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- 2021-06-23 发布
2017届高中毕业班联考试卷（二）
数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.时量120分钟，满分150分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为
A. B. C. D.
2.已知集合，，则“且”成立的充要条件是
A. B. C. D.
3.命题“，且”的否定形式是
A.，且 B.，且
C.，或 D.，或
4.已知向量、满足，且，，则与的夹角为
A. B. C. D.
5.如图1所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，，则输出的
图1
A.2 B.3 C.7 D.14
6.已知数列为等比数列，且，，则
A. B. C. D.
7.已知实数、满足，则的最小值是
A.1 B.2 C.3 D.4
8.函数的图象大致为
A B C D
9.一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为
A.－11 B.3 C.9 D.17
10.已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是
A. B. C. D.
11.将一张边长为的正方形纸片按如图2所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图3放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图4），则正四棱锥的体积是
图3
图4
图2
A. B.
C. D.
12.已知方程在有且仅有两个不同的解,则下面结论正确的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 .
14.双曲线的两条渐近线为，则它的离心率为 .
15.已知函数，若为函数的一个零点，则 .
16.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17.（本小题满分12分）
某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合 计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合 计
70
30
100
⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
附：，
18.（本小题满分12分）
已知数列中，，.
⑴写出、的值（只写结果），并求出数列的通项公式；
⑵设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
如图5所示，已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，
，为的中点.
⑴指出平面与的交点所在位置，并给出理由；
⑵求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.
图5
[]
20.（本小题满分12分）
如图6所示，已知椭圆：的离心率为，、是椭圆的两个焦点，
是椭圆上任意一点，且的周长是.
⑴求椭圆的方程；
⑵设圆：，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求直线的斜率的取值范围.
图6
21.（本大题满分12分）
已知函数.
⑴求函数的单调区间；
⑵如果对于任意的,恒成立，求实数的取值范围；
⑶设函数，.过点作函数的图象
的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.
请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为
，直线的参数方程为，（为参数）.
⑴求直线与曲线的直角坐标方程；
⑵设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的
最大值.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
⑴当时，解不等式；
⑵若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案
一选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
C
C
B
D
B
C
B
A
C
二、填空题
13.【答案】 14.【答案】或 15.【答案】 16.【答案】1
三、解答题
17.解: ⑴
所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. …6分
⑵从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：， ，，，，，，，，，其中表示喜欢甜品的学生，表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的.
用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件由7个基本事件组成：
，，，，，，
. …………12分
18.解：⑴， …………2分
当时，
…………5分
当时，也满足上式
…………6分
(2)
…8分
，则数列是单调递减数列
…………10分
或
…………12分
19.解:⑴为中点. …………2分
理由如下：，平面，平面
平面
又平面，平面平面
又为的中点
为的中点 …………6分
⑵底面，
又底面为矩形，
平面，又平面
是的中位线，且
，又
点到截面的距离为到直线的距离
四棱锥的体积 …………8分
而四棱锥的体积
四棱锥被截下部分体积 …………10分
故上、下两部分体积比. …………12分
20.解: ⑴，
又的周长为
，
则所求椭圆方程为： …………5分
⑵由椭圆方程可得，设过且与圆相切的直线方程为
两条切线斜率是方程的两根
，
，同理可得：
设，可知在上为增函数
…………12分
D
21.解：：⑴
的增区间为；
减区间为. ……4分
⑵令
要使恒成立，只需当时，
令，则对恒成立
在上是增函数，则
①当时，恒成立，在上为增函数
，满足题意；
②当时，在上有实根, 在上是增函数
则当时，，不符合题意；
③当时，恒成立，在上为减函数，
不符合题意
，即. ……8分
⑶
设切点坐标为，则切线斜率为
从而切线方程为
令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.
. ……12分
22.解：⑴直线的方程为：
曲线的直角坐标方程为： ……5分
⑵，，代入得：
设椭圆的参数方程为，（为参数，）
得最大值为4. ……10分
23.解：⑴当时，
或
∴原不等式的解集为 ……5分
⑵
令，故
故所求实数的范围为 ……10分