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- 2021-06-23 发布
宝鸡中学2015级高二第二学期期中试题
理科数学（A）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，其中，是实数，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
3.下列对样本相关系数的说法不正确的是（ ）
A．相关系数可用衡量变量与之间的线性相关程度
B．，且越接近1，相关程度越高
C．，且越接近0，相关程度越低
D．，且越接近1，相关程度越高
4.由一组样本数据，，…，得到回归直线方程，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．直线必经过点
B．直线至少经过，，…，中的一个点
C.直线的纵截距为
D．直线的斜率为
5.函数，则的最小正周期为（ ）
A． B． C. D．
6.我校兼程楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法（ ）
A．10种 B．16种 C.25种 D．32种
7.一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为的事件是（ ）
A．没有白球 B．至少有一个红球 C.至少有一个白球 D．之多有一个白球
8.通过随机咨询110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，
.
附表：
（）
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
9.如下图所示：在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C. D．
10.我校拟从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）
A． B． C. D．
11.设，.随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2.若记，分别为，的方差，则（ ）
A． B．
C. D．与的大小关系与，，，，的取值有关
12.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任取两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都放入盒中，则（ ）
A．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
B．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知随机变量服从正态分布.若，则 ．
14.把一枚硬币任意抛掷三次，事件“至少出现一次反面”，事件“恰好出现一次正面”，则 ．
15.若离散型随机变量的分布列是：
0
1
则常数的值为 ．
16.在的展开式中，各项系数和为243，则展开式中的系数为 ．
17. 从1,2,3,4,7,9六个数中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到 个不同的对数值.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数在处有极值.
（1）求，的值；
（2）判断函数的单调性并求出单调区间.
19. 已知数列的前项和，数列满足：.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
保费
0.85
1.25
1.5
1.75
2
投该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比其基本保费高出60%的概率；
（3）求一续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
21. 如图：为所在平面外一点，，，，平面于.求证：
（1）是的垂心；
（2）为锐角三角形.
22.已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
试卷答案
一、选择题
1-5:ACDBD 6-10:BCBAD 11、12：CA
二、填空题
13.0.954 14. 15. 16.80 17.17
三、解答题
18.解：由题意知函数的定义域为.
（1）∵
∴.
据题意可得，即，解得，.
（2）由（1）可知：.
令，解得，∴函数在上单调递增；
令，解得，所以函数在上单调递减.
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
19.解：（1）由得：当时，；
当时，
由于也满足，故（）.
由得，（）.
所以 ①
②
②-①得
20.（1）设表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故.
（2）设表示“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故.
又，故.
因此所求概率为.
（3）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
0.85
1.25
1.5
1.75
2
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.
21.证明：（1）连接并延长交与点，连接.
∵，，
∴平面
∵直线在平面内
∴
又∵平面
∴
又
∴平面
又∵直线在平面内
∴
连接并延长交与点，连接；连接并延长交与点，连接.
同理可证：，
故是的垂心.
（2）设，，，则，，.
∵
∴为锐角.
同理可证： 也为锐角
故证得为锐角三角形.
22.解：（1）由题意可知解得，.
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知：，.
设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
当时，，，.
所以 综上：为定值.