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- 2021-06-23 发布
2018-2019学年湖南省衡阳市第一中学高二上学期第一次月考理科数学试题
命题人： 审题：
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.）
1．已知命题，则是（ D ）
A．
B．
C．
D．
2．直线与椭圆的位置关系为 （ C ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
3．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ B）
A．5 B．8C．15 D．20
4．已知命题，命题，则下列命题中的真命题为（ C ）
A．B．C．D．
5．不等式成立的一个必要不充分条件是（C ）
A．B．C．D．
6．若椭圆的离心率为，则实数( A )
A．B． C． D．
7．是椭圆上的动点，过点作椭圆长轴的垂线,垂足为点,则的中点的轨迹方程为( A )
A． B． C． D．
8．若点是椭圆上的一动点， 是椭圆的两个焦点，则最小值为(B)
A．B． C． D．
9. 椭圆内过点的弦恰好被点平分，则这条弦所在的直线方程是( D )
A．B．
C．D．
10．在平面直角坐标系中，上的点的坐标分别为，若点在椭圆上，则( A )
A.B.C.D.
11．如图，焦点在轴上的椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为（ A ）
A．B．C．D．
12．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（B ）
A．B． C．D．
二． 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．“”是“”成立的____充分不必要______条件．
14．已知点和，动点满足，则点的轨迹方程为________________．
15．已知实数满足，则的最大值等于________________．
16．已知函数，，，，使，则实数的取值范围为________．
三．解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17.（本题10分）已知双曲线过点，且它的两条渐近线方程为．
求双曲线的方程；
写出它的顶点坐标，焦点坐标，并求离心率．
【解析】(1)根据题意，双曲线的两条渐近线方程为x±2y=0，
设其方程为：x2−4y2=λ，(λ≠0)
又由双曲线过点P(4,1)，有16−4=λ，解可得λ=12，
双曲线的标准方程为：；
(2)由(1)可得，
其顶点坐标为，焦点坐标为，离心率．
18．（本题12分）已知命题表示双曲线，命题表示椭圆．
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围及双曲线的焦距长；
（2）判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件．
【解析】（1）∵命题表示双曲线为真命题，则，
∴，
∴双曲线的焦距长为．
（2）∵命题表示椭圆为真命题，
则，∴，
∵集合是集合的真子集，
∴是的必要不充分条件
19.（本题12分）已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为，离心率
，过右焦点的直线交椭圆于两点．
求椭圆的方程；
当直线的斜率为时，求的面积．
【解析】(1)由已知，椭圆方程可设为
由题意，
易得．
∴所求椭圆方程为．
(2)∵直线过椭圆右焦点F(1,0)，且斜率为，∴直线l的方程为y=x−1．
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立 ，得，
解得．
∴
20．（本题12分）已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集， .
（1）若，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【解析】（1）， ．
，则，解得,
所以的取值范围是．
（2）由（1）知．
∵是的充分不必要条件，
∴是的真子集，
即，解得，
∴的取值范围是．
21.（本题12分）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点．
求的范围；
若，求直线的方程．
【解析】(1)由椭圆方程有，
设，点在椭圆上，
又，
(2)设两点的坐标为
当垂直于轴时，,此时，不符题意
即直线斜率必存在，设为，则直线方程为
联立
解得
故所求的直线方程为
22．（本题12分）椭圆的离心率为，且椭圆与直线相于两点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线经过椭圆的左焦点与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，求面积的最大值.
【解析】（1）由，得
椭圆方程可化为
联立得
设，则
由
解得，所求椭圆方程为
（2）由题意设直线方程为：，
联立得
当且仅当时面积最大为