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- 2021-06-23 发布
2017-2018学年河南省林州市第一中学高二10月月考火箭班
数学（文）试题
考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要
2. 曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x－1 B． y＝2x＋1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
3. 双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A． B．2 C． D．1
4.抛物线的准线方程为( )
A． B． C． D．
5．已知的周长是，且，则顶点的轨迹方程是( )
A. B .
C. D.
6. 设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)在( )
A.圆x2＋y2＝2上 B.圆x2＋y2＝2内
C.圆x2＋y2＝2外 D.以上三种情况都有可能
7. 设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是( )
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
8. 已知点在抛物线（）上，直线与抛物线相切于点，则直线的斜率为( )
A． B． C． D．
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积是( )
A.3 B.2 C. D.
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则 ( )
A． B． C． D．
11. 过双曲线的左焦点引圆的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则=( )
A. B. C. D.
12. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点. P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13. 已知在上可导，且，则的值为___________。
14. 设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，若an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99＝________.
15. 抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.
16. 已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断：
①当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆；②当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线；③
若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜；④若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4.
其中判断正确的是________(只填正确命题的序号).
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
18.（本小题满分12分）
已知，
（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标.
20．（本小题满分12分）
设双曲线C：－y2＝1（a>0）与直线l：x＋y＝1相交于两点A、B．
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1（a>b>0）的离心率为，且经过点（，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的直线与交于点，与抛物线：交于、两点，当直线过时的周长为．
（Ⅰ）求的值和的方程；
（Ⅱ）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．
2016级高二火箭班10月调研考试
数学（文）答案
一．选择题
1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B 11.C 12.A
6.解析： 由题意e＝＝，x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝＋1＝2－＝<2，∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内.
9.解析： 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，
∴点A的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，
∴A(2,2)，
∴直线AF的方程为y＝2(x－1).
联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知B，
∴S△AOB＝|OF|·|yA－yB|＝×1×|2＋|＝.
12. 解析： 如图所示，设OE的中点为N，在△AOE中，
∵MF∥OE，
∴＝＝. ①
在△MFB中，∵ON∥MF，
∴＝＝＝，
∴＝，即＝. ②
由①②可得＝，解得a＝3c，
从而得e＝＝.
二．填空题
13. 14. －2 15. 16. ②③④
14.解析： ∵f′(1)＝n＋1，∴y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，令y＝0，得xn＝，∴an＝lg n－lg (n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 100＝－2.
16.解析： ①错误，当t＝时，曲线C表示圆；②正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；③正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0.∴1＜t＜；④正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则，∴t＞4.
三．解答题
17. 解： 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，
所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1， f(1))处的切线方程为：y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
18.解：
（1）、是的必要不充分条件是的充分不必要条件
（2）、是的充分不必要条件是的充分不必要条件
19.解 ：(1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝a，得直线FA的方程为＋＝1，即x－ey＋ae＝0.
因为原点O到直线FA的距离为
b＝ae，
所以·a＝ae，
解得e＝.
(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，则有
解得x0＝a，y0＝a.
因为P在圆x2＋y2＝4上，所以＋＝4.
所以a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4.
故椭圆C的方程为＋＝1，点P的坐标为.
20.解：（1）联立消y得x2－a2（1－x）2－a2＝0，
即（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，得
因为与双曲线交于两点A、B，所以所以，可得00，则a＝．
21. 解：（1）由e2＝＝1－＝，得＝，①
由椭圆C经过点（，），得＋＝1，②
联立①②，解得b＝1，a＝，
所以椭圆C的方程是＋y2＝1；
（2）易知直线AB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0，
令Δ＝144k2－36（1＋3k2）>0，得k2>1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以S△AOB＝|S△POB－S△POA|＝×2×|x1－x2|＝|x1－x2|，
因为（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（－）2－＝，
设k2－1＝t（t>0），
则（x1－x2）2＝＝≤＝，
当且仅当9t＝，即t＝时等号成立，此时k2＝，△AOB面积取得最大值．
22. （过程略）（1） （2）