- 896.50 KB
- 2021-06-23 发布
田家炳高中2018-2019学年度上学期月考试卷
高二数学（理）
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题只有一项是符合题意，请将答案答在答题卡上。每小题5分，共60分）
1．已知，则“”是“”的（ ）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件
C． 充要条件 D． 既非充分又非必要条件
2．设、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，且，，则椭圆的短轴长为（ ）
A． B． C． D．
3．过点(2，－2)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A． B． C． D．
4．直线=与椭圆=的位置关系为
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 不确定
5．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
6．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则
A． B． C． D．
7．下列四个命题中真命题的个数是
①命题的逆否命题为；
②命题的否定是
③命题“，”是假命题.
④命题，命题，则为真命题
A． B． C． D．
8．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是
A． (1，+∞) B． (－∞，3) C． (1，3) D．
10．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共有4个小题。每空5分，共20分）
13．写出命题“，”的否定：__________．
14．已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为且上一点到的两个焦点的距离之和为,则椭圆的方程为_____.
15．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率是_________。
16．已知椭圆的右焦点为, 是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时， 的周长的最大值为____________ .
三、解答题（本大题共有6个小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分） （1）焦点在轴上，长轴长为，离心率为,求椭圆的标准方程；
（2）顶点间的距离为，渐近线方程为，求双曲线的标准方程.
18．（12分）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程。
19．（12分）已知a∈R，命题p：∀x∈[－2，－1]，x2－a≥0，
命题q：．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(I)求双曲线的标准方程.
(II)若点M在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=试判断的形状.
21．（12分）已知椭圆 的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
22．（12分）如图，已知圆：经过椭圆（）的右焦点及上顶点，过椭圆外一点（）且斜率为的直线交于椭圆、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．
【详解】
a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．
故选：A．
【点睛】
充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
2．A
【解析】分析：根据椭圆的定义，得到，即，再根据，即可求得短轴的长．
详解：由题意，椭圆满足，
由椭圆的定义可得，解得，
又，解得，所以椭圆的短轴为，故选A．
点睛：本题主要考查了椭圆的几何性质，其中熟记椭圆的定义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．
3．D
【解析】
【分析】
先设出所求双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得和的关系，然后把点代入双曲线方程求得，进而求得，则双曲线的方程可得．
【详解】
依题意可知所求双曲线的焦点在轴，
设出双曲线的方程为
根据已知曲线方程可知其渐近线方程为
把点代入得中求得 ，
∴双曲线的方程为：，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程与渐近线方程的关系，考查基本的运算能力．
4．A
【解析】由题意得直线=恒过定点,而点在椭圆=的内部,所以直线与椭圆相交.选A．
5．A
【解析】
【分析】
先求得方程表双曲线的充要条件，只要是他的真子集就是充分不必要条件。
【详解】
方程表示双曲线的充要条件是，解得，所以根据四个选项可知，充分不必要条件是A.选A.
【点睛】
对于充分性必要性条件的判断三种常用方法：（1）利用定义判断．如果已知，则是的充分条件，是的必要条件；（2）利用等价命题判断；(3) 把充要条件“直观化”，如果，可认为是的“子集”；如果，可认为不是的“子集”，由此根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明．
6．C
【解析】
【分析】
先根据椭圆的定义求出的长度，再利用中位线定理求出|OM|的长度.
【详解】
由椭圆的定义得
因为,所以
故答案为：C
【点睛】
(1)本题主要考查椭圆的定义和中位线的性质定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)在圆锥曲线里，看到焦半径就要联想到椭圆的定义解题,这是一个一般的规律.
7．D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题的逆否命题为，正确；
②命题的否定是，正确；
③命题“，”是假命题，正确.
④命题，命题，p是真命题，
则为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
8．C
【解析】
【分析】
直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.
【详解】
双曲线的一条渐近线方程是，
可得，
它的一个焦点坐标为，可得，即，
解得，
所求双曲线方程为：.
故选：C.
【点睛】
本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.
9．C
【解析】
【分析】
由题意可知命题p,q均为真命题，据此求解实数a的取值范围即可.
【详解】
由“”是真命题可知命题p,q均为真命题，
若命题p为真命题，则：，解得：，
若命题q为真命题，则：，即，
综上可得，实数a的取值范围是，表示为区间形式即.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查复合命题问题，与二次函数有关的命题，与指数函数有关命题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．D
【解析】顶点在椭圆上，
故选
11．A
【解析】
【分析】
由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.
【详解】
由题意知：，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可求出，
由双曲线定义可得：，
由离心率公式可得：.
故选A.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.
12．A
【解析】
设直线的参数方程为,代入椭圆方程并化简得,所以,由于,即,代入上述韦达定理,化简得,即.故选.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程的设法,考查直线参数方程参数的几何意义.由于本题直线过焦点,而且知道它的倾斜角为,在这里可以考虑设直线方程的点斜式,也可以考虑设直线的参数方程,考虑到,即,所以采用直线参数方程,利用参数的几何意义,可以快速建立方程,求出结果.
