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- 2021-06-23 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设，集合是奇数集，集合是偶数集.若命题：，，则（ ）
A．：， B．：，
C．：， D．：，
【答案】C
考点：命题的否定．
2.如果方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：要使方程表示双曲线，应有，解得或，故选C.
考点：双曲线的标准方程．
3.命题“若，则且”的逆否命题是（ ）
A．若，则且 B．若，则或
C．若且，则 D．若或，则
【答案】D
【解析】
试题分析：命题的逆否命题是条件和结论同时换位、换质，所以命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，故选D.
考点：逆否命题．
4.已知具有线性相关的两个变量，之间的一组数据如表：
且回归线方程是，则（ ）
A．6.7 B．6.6 C.6.5 D．6.4
【答案】A
考点：回归直线方程．
5. 在正方体中，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，则,所以,因此，所以异面直线与
所成角的余弦值为，故选B.
考点：异面直线成角．
6. 已知为双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线距离为（ ）
A． B．3 C. D．
【答案】A
考点：双曲线的简单几何性质．
7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差（ ）
A． B．3 C. D．
【答案】C
【解析】
试题分析：样本平均数为，所以方差为
故选C.
考点：样本平均数与方差．
8.双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则（ ）
A． B． C.2 D．4
【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线的标准方程为，所以
，左焦点坐标为，抛物线的准线方程为，所以，解得，故选D.
考点：双曲线与抛物线的标准方程．
9.与圆及圆都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D．一个圆上
【答案】B
【解析】
试题分析：圆的圆心为,半径为圆的圆心为,半径为设动圆圆心为，半径为，则由题意可得，所以动点的轨迹是双曲线靠近的一支，故选B.
考点：求曲线的轨迹．
10.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若
，且，则的长为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：空间向量的应用.
【方法点睛】本题主要考查了空间向量的应用，属于基础题.要求平行六面体的对角线长，如果直接求解运算量较大，而且准确率低，可考虑利用空间向量来求解.解答的关键是建立空间的基底，通过向量的线性运算把对角线向量用基向量表示出来，利用向量数量积的性质——向量的平方等于模的平方，结合数量积运算求得结果.
11.若，为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：由于的符号不能确定，所以“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，因此“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
考点：充要条件．
12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对
的概率是（ ）
A. B． C. D．
【答案】B
考点：古典概型．
13.双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在
第一象限内且在上，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线的左、右焦点分别为，,渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，所以，设，的直线方程为，的直线方程为，因为，即.因为在上，所以，，又,所以即又因为，所以，故选D．
考点：双曲线的简单几何性质.
14.椭圆与直线相交于，两点，过中点与坐标原点的直线
的斜率为，则的值为（ ）
A． B． C. D．2
【答案】C
考点：直线与椭圆的位置关系．
【方法点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题涉及到直线被椭圆截得的弦的中点及弦的斜率，通常有两种常用的方法，一是联立方程组，利用韦达定理求解；二是利用“点差法”和中点坐标公式，后者运算更加简单快捷.设出两个交点坐标，代入椭圆方程相减，因式分解，整理出弦的斜率的表达式，代入中点坐标即可.
15.设集合，，如果命题
“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
考点：圆与圆的位置关系.
【方法点睛】本题以集合语言考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.在解答过程充分体现了集合知识、圆的知识及命题的真假判断，同时考查了转化的思想.解答时首先进行转化，把命题“”是真命题，转化为两圆有公共点，进一步转化为直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出参数范围.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．）
16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段
的间隔为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：根据系统抽样的规则，应分成组，每组抽取个，所以分段间隔为.
考点：系统抽样法．
17.抛物线的焦点坐标是 ．
【答案】
考点：抛物线的标准方程．
18.给出下列命题：
①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件；
④“平面向量与的夹角是钝角”的要条件是“”.
