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- 2021-06-23 发布
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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．2或4
【答案】C
【解析】
试题分析：因且，故,故应选C.
考点：集合的交集运算.
2.已知角的终边经过点且，则等于（ ）
A．-1 B． C．-3 D．
【答案】A
考点：三角函数的定义及运用.
3.已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】
试题分析：设,则,所以,故,又因
,故切线的斜率,故应选A.
考点：导数的几何意义及运用.
4.为得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
【解析】
试题分析：因,故应选C.
考点：三角函数的图象和性质.
5.“”是“函数是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
考点：充分必要条件及运用.
【易错点晴】本题是一道函数的单调性和充分必要条件整合在一起的综合问题．求解这类问题时，要充分借助题设条件，先搞清楚判定哪个命题是哪个命题的条件，再将问题转换为判定在一个命题成立的前提下，另一个命题的真假问题．本题求解时，要先将不等式“”翻译成成立的前提下，命题“函数是在上的单调函数”是否成立的问题，当然这里要用到绝对值函数语指数函数的性质．验证必要性时，要考察这个命题的逆命题的真伪．显然命题不真；反之成立，故应选B.
6.的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因,故应选B.
考点：正弦函数的图象与性质的运用.
7.已知命题对任意，命题存在，使得，则下
列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
考点：复合命题的真假及判定.
【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容的真假,再选择复合命题的形式将所求复合命题的真假判断清楚.如本帖首先欲两个命题的真假,再判断其符合命题的真假,从而获得问题的答案. 因命题是假命题,命题是真命题,故是真命题,因此是真命题.
8.函数的图象大致是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出,且当时, ,由于,故函数在区间单调递减;在区间单调递增.由函数图象的对称性可知应选D.
考点：函数图象的性质及运用.
9.若函数的图象关于直线对称，且当
时，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
考点：三角函数的图象和性质及运用.
【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的图象的对称为背景设置了一道求值的问题.求解时先
借助函数的图象关于直线对称求出,由此可得函数的对称轴为,借助题设可知,从而求得,进而使得问题获解.
10.等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：因
,故应选B.
考点：三角变换的公式及运用.
11.设函数，若对任意，都存在，
使得，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
考点：函数的图象和性质及运用.
12.若存在两个正实数，使得等式成立，其中为自然对数
的底数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由可得,令,则原方程可化为,若,等式不成立,故,所以,令,则,故,即是增函数,所以当时, ,函数是单调递增函数,当时,, 函数是单调递减函数,所以当时,函数取最小值,即,也即.当时,成立;当时,则,综上所求实数的取值范围是,应选D.
考点：函数方程思想综合运用.
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题进行化归和转化为,再构造函数运用求导法则求导,判断函数的单调性,利用最小值建立不等式,最后通过解不等式求出的范围是.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.命题“若，则”的否命题为____________．
【答案】若，则
考点：命题的四种形式及运用．
14.已知集合，则的元
素个数是___________．
【答案】
【解析】
试题分析: 由于集合是圆心在坐标原点，半径为的圆周，集合是开口向上顶点在圆上的点上的抛物线，结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填.
考点：圆与抛物线的位置关系的图象及有关知识的运用．
15.若，则____________．
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可得,解之得,故,故应填.
考点：同角的三角函数之间的关系及诱导公式等有关知识的运用．
16.设函数对任意实数满足，且当时，，若
关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围是___________．
【答案】
考点：函数的图象等有关知识的综合运用．
【易错点晴】函数图象和性质是高中数学教与学中的重点和难点之一,也是高考和各级各类考试的热点内容.本题以函数零点的个数的形式将二次函数与一次函数的零点问题进行有机地整合,有效地考查和检测学生综合运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先探求函数的周期性,再画出函数的图象,然后借助函数的图象进行分析探求建立不等式,进而求得实数的取值范围是.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
已知函数的定义域为，函数的值域为．
（1）当时，求；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在.
（2）因为，若存在实数，使，则必有，解得，
故存在实数，使得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
考点：集合与指数函数对数函数的性质等有关知识的综合运用．
18.（本小题满分12分）
设，满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．10分
∴
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：三角变换的有关知识及综合运用．
19.（本小题满分12分）
设实数满足不等式函数无极值点．
（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；
（2）已知“”为真命题，并记为，且，若是的必要不
充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用复合命题的真假关系建立不等式求解；(2)借助命题的真假和充分必要条件的定义建立不等式求解.
试题解析：
由，得，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分
（2）∵“”真命题，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
又，
∴，
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
即，从而．
∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，
∴，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：复合命题的真假和充分必要条件等有关知识的综合运用．
20.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，且的最小值是，求实数的值．
【答案】(1)，；(2).
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
由得，
∴函数的单调增区间为．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
∵，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．8分
①当时，当且仅当时，取得最小值-1，这与已知不相符；．．．．．．．．．．．9分
考点：三角变换的知识和正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．
【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以三角函数的解析式为背景设置了一道求函数的最小正周期和单调区间的问题及函数取得最小值时求参数的值的问题.求解时,先将函数进行化简,将其化为解析表达式为,借助正弦函数的单调性求出其周期和单调区间.第二问求解中,从取得最小值入手分类建立方程求出的值,进而使得问题获解.
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）证明：当时，函数没有零点（提示：）．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为，极小值为
；(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：(1)借助题设条件运用导数的知识求解；(2)借助导数和函数的零点等有关知识分析推证.
试题解析：
（1）因为，
，又因为，所以，设，则，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分
因为在上单调递减，且，
所以有唯一的零点，使得在上单调递增，在上单调递减，．．．．．9分
又由于，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
所以恒成立，从而恒成立，则
恒成立，
所以当时，函数没有零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：导数的知识和函数的零点等有关知识的综合运用．
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴垂直，且有极大值，求实数的取值范围；
（2）若，试判断在上的单调性，并加以证明．（提示：）．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
当时，由得；由得．
故只有极小值，不合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
当时，由得；由得，
故在处取得极大值，所以实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）当时，，则，
设，则，
设，∵，且在上递增，∴，
不难得知．
∵，∴，∴，
∵恒成立，∴递增．
∴，∴，∴，从而，
故在上递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：导数的知识及函数的性质等有关知识的综合运用．
【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数