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- 2021-06-23 发布
2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设x∈R，向量，且，则=（ ）
A． B． C．10 D．
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（ ）
A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼
5．函数的值域为（ ）
A． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]
6．如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（ ）
A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．50 B．50.5 C．51.5 D．60
10．用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．对于函数f（x）=，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]，（n∈N*，且n≥2）．令集合M={x|f2007（x）=x，x∈R}，则集合M为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是 ．
15．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．设Tn=S1+S2+…+Sn，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6= ．
16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2
其中正确的序号是： ．
三、解答题（共70分）
17．已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．
（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求bn的前n和Sn．
18．如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠ABB1=45°．
（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；
（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．
19．如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．
（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；
（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：．
21．已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范围．
选修4-5：不等式选讲
23．设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．
2016-2017学年云南师大附中高三（上）月考数学试卷（理科）（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）
1．设集合A={x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】交集及其运算．
【分析】先求出集合A，从而求出集合A∩Z，由此能求出集合A∩Z中元素的个数．
【解答】解：∵集合A={x|x2≤7}={x|﹣}，Z为整数集，
∴集合A∩Z={﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴集合A∩Z中元素的个数是5个．
故选：C．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解： ==，
在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．
故选：B．
3．设x∈R，向量，且，则=（ ）
A． B． C．10 D．
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】向量的数量积先求出x的值，再求出向量的模即可．
【解答】解：向量，且，
∴x﹣2=0，
解得x=2，
∴==，
故选：A．
4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（ ）
A．2楼 B．3楼 C．4楼 D．8楼
【考点】函数的值．
【分析】同学们总的不满意度y=n+，由此利用基本不等式能求出同学们认为最适宜的教室应在3楼．
【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y=n+≥2=4，
当且仅当n=，即2≈3时，不满意度最小，
∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．
故选：B．
5．函数的值域为（ ）
A． B． C．[﹣2，2] D．[﹣1，1]
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】通过两角差的余弦函数化简函数的表达式，利用两角差的正弦函数化为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的值域．
【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cos（x﹣）
=sinx﹣cosx﹣sinx
=sinx﹣cosx
=sin（x﹣）．
∴函数f（x）=sinx﹣cos（x﹣）的值域为[﹣1，1]．
故选：D．
6．如图所示的程序框图，若f（x）=logπx，g（x）=lnx，输入x=2016，则输出的h（x）=（ ）
A．2016 B．2017 C．logπ2016 D．ln2016
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图求出h（x）的解析式即可．
【解答】解：x=2016时，f（x）=logπ2016＜g（x）=ln2016，
故h（x）=f（x），
故选：C．
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A=，且bcosC=3ccosB，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理．
【分析】利用余弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，再使用余弦定理消去a，得到关于b，c的方程，即可解出的值．
【解答】解：△ABC中，A=，且bcosC=3ccosB，
∴b×=3c×，
即a2=2b2﹣2c2；
又cosA==﹣，
∴b2+c2﹣a2+bc=0，
∴3c2﹣b2+bc=0，
即﹣（）2++3=0，
解得=或（不合题意，舍去），
即的值为．
故选：B．
8．函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）=e2，则不等式f（x）＞ex的解是（ ）
A．（2，+∞） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，ln2）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=
，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln2）=2，求得g（ln2）=1，继而求出答案
【解答】解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，
令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，
∵不等式f（x）＞ex，
∴g（x）＞1，
∵f（2）=e2，
∴g（2）==1，
∴x＞2，
故选：A．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．50 B．50.5 C．51.5 D．60
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：
三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，
三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，
∵AB⊥平面BEFC，
∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5
∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+（5+2）×4+（5+2）×5+3×5=60．
故选：D．
10．用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，利用导数性质求出当x=时，此圆柱体积最大．由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比．
【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，
∴圆柱的体积V（X）=πy2x==π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），
∴V′（x）=π（﹣3x2+4R2），
列表如下：
x
（0，）
（，2R）
V′（x）
+
0
﹣
∴当x=时，此圆柱体积最大．
∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，
∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：
=．
故选：C．
11．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λμ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．
【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±，设焦点F（c，0），则
A（c，），B（c，﹣），P（c，），
因为=λ+μ
所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），
所以λ+μ=1，λ﹣μ=，
解得：λ=，μ=，
又由，得：，
解得：，
所以，e=，
故选：D．
12．对于函数f（x）=，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]，（n∈N*，且n≥2）．令集合M={x|f2007（x）=x，x∈R}，则集合M为（ ）
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值即可．
【解答】解：由题设可知f2（x）=﹣，f3（x）=﹣，f4（x）=x，
f5（x）=，f6（x）=﹣，f7（x）=f3（x）=﹣，
故从f5（x）开始组成了一个以f（x）为首项，以周期为4重复出现一列代数式，
由2007=3+501×4得f2007（x）=f3（x），故﹣=x整理得，x2=﹣1，无解，
故选A．
二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于 15 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得B（3，3），
化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，
由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．
