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- 2021-06-23 发布
兰州一中2018-2019-1学期高二年级期末考试试题数 学（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆上一点到一个焦点的距离为4，则点到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2. 已知函数，，其中为实数，为的导函数.若，则的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若抛物线的焦点坐标是，则等于( )
A.4 B. C.8 D.
5. 是过抛物线焦点的弦，且,则线段的中点横坐标为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6. 已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )
A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元
7. 下列命题中假命题为( )
A. 已知函数在处导数存在，若，则的极值点为.
B. “若，则”的逆否命题为“若，则”.
C. 若，则方程有实根.
D. 命题“存在，使得”的否定为“任意，都有”.
8. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 若是函数的极值点，则的极小值为( )
A. B. C. D.1
10. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
11. 椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线斜率为，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 定义在上的函数满足：，则不等式(其中 为自然对数的底数)的解集为( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．有一机器人的运动方程为 (是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为________.
14. 若函数的导函数为,则________.
15. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”.已知四位歌手有且只有一位说了假话，则获奖的歌手是________.
16. 已知是双曲线的右顶点，过左焦点与 轴平行的直线交双曲线、两点，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
(1)若椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，且经过两点，
(，)，求椭圆方程.
(2)已知双曲线与圆. 若双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.
18.（本小题满分12分）
设命题：实数满足 (其中)，
命题：实数满足
(1)若，且为真命题，求实数的取值范围.
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．（本小题满分12分）
已知函数.
(1) 设，求曲线在点处的切线方程.
(2)设，若函数有三个不同零点，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程.
(2)过点的直线交椭圆于两个不同的点、，，求直线的方程．
21. （本小题满分12分）
已知抛物线：的焦点为，抛物线与直线交于两点（为坐标原点）,且.
(1)求抛物线的方程.
(2)不过原点的直线垂直，且与抛物线交于不同的两点、，若坐标原点在以线段为直径的圆上，求的面积.
22. （本小题满分12分）
已知为函数的导函数，且 的两个零点为.
(1)求的单调区间.
(2)若的极小值为，当时，恒成立，
求实数的取值范围.
兰州一中2018-2019-1学期
高二数学（文）期末试题参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
A
C
A
D
C
B
B
D
提示：
11、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB中点M(x0，y0)，则kOM＝＝.得＝.又＝－1，＝＝.
12、设g(x)＝exf(x) (x∈R)，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)＋f′(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在定义域上单调递增，因为exf(x)> 4，所以g(x)>4.又因为g(0)＝e0f(0)＝4，所以g(x)>g(0)，所以x>0.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．1 14． 15．乙 16．2
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题10分）
(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，
求椭圆方程.
(2)已知双曲线与圆. 若双曲线的焦距为，它的两条渐近线恰好与圆相切，求双曲线的方程.
解: (1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).由解得m＝，
n＝.∴椭圆方程为＋＝1. ……………5分
(2)由，知. 渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线的方程为－＝1. ……………10分
18. （本小题12分）
设命题：实数满足 (其中)，命题：实数满足
(1)若，且为真命题，求实数的取值范围.
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解 (1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得10，∴A＝{x|a5，解得0且c－<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x2∈，x3∈，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的单调性知，当且仅当c∈时，函数f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点. ……………12分
20．（本小题12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，点在椭圆上．
(1) 求椭圆的标准方程.
(2)过点的直线交椭圆于两个不同点、，若，求直线的方程．
解： (1)设椭圆C的方程为＋=1(a>b>0)，因为椭圆的左焦点为F1(－，0)，设椭圆的右焦点为F2(，0),由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2，从而b=1，
所以椭圆C的方程为 ＋y2＝1． ………………5分
(2)记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可设直线AB的方程为x＝my＋1．
由消去x得(4＋m2)y2＋2my－3＝0，
所以则，化简得解得m2＝1或（舍），故m＝±1．
故直线AB的方程为x＝±y＋1，即x＋y－1＝0或x－y－1＝0为所求． ……………12分
（注：若设直线的方程为， 酌情给分）
21. （本小题12分）
已知抛物线：的焦点为，抛物线与直线交于两点（为坐标原点）,且.
(1)求抛物线的方程.
(2)不过原点的直线垂直，且与抛物线交于不同的两点、，若坐标原点
在以线段为直径的圆上，求的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x. ………………5分
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24. ………………12分
（若设方程为 ，酌情给分）
22. 已知为函数的导函数，且的两个零点为.
(1)求的单调区间.
(2)若的极小值为，当时，恒成立，求实数的取值范围.
解 (1)f′(x)＝＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于ex>0.
令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0，
∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同.又因为a>0，所以－30，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
故f(x)单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). ……6分
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
所以有解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.因为f(x)的单调递增区间是(－3，0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞).所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，
又f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
，即所求范围为 ………………12分