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- 2021-06-23 发布
北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）
本试卷共150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.
1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
2. 下列函数中为偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3. 已知直线m，n和平面α，如果，那么“m⊥n”是“m⊥α”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 在等比数列中，，，则等于（ ）
（A）9 （B）72 （C）9或72 （D）9或-72
6. 设x，y满足则的最小值为（ ）
（A）1 （B） （C）5 （D）9
7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
8. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长
的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )
（A）72.4寸 （B）81.4寸 （C）82.0寸 （D）91.6寸
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.
9. 设i为虚数单位，复数=______________.
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=4，，则a=_______，S△ABC=_________.
11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.
12. 已知向量a=（1,1），点A（3,0），点B为直线y=2x上的一个动点，若∥a，则点B的坐标为_____________.
13. 已知函数，.
（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为____________；
（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为_________.
14. 在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：上，若，则点P的横坐标的取值范围是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15. （本小题满分13分）
已知等比数列的公比q>0，且.
（I）求公比q和的值；
（II）若的前n项和为，求证：.
16. （本小题满分13分）
已知函数.
（I）求的值；
（II）求函数的最小正周期和单调递增区间.
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.
（I）求棱锥C-ADE的体积；
（II）求证：平面ACE⊥平面CDE；
（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18. （本小题满分13分）
已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2.
（I）求圆C的方程；
（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；
（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（IV）设a=2，直线过点A，求被圆C截得的线段的最短长度，并求此时的方程.
19.（本小题满分13分）
已知函数.
（I）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（II）求的单调区间；
（III）设函数，求证：当时，在上存在极小值.
20. （本小题满分14分）
已知椭圆C：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点B（0，m）（m>0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
D
B
D
C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. 2； 11. 12. （-3，-6） 13. 2，
14.
15. 解：
（I）法一
因为，所以4，所以，
因为，所以，因为，所以q>0，即q=2.
法二：因为，所以，所以有，所以.
因为，所以q>0，即q=2.所以.
（II）当q=2时，， 所以.
所以. 因为，所以
法二：当q=2时， 所以.
所以. 所以，所以.
法三：当q=2时，，
所以，
要证，只需要，只需，
上式显然成立，得证.
16. 解：（I）因为
所以
（II）因为
所以
所以周期.
令
解得.
所以的单调递增区间为.
法二：因为
所以
=
所以周期，
令，解得，，
所以的单调递增区间为.
17. （I）解：在Rt△ADE中，.
因为CD⊥平面ADE，
所以棱锥C-ADE的体积为.
（II）证明：因为CD⊥平面ADE，AE平面ADE，
所以CD⊥AE.又因为AE⊥DE，CDDE=D，所以AE⊥平面CDE.
又因为AE平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE.
（III）结论：在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE.
解：设F为线段DE上一点，且,
过点F作FM∥CD交CE于M，则.
因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
所以CD∥AB.
又因为CD=3AB
所以MF=AB，FM∥AB，
所以四边形ABMF是平行四边形，
则AF∥BM.
又因为AF平面BCE，BM平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
18. （I）圆C的方程为；
（II）过点A且与圆C相切的直线方程为或；
（III）直线的方程为或；
（IV）被圆C截得的线段的最短长度为；直线的方程为.
19. 解：（I）由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线，
所以存在大于零的实数根，
即存在大于零的实数根，
因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.
（II）由可得
当时，，所以函数的增区间为；
当时，若，，若，，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（III）由及题设得，
由可得，由（II）可知函数在上递增，
所以，取，显然，
，所以存在满足，即
存在满足，
所以，在区间（1，+∞）上的情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-10，
所以00，得.
综上，m的取值范围是.
（方法二）
…… 则，.
因为点D总在以线段EF为直径的圆内，
所以.
因为,
所以
，
整理，得. （以下与方法一相同，略）