13．，
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，写出其否定命题．
【详解】
∵特称命题的否定是全称命题
∴命题“，”的否定是“，”
故答案为，.
【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词；二是要否定结论，而一般的命题的否定只需直接否定结论即可.
14．
【解析】分析：由题设条件知，又由，则，从而即可得到，由此可知所求椭圆方程.
详解：由题设条件知，
又由，则，
，
所求椭圆方程为.
故答案为：.
点睛：本题给出椭圆G满足的条件，求椭圆G的标准方程，着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题.
15．
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线与直线垂直可得，然后根据离心率的定义求解即可．
【详解】
由已知有双曲线渐近线的方程为，
∵双曲线的一条渐近线与直线垂直
∴，
∴，
∴
∴离心率．
【点睛】
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
16．14
【解析】
如图所示设椭圆的左焦点为F′，
|AF|=4=|AF′|，
则|PF|+|PF′|=2a=6，
∵|PA|﹣|PF′|≤|AF′|，
∴△APF的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6﹣|PF′|≤4+6+4=14，当且仅当三点A，F′，P共线时取等号．
∴△APF的周长最大值等于14．
故答案为：14.
17．（1）；（2）或
【解析】
试题分析：（1）由于椭圆的焦点在轴上，设所求椭圆的方程为（）．由题意，得出关于的方程组即可解得，结合求出值，写出椭圆的方程即可； （2）当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为 得出关于的方程组即可解得，写出双曲线的方程即可；同理可求当焦点在轴上双曲线的方程．
试题解析：（1）焦点在轴上，设所求设所求椭圆的方程为（），焦距为．
由题意，得解得．
∴．
所以所求椭圆方程为．
（2）当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为，由题意，得，解得．
所以焦点在轴上的双曲线的方程为．
同理可求当焦点在轴上双曲线的方程为．
考点：1.双曲线的简单性质；2.双曲线的标准方程．
【方法点睛】求圆锥曲线方程的常用方法主要有两种：一是定义法；二是待定系数法。待定系数法的实质是方程思想的体现，即在确定了圆锥曲线类型的前提下设出方程，利用题中的条件将待定量与已知量统一在方程关系中求解。其整个思维过程可概括为三步（1）先定性（何种圆锥曲线）；（2）后定形（哪种形式的方程）；（3）再定参（建立方程解）.
18．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程；（2）首先设所求点为M（x,y），借助于中点性质得到P点坐标用x,y表示，将P点代入椭圆方程从而得到中点的轨迹方程
试题解析：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
（2）设线段PA的中点为M（x,y）,点P的坐标是（x0,y0）,
由点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
考点：1．圆锥曲线的轨迹问题；2．椭圆的标准方程
19．（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）令f(x)＝x2－a，可将问题转化为“当时，”，故求出即可．（2）根据“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题可得p与q一真一假，然后分类讨论可得所求的结果．
【详解】
(1)令，
根据题意，“命题p为真命题”等价于“当时，”．
∵，
∴，
解得.
∴实数的取值范围为．
(2)由(1)可知，当命题p为真命题时，实数满足．
当命题q为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
解得或．
∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
∴命题p与q一真一假
①当命题p为真，命题q为假时，
得，解得；
②当命题p为假，命题q为真时，
得，解得．
综上可得或．
∴实数的取值范围为．
【点睛】
根据命题的真假求参数的取值范围的方法
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
20．(1) (2) 是钝角三角形
【解析】试题分析： 设双曲线方程为,由已知得，由此能求出双曲线的标准方程；
不妨设点在双曲线的右支上，则,利用，求出， 的值，再由余弦定理可得,即可得出结论。
解析：(1)椭圆方程可化为,焦点在轴上,且
故可设双曲线方程为,
则有
解得 ，
故双曲线的标准方程为.
(2)不妨设在双曲线的右支上,
则有|MF1|-|MF2|=又|MF1|+|MF2|=,
解得
因此在中, 边最长,
由余弦定理可得
.
所以 为钝角,故是钝角三角形.
21．(1) (2)
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．
试题解析：
（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
22．（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由圆的方程可得，，从而，，可得，故得椭圆的方程；（2）由题意得直线的方程为（），代入椭圆方程消去y可得，然后设，，将用点C,D的坐标表示，再根据根与系数的关系得到关于的方程，解方程可得的值。
试题解析：
（1）在圆方程中，
令，得或2；令，得或2。
又圆经过椭圆的右焦点及上顶点，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为.
（2）由题意得直线的方程为（）.
由消去得.
∵直线线交于椭圆、两点，
∴，
解得.
又，
∴，
设，，则，.
∴
∵，
∴
又，
∴，解得或.
又，
∴.
点睛：解决直线和圆锥曲线位置关系问题的注意点：
（1）根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论；
（2）在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单；
（3）不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视。