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- 2021-06-23 发布
2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（ ）
A．e2 B．e C． D．ln 2
2．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣1
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=
C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx
4．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
5．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（ ）
A．（0，1） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
6．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0
7．函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（ ）
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）=，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ）
A．150 B．200 C．250 D．300
9．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
11．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）
12．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（ ）
A．﹣log20152014 B．1
C．﹣1+log20152014 D．﹣1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．一质点按规律s=2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为 m/s，在t=1时的瞬时速度为 m/s．
14．如图，函数y=﹣x2+2x+
1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是 ．
15．函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是 ．
16．已知函数f（x）=﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算下列定积分．
（1）
（2）设，则．
18．已知曲线y=x3，
（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．
19．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
22．已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
2016-2017学年福建省泉州市南安市柳城中学高二（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（ ）
A．e2 B．e C． D．ln 2
【考点】导数的运算．
【分析】先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．
【解答】解：∵f（x）=xln x，（x＞0）
∴f′（x）=lnx+1，
∵f′（x0）=2，
∴f′（x0）=lnx0+1=2，
解得x0=e，
∴x0的值等于e．
故选：B．
2．对任意的x，有f′（x）=4x3，f（1）=﹣1，则此函数解析式（ ）
A．f（x）=x3 B．f（x）=x4﹣2 C．f（x）=x3+1 D．f（x）=x4﹣1
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则，求出导数的原函数为f（x）=x4+c（c为常数），代入值计算即可得到c的值．
【解答】解：∵f′（x）=4x3，
∴f（x）=x4+c（c为常数），
∵f（1）=﹣1，
∴1+c=﹣1，
∴c=﹣2，
∴f（x）=x4﹣2，
故选：B．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+ B．（log2x）′=
C．（3x）′=3xlog3e D．（x2cosx）′=﹣2xsinx
【考点】导数的运算．
【分析】由导数的运算法则逐个选项验证可得．
【解答】解：选项A，（x+）′=1﹣，故错误；
选项B，（log2x）′=，故正确；
选项C，（3x）′=3xln3，故错误；
选项D，（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx，故错误．
故选：B
4．曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果．
【解答】解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0≤x≤）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，
故选：C．
5．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（ ）
A．（0，1） B．（0，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数为y′，再解y'＜0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．
【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，
令y′=1﹣＜0，得x＜1
∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．
因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）
故选：A．
6．若函数f（x）=ax4+bx2+c满足f′（1）=2，则f′（﹣1）=（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．0
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则先求导，再判断其导函数为奇函数，问题得以解决
【解答】解：∵f（x）=ax4+bx2+c，
∴f′（x）=4ax3+2bx，
∴f′（﹣x）=﹣4ax3﹣2bx=﹣f′（x），
∴f′（﹣1）=﹣f′（1）=﹣2，
故选：B．
7．函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）（ ）
A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，然后推出结果．
【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1），
可得f′（x）=3x2﹣3，令3x2﹣3=0，可得x=±1，
±1∉（﹣1，1），x∈（﹣1，1），f（x）＜0．
函数f（x）=x3﹣3x（﹣1＜x＜1）是减函数，没有最值．
故选：C．
8．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R（x）=，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ）
A．150 B．200 C．250 D．300
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】先根据“利润=收入﹣成本”列出总利润关于x的函数表达式，由题意这是一个分段函数，再分别求出当0≤x≤390，及x＞390时的总利润的最大值，通过比较得到整个函数的最大值．
【解答】解：由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x，
又总收入R与年产量x的关系是R（x）=，
∴总利润Q（x）=，即Q（x）=
①当0≤x≤390时，Q′（x）=﹣，令Q′（x）=0得x=300，
由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此时Q（x）是减函数，
由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此时Q（x）是增函数，
∴当0≤x≤390时，Q（x）max=Q；
②当x＞390时，Q（x）=﹣100x+70090是减函数，∴Q（x）＜Q；
∴当x=300时，Q（x）的最大值为40000．
故选D
9．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0
的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．
【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；
﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；
x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．
则符合上述条件的只有选项A．
故选A．
10．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（ ）
A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．
【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），
令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；
∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，
∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．
∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴极大值等于0或极小值等于0．
∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，
∴c=﹣2或2．
故选：A．
11．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=ex+sinx，则（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（1） C．f（3）＜f（2）＜f（1） D．f（3）＜f（1）＜f（2）
【考点】正弦函数的对称性；函数的值；正弦函数的单调性．
【分析】根据函数的对称性和函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：∵f（x）=f（π﹣x），则f（x）关于x=对称
