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- 2021-06-23 发布
2019—2020学年度第一学期期中考试
高二数学试卷（文科）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，试卷满分：150分，考试时间：120分钟.
考试范围：必修33和选修1-1第一二章.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.
1.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题“”的否定是：
考点：全称命题与特称命题
2.已知双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的的方程，可直接得出结果.
【详解】令，得，
即双曲线双曲线的渐近线方程为.
故选A
【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.
3.若,则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：由可知，所以“”是“”的充分而不必要条件
考点：充分条件与必要条件
4.椭圆的左右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点，则的周长为（ ）
A. B. 6 C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义，得到，进而可求出结果.
【详解】由题意，根据椭圆定义，得到，
所以的周长为：.
故选C
【点睛】本题主要考查椭圆中三角形的周长，熟记椭圆的定义即可，属于基础题型.
5.为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据茎叶图中数据，结合平均数与方差的计算公式即可求出结果，属于常考题型.
【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两地某月14时的气温抽取的样本温度分别为：
甲：26，28，29，31，31；乙：28，29，30，31，32；
所以，甲地该月14时的平均气温为：；
乙地该月14时的平均气温为：；故；即①正确；
又甲地该月14时温度的方差为：
乙地该月14时温度方差为：
；
故；即④正确.
故选B
【点睛】本题主要考查由茎叶图求数据的平均数与方差，熟记公式即可，属于常考题型.
6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量i值所要满足的要求，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为10．
可得判断框内的条件为？．
故选B．
【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题．
7.袋中有大小相同4个小球，编号分别为从袋中任取两个球（不放回）,则这两个球编号正好相差的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：任意取两个的种数为，编号差1的种数有3种，所以概率为
考点：古典概型概率
8.已知是双曲线上的一点，是上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将代入双曲线方程，求得两焦点的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，得到关于的不等式，代入，解不等式得到的横坐标的范围.
【详解】因为双曲线方程
所以，
所以，所以
由可得
代入得
，
解得
而
所以或
所以的范围为
故选：D.
【点睛】双曲线的几何性质，向量的数量积运算，属于简单题.
9.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下的统计资料：
1
2
3
4
5
5
6
7
8
10
由资料可知对呈线性相关关系，且线性回归方程为，请估计使用年限为20年时，维修费用约为（ ）
A. 26.2 B. 27 C. 27.6 D. 28.2
【答案】C
【解析】
【分析】
先由表格中数据求出，的平均值，再由回归直线必过样本中心求出，进而可求出结果.
【详解】由题意可得：，，
因此这组数据的样本中心点是，由回归直线必过样本中心可得：，
解得；因此线性回归方程为，
所以使用年限为20年时，维修费用约为.
故选C
【点睛】本题主要考查线性回归直线方程，熟记线性回归直线必过样本中心即可，属于常考题型.
10.已知是抛物线的焦点,准线与轴的交点为，点在抛物线上,且,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：过N作NE垂直于准线与E．由抛物线定义得：|NE|=|NF|．在Rt△ENM中，因为|EN|=|NF|=|MN|，所以∠EMN=30°．故∠FMN=90°-∠EMN=60°
考点：抛物线的简单性质
11.已知双曲线方程为，过点作直线与该双曲线交于，两点，若点恰好为中点，则直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先设，，由题意得到，，两式作差整理，结合题意，求出直线斜率，即可得出直线方程.
【详解】设，，由题意可得：，两式作差可得：，
即，
又点恰好为中点，所以直线的斜率为：，
因此，直线的方程为：，即.
故选A
【点睛】本题主要考查双曲线中点弦所在直线方程问题，熟记双曲线的几何性质与直线的斜率公式即可，属于常考题型.
12.已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先设椭圆的长轴长为，短轴长为；双曲线的实轴长为，虚轴长为；根据题意得到，推出，再结合基本不等式以及椭圆与双曲线离心率的范围，即可得出结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为；双曲线的实轴长为，虚轴长为；
因为椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，
所以，平方可得：，由此可得：，
即，也即，所以，
因为，都是正数，
所以，因为，分别是椭圆与双曲线的离心率，显然不相等，
因此，即取值范围为.
故选D
【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率问题，熟记椭圆与双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题
13.一个单位共有职工人，其中男职工人，女职工人．用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为的样本，应抽取女职工 人．
【答案】20
【解析】
试题分析：设女职工抽取人数为
考点：分层抽样
14.若点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为_________
【答案】11
【解析】
【分析】
先记双曲线左右焦点分别为，，根据题意求出点纵坐标，得到，再由双曲线定义，即可得出结果.
【详解】记双曲线左右焦点分别为，，
因为点在双曲线上，它的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，
所以点横坐标为：，因此，解得，
因此，由双曲线定义可得：，
所以或（舍）.
故答案为11
【点睛】本题主要考查双曲线上的点到焦点的距离，熟记双曲线的定义即可，属于基础题型.