其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上）
【答案】①②
【解析】
试题分析：①因为“”可以推出“”，但“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故①正确；②“”不能推出 “”，但“”可以推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件，故②正确；③因为，所以若其最小正周期为，则，因此“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量与的夹角是钝角”可以推出“”，但“”，平面向量与的夹角是钝角或平角，所以“”是“平面向量与的夹角是钝角”必要不充分条件，故④错误，正确答案为①②.
考点：充要条件．
19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两
艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 ．
【答案】
考点：几何概型．
【方法点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.几何概型是指用实验包含基本事件空间的几何度量来表示概率，通常涉及到几何图形的长度、面积、体积等.本题的难点是根据题意进行转化，分别把甲、乙两船到达的时间用表示，在平面直角坐标系中，用平面区域的面积表示事件发生的概率，求面积的比即可.
20.若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可得，当时，，当时，，渐近线方程为，如图所示，由可得，解得，结合图象可得实数的取值范围是．
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的思想和学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是通过讨论的符号，把曲线方程转化为标准方程，画出曲线，通过方程组求出满足条件的参数的范围，研究直线与双曲线的交点个数，要注意双曲线的渐近线的性质.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
21.（本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以
分组的频率分布直方
图如图所示.
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法
抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）；（2）；（3）．
试题解析：（1）由得：，
所以直方图中的值是0.0075.
（2）月平均用电量的众数为，
，
∴月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，得.
即月平均用电量的中位数为224.
（3）月平均用电量为的用户有户，用平均用电量为的用户有户，用平均用电量为的用户有户，用平均用电量为的用户有户，抽取比例为，
∴用平均用电量为的用户中应抽取户.
考点：频率分布直方图、样本的数字特征与抽样方法.
22.（本小题满分12分）
设关于的一元二次方程.
（1）若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根
的概率；
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有根的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）当，时，方程有实根的充要条件为.写出所有可能的取法，从中找出满足条件的基本事件，即可得到概率；（2）分别求出且的矩形面积和满足 的三角形面积，用几何概型求解.
试题解析：设事件为“方程有实根”.
（1）当，时，方程有实根的充要条件为.
基本事件共12个：.其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.
事件中包含9个基本事件，事件发生的概率为.
考点：古典概型与几何概率.
23.（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值.
【答案】（1）；（2）．
（2）设，，
由消去，得，
由条件，且，∴且，
又，∴，解得或（舍）.
∴.
考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系.
24．（本小题满分12分）已知，设命题：函数在区间上与
轴有两个不同的交点；命题：有最小值.若是真命题，求实数的取值范
围.
【答案】．
【解析】
试题分析：若是真命题，则为假命题且为真命题.分别求出为真时，参数的范围，取其补集即得为假时，参数的范围，取交集即得实数的取值范围.
试题解析：若真，则即
∴.
若真，∴，
即在上是单调递减的，要使有最小值，则在上单调递增或为常数，
即，∴.
若是真命题，则为假命题且为真命题，
∴即或.
∴实数的取值范围为.
考点：复合命题与简易逻辑．
【方法点睛】本题主要考查了复合命题与简易逻辑，属于基础题.解答本题的关键是根据“是真命题”，得到为假命题且为真命题.解答时，易错点是部分同学写出命题的否定去求参数范围，导致问题复杂化，正确的求命题为假的参数范围是先求出命题为真对应的参数范围，取其补集，这样方便快捷.
25.（本小题满分12分）
已知椭圆的两个焦点坐标分别是、，并且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与圆：相切，并与椭圆交于不同的两点、.当，且满足
时，求面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为，根据其与圆相切可得，联立方程组可得，根据韦达定理求出和，，所以整理可得，根据向量数量积的定义可得，换元设，则，最后再根据均值不等式求出面积的取值范围.
（2）依题结合图形知直线的斜率不为零，
∵直线即与圆：相切，
∴得.
设，，
由
消去整理得，
得.
又，点到直线的距离，
∴
，
.
,令，则，
∴，
∴，∴的取值范围为：.
考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.