∴f（3）=f（π﹣3），f（2）=f（π﹣2）
当时，y=ex+y=sinx，单调递增，
∴此时函数f（x）=ex+sinx是增函数．
∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，
∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），
即f（3）＜f（1）＜f（2）．
故选：D．
12．设曲线y=xn+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x3+…+log2015x2014的值为（ ）
A．﹣log20152014 B．1
C．﹣1+log20152014 D．﹣1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】要求log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014，需求x1•x2•…•x2014的值，只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：对y=xn+1（n∈N*）求导，得y′=（n+1）xn，
令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点
（1，1）处的切线方程为y﹣1=k（xn﹣1）=（n+1）（xn﹣1），
不妨设y=0，可得xn=，
则x1•x2•x3…•xn=••…•=，
从而log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014
=log2015（x1•x2…x2014）
=log2015=﹣1．．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）
13．一质点按规律s=2t3运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为 14 m/s，在t=1时的瞬时速度为 6 m/s．
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】根据平均速度的求解公式平均速度=位移÷时间，建立等式关系即可，利用导数的物理意义即可得出．
【解答】解：在时间段[1，2]内的平均速度为=14，
v（t）=s′=6t2，
把t=1代入可得t=1时的瞬时速度为v（1）=s′=6，
故答案为：14，6．
14．如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是 ．
【考点】定积分．
【分析】本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx，计算后即得答案．
【解答】解：函数y=﹣x2+2x+1与y=1的两个交点为（0，1）和（2，1），
所以封闭图形的面积等于S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx
=∫02（﹣x2+2x+1﹣1）dx
=∫02（﹣x2+2x）dx
=（﹣+x2）|=﹣+4=．
故答案为：
15．函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，则a的取值范围是 ﹣≤a≤ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】问题转化为y′=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，结合二次函数的性质得到不等式，解出即可．
【解答】解：若函数y=x3+ax2+x在R上是增函数，
则只需y′=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，
∴只需△=4a2﹣12≤0即可，
解得：﹣≤a≤，
故答案为：﹣≤a≤．
16．已知函数f（x）=﹣2x2+lnx（a＞0）．若函数f（x）在[1，2]上为单调函数，则a的取值范围是 （0，]∪[1，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出原函数的导函数，由函数f（x）在[1，2]上为单调函数，得到x∈[1，2]时，f′（x）=≥0恒成立，或f′（x）=≤0恒成立，分离参数a后引入新的辅助函数h（x）=4x﹣，由单调性求得其在[1，2]上的最值得答案．
【解答】解：由f（x）=﹣2x2+lnx，得f′（x）=，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
∴x∈[1，2]时，f′（x）=≥0恒成立，或f′（x）=≤0恒成立，
即对x∈[1，2]恒成立，或对x∈[1，2]恒成立．
设h（x）=4x﹣，
∵函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（2）=4×2﹣=①，或②．
解①得，0＜a≤，解②得，a≥1．
∴a的取值范围是（0，]∪[1，+∞）．
故答案为：（0，]∪[1，+∞）．
三、解答题（本大题共6小题，共60分，解答题影写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算下列定积分．
（1）
（2）设，则．
【考点】定积分．
【分析】（1）根据绝对值函数，分段求出定积分即可，
（2）根据分段函数，分别求出定积分即可．
【解答】解：（1）=（x+1）dx+（﹣x﹣1）dx，
=（x2+x）|﹣（x2+x）|，
=2+2﹣+1﹣（﹣1﹣+3），
=；
（2）设，
则=x2dx+（2﹣x）dx，
=x3|+（2x﹣x2）|，
=+（4﹣2）﹣（2﹣），
=．
18．已知曲线y=x3，
（1）求曲线在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，f（x））的切线方程．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，可得在x=2处切线的斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点坐标为（x0， x03），求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，代入点P，解方程可得切点的横坐标，可得切线的斜率和切线方程．
【解答】解：（1）y=x3，导数y′=x2，
曲线在点P（2，f（2））处的切线斜率为4，
切点为（2，），
可得曲线在点P（2，f（2））处的切线方程为y﹣=4（x﹣2），
12x﹣3y﹣16=0；
（2）设过点P（2，）的直线与曲线相切，
切点坐标为（x0， x03），
所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点P（2，），
所以，
解得x0=2或x0=﹣1，
当x0=2时，切线方程为12x﹣3y﹣16=0；
当x0=﹣1时，切线方程为3y﹣3x﹣2=0．
所以所求切线方程为12x﹣3y﹣16=0或3x﹣3y+2=0．
19．设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．
（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．
【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）
（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．
因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．
最大值在右端点取到．
所以a=．
20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
【解答】解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，
则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30，
当x=10.2时，S取最大值
又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．
即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元
21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+c＜c2恒成立，求c的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．
【分析】（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+c＜c2，即可求出c的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b，
由题意：即
解得
∴，f′（x）=3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者.；
∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．
要使，只需，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或．
∴c的取值范围为．
22．已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f′（x）g′（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；
（2）先求出f′（x）=0的根以及g′（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．
【解答】解：f′（x）=3x2+a，g′（x）=2x+b．
（1）由题得f′（x）g′（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞）
（2）令f′（x）=0，得x=．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）=ab＜0，
所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0；
当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）＞0．
因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，
从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b≤0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，
又当a=﹣，b=0时，f′（x）g′（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f′（x）g′（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．
2017年5月17日
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