2020高中数学 课时分层作业27 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4 5页

课时分层作业(二十七)　二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.的值是(　　)‎ A．　 B．－ C． D．－ A　[原式＝＝＝＝.]‎ ‎2．若sin＝，cos＝－，则角α是(　　)‎ ‎ 【导学号：84352333】‎ A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 C　[∵sin α＝2sincos＝2××＜0，‎ cos α＝cos2－sin2＝2－2＜0，‎ ‎∴α是第三象限的角．]‎ ‎3．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D． A　[∵sin α－cos α＝，‎ ‎∴1－2sin αcos α＝，‎ 即1－sin 2α＝，∴sin 2α＝－.]‎ ‎4．若＝，则tan 2α＝(　　)‎ ‎ 【导学号：84352334】‎ 5‎ A．－　　 B． ‎ C．－　　 D． B　[因为＝，‎ 整理得tan α＝－3，‎ 所以tan 2α＝＝＝.]‎ ‎5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)‎ A． B． C．－ D．－ A　[设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.‎ ‎∵sin θ＝，∴cos θ＝＝，‎ ‎∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ ‎＝2××＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知sin 2α＝，则cos2＝________.‎ 　[cos2＝＝＝＝.]‎ ‎7．已知tan α＝－，则＝________. ‎ ‎【导学号：84352335】‎ ‎－　[＝＝＝tan α－＝－.]‎ ‎8．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.‎ ‎－　[∵tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝－，‎ ‎∴tan α＝－或tan α＝2.‎ 5‎ ‎∵α在第二象限，∴tan α＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．求证：＝tan. ‎ ‎【导学号：84352336】‎ ‎[证明]　 ‎＝ ‎＝＝tan.‎ ‎10．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值．‎ ‎[解]　∵cos x＝，x∈，‎ ‎∴sin x＝－＝－，‎ ‎∴sin 2x＝2sin xcos x＝－，‎ ‎∴cos＋sin2x ‎＝＋＝－sin 2x＝－×＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．已知sin＝，则cos的值等于(　　)‎ A． B． C．－ D．－ C　[因为cos＝sin 5‎ ‎＝sin＝，‎ 所以cos＝2cos2－1‎ ‎＝2×2－1＝－.]‎ ‎2．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为(　　) ‎ ‎【导学号：84352337】‎ A． B． C. D．π D　[由题意得 ‎①2＋②2得cos β＝，cos α＝，‎ 由α，β均为锐角知，sin β＝，sin α＝，‎ ‎∴tan β＝2，tan α＝，∴tan 2β＝－，‎ ‎∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈，‎ ‎∴α＋2β＝π.故选D.]‎ ‎3．化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝________.‎ ‎－1　[原式＝·cos 10°· ‎＝·cos 10°· ‎＝·cos 10°· ‎＝－· ‎＝－1.]‎ ‎4．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，则锐角α＝________.‎ 　[由原式，得sin22α＋sin 2αcos α－2cos2α＝0，‎ ‎∴(2sin αcos α)2＋2sin αcos2α－2cos2α＝0，‎ ‎∴2cos2α(2sin2α＋sin α－1)＝0，‎ ‎∴2cos2α(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.‎ 5‎ ‎∵α为锐角，‎ ‎∴cos2α≠0，sin α＋1≠0，‎ ‎∴2sin α－1＝0，‎ ‎∴sin α＝，‎ ‎∴α＝.]‎ ‎5．已知向量p＝(cos α－5，－sin α)，q＝(sin α－5，cos α)，p∥q，且α∈(0，π)．‎ ‎(1)求tan 2α的值；‎ ‎(2)求2sin2－sin. ‎ ‎【导学号：84352338】‎ ‎[解]　(1)由p∥q，‎ 可得(cos α－5)cos α－(sin α－5)(－sin α)＝0，‎ 整理得sin α＋cos α＝.‎ 因为α∈(0，π)，所以α∈，‎ 所以sin α－cos α ‎＝＝，‎ 解得sin α＝，cos α＝－，‎ 故tan α＝－，‎ 所以tan 2α＝＝.‎ ‎(2)2sin2－sin ‎＝1－cos－sin ‎＝1－cos α＋sin α－sin α－cos α＝1－cos α＝.‎ 5‎