备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：集合思想的运用 7页

集合思想的运用 典型例题： ‎ 例1. （2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：‎ ‎①；②若，则；③若，则。‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的解析式（用表示）．‎ ‎【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，‎ ‎ ∴ =4。 ‎ ‎ ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。‎ 由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。‎ 于是是否属于，由是否属于确定。‎ 设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。‎ 当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】集合的概念和运算，计数原理。‎ ‎【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。‎ ‎ （2）由题设，根据计数原理进行求解。‎ 例2.（2012年上海市理18分）对于数集，其中，，定义向量集. 若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P. 例如具有性质P.‎ ‎ （1）若＞2，且，求的值；（4分）[来源:Z&xx&k.Com]‎ ‎ （2）若X具有性质P，求证：1ÎX，且当n＞1时，1=1；（6分）‎ ‎ （3）若X具有性质P，且1=1，（为常数），求有穷数列的通项公式.（8分）‎ ‎【答案】解：（1）选取，则Y中与垂直的元素必有形式。‎ ‎ ∴，从而=4。‎ ‎ （2）证明：取，设满足。‎ ‎ 由得，∴、异号。‎ ‎ ∵－1是X中唯一的负数，所以、中之一为－1，另一为1。‎ 故1ÎX。‎ 假设，其中，则。[来源:学科网ZXXK]‎ 选取，并设满足，即。‎ 则、异号，从而、之中恰有一个为－1。‎ 若=－1，则，矛盾；‎ 若=－1，则，矛盾.‎ ‎∴=1。‎ ‎ （3）猜测，i=1, 2, …, 。‎ ‎ 记，=2, 3, …, 。‎ ‎ 先证明：若具有性质P，则也具有性质P。‎ ‎ 任取，、Î.当、中出现－1时，显然有满足。‎ ‎ 当且时，、≥1。‎ ‎ ∵具有性质P，∴有，、Î，使得。‎ 从而和中有一个是－1，不妨设=－1，‎ 假设Î且Ï，则。‎ 由，得，与Î矛盾。‎ ‎∴Î，从而也具有性质P。‎ 现用数学归纳法证明：，i=1, 2, …, 。‎ 当=2时，结论显然成立。‎ ‎ 假设时，有性质P，则，i=1, 2, …, ；‎ ‎ 则当时，若有性质P，则 ‎ 也有性质P，所以。‎ ‎ 取，并设满足，即。‎ 由此可得与中有且只有一个为－1。‎ ‎ 若，则，所以，这不可能；‎ ‎ ∴，，又，所以。‎ ‎ 综上所述，，i=1, 2, …, 。 ‎ ‎【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系，数学归纳法和反证法的应用。‎ ‎【解析】（1）根据题设直接求解。‎ ‎ （2）用反证法给予证明。‎ ‎ （3）根据题设，先用反证法证明：若具有性质P，则也具有性质P，再用数学归纳法证明猜测，i=1, 2, …, 。‎ 例3. （2012年北京市理13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。‎ 对于A∈S(m，n)，记Ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；‎ 记K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。‎ ‎（1）对如下数表A，求的值；‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎－0.8‎ ‎0.1‎ ‎－0.3‎ ‎－1‎ ‎（2）设数表A∈S（2,3）形如 ‎1‎ ‎1‎ c a b ‎－1‎ 求的最大值；‎ ‎（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求的最大值。‎ ‎【答案】解：（1）由题意可知，‎ ‎ ∴。‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若，则，‎ ‎∴（无解）。‎ 同理可知。‎ ‎∴。‎ 由题设所有数和为0，即，‎ ‎∴，解得，与题设矛盾。‎ ‎∴。‎ 易知当时，存在。‎ ‎∴的最大值为1。‎ ‎（3）的最大值为。‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎。‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，，‎ ‎。‎ 下面证明是最大值。‎ 若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得。‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于。‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则。另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负。‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）。‎ 因此，故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾。‎ 因此的最大值为。‎ ‎【考点】逻辑推理，反证法的应用。‎ ‎【解析】（1）根据ri（A）为A的第i行各数之和（i=1，2），c j（A）为A的第j列各数之和（j=1，2，3）；求出|r1（A）|，|r2（A）|，|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值可即为所求。[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎ （2）用反证法证明。‎ ‎ （3）先构造满足的，用反证法证明是最大值。‎ 例4. （2012年广东省文14分）设，集合，，．‎ ‎（1）求集合（用区间表示）；‎ ‎（2）求函数在内的极值点．‎ ‎【答案】解：（1）设，‎ 方程的判别式 ‎①当时，，恒成立，‎ ‎∴。‎ ‎∴，即集合D=。‎ ‎②当时，，方程的两根为 ‎，。‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即集合D=。‎ ‎（2）令得 的可能极值点为。‎ ‎ ①当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：‎ ‎[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在D内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。‎ ‎②当时，‎ 由（1）知=。‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴随的变化情况如下表：‎ ‎0[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎↗‎ 极大值[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴在D内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。‎ ‎【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、讨论即可，计算比较繁。[来源:学&科&网]‎ ‎ （2）求出，得到的可能极值点为。仍然分、讨论。‎