故答案为：15．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意画出图形，把圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+
c=0的距离为1转化为原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为，再由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：如图，
由题意可知，原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为．
由点到直线的距离公式可得：，
∴c=．
故答案为：．
15．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．设Tn=S1+S2+…+Sn，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T6= 160.5 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数通项公式及等差中项性质，列出方程组，由此能求出结果．
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．
设Tn=S1+S2+…+Sn，a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，
∴，
解得，
T6=16++++
+=160.5．
故答案为：160.5．
16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2
其中正确的序号是： ④ ．
【考点】三角函数线．
【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]，与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．
【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，
∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，
∴α2＞β2．
故答案为④．
三、解答题（共70分）
17．已知数列{an}中，a1=4，an=an﹣1+2n﹣1+3（n≥2，n∈N*）．
（1）证明数列{an﹣2n}是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求bn的前n和Sn．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）利用已知条件转化推出是以2为首项，3为公差的等差数列，然后求解通项公式．
（2）化简bn=，然后利用错位相减法求和求解即可．
【解答】解：（1）证明：当n≥2时，，
∴，
又a1=4，∴a1﹣2=2，
故是以2为首项，3为公差的等差数列，
∴，
∴．
（2），
∴=，
令，①
则，②
①﹣②得：，
==，
∴．
18．如图所示的三棱台中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=1，AB=2，BC=4，∠
ABB1=45°．
（1）证明：AB1⊥平面BCC1B1；
（2）若点D为CC1中点，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）过点B1作B1N⊥AB．说明△BNB1为等腰直角三角形，证明AB1⊥BB1．AA1⊥BC．AB⊥BC，推出BC⊥平面ABB1A1，得到BC⊥AB1，然后证明AB1⊥平面BCC1B1．
（2）建立空间直角坐标系A﹣xyz．如图，求出平面ABD的一个法向量．平面BCC1B1的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【解答】（1）证明：如图，过点B1作B1N⊥AB．
∵∠B1BN=45°，
故△BNB1为等腰直角三角形，
∴B1N=BN=1，
∴，∴，
∴AB1⊥BB1．
又∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC．
又AB⊥BC，且AB∩AA1=A，
∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，
又∵BC∩BB1=B，
∴AB1⊥平面BCC1B1．
（2）解：如图，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），B1（1，0，1），C1（1，2，1），∴
，
∴，．
由（1）知，平面BCC1B1的一个法向量为．
设平面ABD的一个法向量为，
则即
令y=1，则∴，．
故二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．
19．如图所示，小波从A街区开始向右走，在每个十字路口都会遇到红绿灯，要是遇到绿灯则小波继续往前走，遇到红灯就往回走，假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的，且绿灯亮的概率都是，红灯亮的概率都是．
（1）求小波遇到4次红绿灯后，处于D街区的概率；
（2）若小波一共遇到了3次红绿灯，设此时小波所处的街区与A街区相距的街道数为ξ（如小波若处在A街区则相距零个街道，处在D，E街区都是相距2个街道），求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）设小波遇到4次绿灯之后处于D街区为事件A，则事件A共有三个基本事件，由此能求出小波遇到4次绿灯后，处于D街区的概率．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ分布列和数学期望．
【解答】解：（1）设小波遇到4次红绿灯之后处于D街区为事件A，
则事件A共有三个基本事件，
即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿，绿红红绿，绿绿红红}．
故．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
．
故分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
∴．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，m），B为抛物线的准线与x轴的交点，若|AB|=2．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上任取一点P（x0，y0），过点P作两条直线分别与抛物线另外相交于点M和点N，连接MN，若直线PM，PN，MN的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为k1，k2，k3，求证：．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】（1）求出A的坐标，利用|AB|=2，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）求出M，N的坐标，确定相应的斜率，即可证明结论．
【解答】（1）解：，，
∵，代入解得：p=2或p=﹣14（舍去），
所以抛物线的方程为y2=4x．
（2）证明：设点M（x1，y1），N（x2，y2），
因为点P（x0，y0）在抛物线y2=4x上，所以，
故直线PM的方程为，
由得，
此方程的两个根分别为y=y0，y=y1，，
∴，，，
同理可得．，化简得，
故，
∴．
21．已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）ex．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出f（x）的最大值，问题转化为m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），根据函数的单调性求出m的范围即可．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x2﹣x﹣1）ex，
∴f′（x）=（x2+x﹣2）ex，
当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＞0时，解得x＞1或x＜﹣2，函数单调递增，
当f′（x）=（x2+x﹣2）ex＜0时，解得﹣2＜x＜1，函数单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数，在（﹣2，1）上为减函数；
（2）f′（x）=（x+2）（x﹣a）ex，
a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，
所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），
故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，
|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+mea恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+mea恒成立，
即m＞（e﹣2+1）恒成立，
令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，
所以m＞．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C上的点M（1，）对应的参数α=，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点P的极坐标是（，），直线l过点P，且与曲线C交于不同的两点A、B．（1）求曲线C的普通方程；
（2）求|PA|•|PB|的取值范围．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由椭圆参数方程可得
，解得a，b．可得曲线C的参数方程，化为直角坐标方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程．
（II）写出直线l的参数方程，代入曲线C的方程，利用根与系数的关系可得：|PA|•|PB|=﹣t1t2，进而得出．
【解答】解：（I）由椭圆参数方程可得，解得a=，b=1．∴曲线C的参数方程为，其直角坐标方程为：，可得ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=2．
（II）点P的极坐标是（，）化为直角坐标为（0，），直线l的参数方程为，代入曲线C的方程可得：（1+sin2θ）t2+4sinθt+2=0，
∴|PA|•|PB|=﹣t1t2=∈[1，2]
选修4-5：不等式选讲
23．设f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p2+q2+r2的最小值．
【考点】绝对值三角不等式；分段函数的应用．
【分析】（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；
（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可求p2+q2+r2的最小值．
【解答】解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣x﹣1≥2；
﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x+1∈（1，2）；
x≥0时，f（x）=x+1≥1
∴f（x）的最小值为1，即a=1；
（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，
∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2
=（p+q+r）2=32=9，
即p2+q2+r2≥3，∴p2+q2+r2的最小值为3．