15.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若
是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率．
【详解】是正三角形，
，
直线AB与椭圆长轴垂直，
是正三角形的高，，
中，设，，
，
因此，椭圆的长轴，焦距
椭圆的离心率为．
故答案为
【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，当时，的面积为 .
【答案】1
【解析】
由条件知．，又根据椭圆定义得：；于是
故的面积为
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设命题对任意实数，不等式恒成立；命题方程表示焦点在轴上的双曲线．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题：“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由于双曲线焦点在轴上，所以，解得；（2）不等式恒成立，等价于判别式为非正数，解得.若或真、且假，则这两个命题一真一假.分别求出假真和真假时的取值范围，取并集得到的取值范围.
试题解析：
（1）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.
∴，得；∴当时，为真命题，………………………3分
（2）∵不等式恒成立，∴，∴，
∴当时，为真命题．6分
∵为假命题，为真命题，∴一真一假；．．7分
①当真假，②当假真无解
综上，的取值范围是．10分
考点：一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性.
18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从某地区随机调查了100个用户，得到用户对产品的满意度评分频率分布表如下：
组别
分组
频数
频率
第一组
10
0.1
第二组
20
0.2
第三组
40
0.4
第四组
25
0.25
第五组
5
0.05
合计
100
1
（1）根据上面的频率分布表，估计该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率；
（2）请由频率分布表中数据计算众数、中位数，平均数，根据样本估计总体的思想，若平均分低于75分，视为不满意.判断该地区用户对产品是否满意？
【答案】（1）0.7（2）样本众数约为75，中位数为75, 平均数约,该地区用户对产品是不满意的
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，直接计算即可得出结果；
（2）根据众数、中位数，平均数的概念，结合题中数据直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）由题中数据可得：该地区用户对产品的满意度评分超过70分的概率为
；
（2）由题中数据可得：满意度评分在的频率最高，因此样本众数约为75；
设中位数约为，则由题意可得：，得，
即中位数为75；
又各组中间值分别为55、65、75、85、95，
故平均值约；
∵，
∴该地区用户对产品是不满意的.
【点睛】本题主要考查由频率分布表求中位数、众数，以及平均数，熟记概念即可，属于基础题型.
19.已知椭圆经过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两个不同的点是坐标原点，求的面积．
【答案】(I) (II)
【解析】
【分析】
(I)将两点坐标代入椭圆方程中，求出的值，而后求出椭圆的方程；
(II)直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，设直线与轴交于点，利用S＝|OP||y1－y2| 进行求解．
【详解】解：(1)由题意得: , 解得:
即轨迹E的方程为＋y2＝1.
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故可设AB的方程为x＝y＋1.
由消去x得5y2＋2y－3＝0，
所以
设直线与轴交于点
S＝|OP||y1－y2|
S＝.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系．
20.已知抛物线：上一点到焦点距离为1，
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点与抛物线交于两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）利用抛物线的定义建立方程，求出p，即可求出抛物线C的方程；（2）联立得，利用OM⊥ON，，即，求出k，即可求直线的方程
试题解析：(1)依据抛物线的定义知：到抛物线焦点F的距离为，所以，抛物线的方程为
（2）依题意，直线的方程设为，联立得，
由，得；
∴即
∴即解得
所以直线的方程设为即
考点：1.抛物线方程；2.直线与抛物线相交的相关问题
21.某乐园按时段收费，收费标准为：每玩一次不超过小时收费10元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人参与但都不超过小时，甲、乙二人在每个时段离场是等可能的．为吸引顾客，每个顾客可以参加一次抽奖活动．
(1) 用表示甲乙玩都不超过小时的付费情况，求甲、乙二人付费之和为44元的概率；
(2)抽奖活动的规则是：顾客通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数，并按如右所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该顾客中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求顾客中奖的概率．
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析：（1）设甲付费a元，乙付费b元，其中a，b=10，18，26，34，由此利用列举法能求出“甲、乙二人付费之和为44元”的概率；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1点（x，y）在正方形OABC内，作出条件的区域，由此能求出顾客中奖的概率
试题解析：(1)设甲付费元，乙付费元，其中．
则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为：
共16种情形．
其中，这种情形符合题意．
故“甲、乙二人付费之和为元”的概率为
（2）由已知点如图的正方形内，
由条件
得到的区域为图中阴影部分
由，令得；令得；
由条件满足的区域面积．
设顾客中奖的事件为，则顾客中奖的概率
考点：1.古典概型概率；2.几何概型概率
22.已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上．
（1）求椭圆方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为
，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知得，，解方程即可得解；
（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆联立得．设，，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过定点（2，0）．
试题解析：
（1）由椭圆的离心率得，其中，
∴，∴解得，，，
∴椭圆的方程为．
（2）由题意，知直线存在斜率，设其方程为．由
消去，得．设，，
则，
即，，.
且
由已知，得,即．
化简，得
∴整理得．
∴直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.