求结论.‎ ‎【详解】‎ 函数（），‎ 在，单调递增，在上单调递减；‎ 值域为；‎ 图象关于点对称；‎ 由可得，解得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎12．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．‎ ‎【详解】‎ 作出直线，可得，，，‎ ‎①当时，若，当圆与直线相切，可得；‎ 当圆经过点，即，‎ 则或，故①错误；‎ ‎②当时，若，圆，当圆经过O时，‎ ‎，交点个数为2，‎ 时，交点个数为1，则，故②正确；‎ ‎③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，‎ 不可能等于3，故③正确；‎ ‎④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.‎ 二、填空题 ‎13．将角度化为弧度：________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据角度和弧度的互化公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角度和弧度的互化公式，属于基础题.‎ ‎14．已知向量，.若向量与垂直，则________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由与垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎，又与垂直，‎ 故，‎ 解得，‎ 解得.‎ 故答案为：7.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查通过向量数量积求参数的值.‎ ‎15．已知圆，直线l被圆所截得的弦的中点为.则直线l的方程是________（用一般式直线方程表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将圆的方程化为标椎方程，找出圆心坐标与半径，根据垂径定理得到直线与直线垂直，根据直线的斜率求出直线的斜率，确定出直线的方程即可．‎ ‎【详解】‎ 由已知圆的方程可得，‎ 所以圆心，半径为3，‎ 由垂径定理知：直线直线，‎ 因为直线的斜率，‎ 所以直线的斜率，‎ 则直线的方程为，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎16．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x分钟后物体的温度满足：（其中…为自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）.‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】直接利用对数的运算性质计算即可,‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：45.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据同角三角函数的关系和两角和的正弦公式计算即可；‎ ‎（2）根据同角三角函数的关系和正切的二倍角公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，所以，故 ‎∴；‎ ‎（2），∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的关系式，考查两角和的正弦公式，考查正切的二倍角公式，考查计算能力，属于常考题.‎ ‎18．如图所示，在直三棱柱（侧面和底面互相垂直的三棱柱叫做直三棱柱）中，平面，，设的中点为D，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由可证平面；‎ ‎（2）先证，再证，即可证明平面，即可得出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴四边形为矩形，∴E为中点，‎ 又D点为中点，∴DE为的中位线，∴，又平面，‎ 平面，∴平面；‎ ‎（2）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面ABC，∴，‎ 又∵，∴四边形为正方形，所以，‎ ‎∵平面，∴，和相交于C，‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的判定及性质，考查空间想象能力，属于常考题.‎ ‎19．已知，，且.‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若用和分别表示函数W的最大值和最小值.当时，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式可将化简为，进而求得函数的最小正周期；‎ ‎（2）由可求得的范围，进而可求得的最大值和最小值，最后得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴；‎ ‎（2），，，‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的计算公式和三角恒等变换公式，考查三角函数的单调性和周期性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.‎ ‎20．如图所示，在平行四边形ABCD中，若，，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）22‎ ‎【解析】（1）易得，，再由即可得解；‎ ‎（2）由可得出，再由，可得：，即，即可得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由向量的加法法则得：，，‎ ‎，‎ 因为，所以；‎ ‎（2），∴，‎ ‎∴，即，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.‎ ‎21．已知从甲地到乙地的公路里程约为240（单位：km）.某汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度x（单位：）（）的关系近似符合以下两种函数模型中的一种（假定速度大小恒定）：①，②，经多次检验得到以下一组数据：‎ x ‎0‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎120‎ Q ‎0‎ ‎20‎ ‎（1）你认为哪一个是符合实际的函数模型，请说明理由；‎ ‎（2）从甲地到乙地，这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少？‎ ‎【答案】（1）选择模型①，见解析；（2）80.‎ ‎【解析】（1）由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，即可判断选择；‎ ‎（2）将，代入函数型①，可得出的值，进而可得出总耗油量关于速度的函数关系式，进而得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）选择模型①理由：由题意可知所选函数模型应为单调递增函数，而函数模型②为一个单调递减函数，故选择模型①.‎ ‎（2）将，代入函数型①，可得：‎ ‎，则，‎ 总耗油量：，‎ 当时，W有最小值30.甲地到乙地，这辆车以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数模型的实际应用，考查逻辑思维能力，考查实际应用能力，属于常考题.‎ ‎22．如图为某区域部分交通线路图，其中直线，直线l与、、都垂直，垂足分别是点A、点B和点C（高速线右侧边缘），直线与、与的距离分别为1米、2千米，点M和点N分别在直线和上，满足，记.‎ ‎（1）若，求AM的长度；‎ ‎（2）记的面积为，求的表达式，并问为何值时，有最小值，并求出最小值；‎ ‎（3）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2），当时，；（3）.‎ ‎【解析】（1），，，由即可得解；‎ ‎（2）用含有的式子表示出和，得出，根据的范围得出的最小值；‎ ‎（3）用含有的式子表示出，利用三角恒等变换和正弦函数的值域得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知:，即，‎ ‎，所以；‎ ‎（2），，，，‎ ‎，，‎ ‎，时，取得最大值1，；‎ ‎（3），‎ 由题意可知，令，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的综合应用，考查逻辑思维能力和计算能力，考查对基本知识的掌握，考查分析能力，属于中档题.‎