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- 2021-06-23 发布
2018高三数学（理）模拟试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z满足，则= ( )
A．1 B． C． D．3
2．已知，满足，求的值 ( )
A． B． C． D．
3． “”是“”的( )
A充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若的平均数为4，标准差为3，且，，
则新数据的平均数和标准差分别为（ ）
A ．-6 9 B． -6 27 C ．-12 9 D．-12 27
5．如图，AB是⊙的直径，VA垂直⊙所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是( ）
A．MN//AB B．MN与BC所成的角为45°
C．OC⊥平面VAC D．平面VAC⊥平面VBC
6．已知点分别是椭圆的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于M、N两点，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．已知向量，， ，若与的夹角为60°，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． 6 D． 4
8．已知=（），直线和点（，0）分别是图象上相邻的一条对称轴和一个对称中心，则函数的单调增区间为（ ）
A．[，]（） B．[，]（）
C．[，]（） D．[，]（）
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
10．在的展开式中，项的系数为（ ）
A．252 B．264 C． 512 D．528
11．已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数与函数有4个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知且，函数设函数的最大值为,最小值为,则= ．
14．设双曲线的左、右顶点分别为,，点在双曲线上且异于,两点，
为坐标原点．若直线与的斜率之积为，则双曲线的离心率为________．
15．若满足约束条件，则的最小值为 ．
16．，已知的平分线与交于点，则的外接圆面积是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）
等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，．
(Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）令，设数列的前项和，求．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若是的中点，且二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）为了调查历城区城乡居民人民生活水平，随机抽取了10个家庭，得到第个家庭月收入（单位：千元）与月流动资金（单位：千元）的数据资料如下表：
720
20
80
196
184
其中，与满足函数模型；（Ⅰ）求方程；
(Ⅱ)已知某家庭9月收入为9千元，该家庭计划用当月流动资金购置价格为499元的九阳豆浆机，问计划能否成功？
附：对一组数据其回归直线的最小二乘法估计为
20．（本小题满分12分）已知抛物线y2＝4x，直线与抛物线交于A，B两点．
(Ⅰ)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
(Ⅱ)若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．
21． （本小题满分12分）
已知函数,
（Ⅰ）讨论函数的单调性;
（Ⅱ）当时,函数在是否存在零点?如果存在，求出；如果不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求与的直角坐标方程;
（Ⅱ）若与的交于P点，与交于A、B两点，求的面积．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，
（Ⅰ）当时，解不等式；
(Ⅱ)若不等式有解，求实数的取值范围．
2018高三数学（理）模拟试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
A
D
C
B
A
C
B
A
D
1．
【解析】， 选B．
2．【解析】，
选C．
3． 【解析】答案A．
等价于，当或时，不成立；
而等价于,能推出；
所以“”是“”的充分不必要条件． 答案A．
4．【解析】选A．数据的变化，会引起其数字特征的变化．变化规律总结为：
若数据由 ,则平均值由 方差由 ，标准差由．
7．【解析】
】
8．【解析】
9．【解析】10．【解析】 必须满足，
项的系数选B．
11．【解析】由三视图知对应的几何体是底面半径为、高为的圆锥与底面为直角边长为等腰直角三角形，侧棱垂直底面，高为的三棱锥组成的组合体，圆锥的底面半径为，母线长为，其表面积为+++=，解得=2，所以圆锥的底面半径为6，母线长为10，所以该几何体的体积为 =，故选A．
12．【解析】由题意，函数与函数有4个不同的交点，即方程有4个解，设，显然函数
为偶函数，且，函数有四个零点等价于函数在内有2个零点．
显然当时，．
（1）当时，函数在上单调递增，最多只有一个零点，显然不满足题意；
（2）当时，．
由得；由得．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以函数．
又当时，；当时，，
由函数在区间上有两个零点可得，即，解之得．故选D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．6 14． 15． 16．
13．【解析】
设则为奇函数，所以
14．【解析】对双曲线来说,,
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，数列的公式为，
由．
得，解得．
∴．………6分
（Ⅱ）由得，
则为奇数，，
为偶数，．
∴
………12分
18．
解析：（Ⅰ）
,又…………4分
．………5分
（Ⅱ）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，,
设（），则，
，，，．．．．．．．6分
取 则，∴为面的法向量
设为面的法向量，则，
即，取，，，则，．．．．．．．．．．．．．． 8分
依题意，，则 ．．．．．．．．．．．．．．．9分
于是，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
设直线与平面所成角为，则，
,则直线与平面所成角的余弦值为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
故可以购买豆浆机。
20．解：(Ⅰ)联立
消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
依题意应有Δ＝64＋32b＞0，解得b＞－2．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8b，
设圆心Q(x0，y0)，
则应有x0＝，y0＝＝－4．
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆的半径为r＝|y0|＝4，
又|AB|＝＝＝＝．
所以|AB|＝2r＝＝8，
解得b＝－．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝，
所以圆心为．
故所求圆的方程为2＋(y＋4)2＝16． ……5分
(Ⅱ)因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，
又l与抛物线交于两点，由(1)知b＞－2，
所以－2＜b＜0，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
直线l：y＝－x＋b整理得x＋2y－2b＝0，点O到直线l的距离d＝＝，
所以S△AOB＝|AB|d＝－4b＝4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
令g(b)＝b3＋2b2，－2＜b＜0，g′(b)＝3b2＋4b＝3b，
b
－
g′(b)
＋
0
－
g(b)
极大值
由上表可得g(b)的最大值为g＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
故S△AOB≤4× ＝．
所以当b＝－时，△AOB的面积取得最大值．……12分
21．解: （Ⅰ）函数的定义域为,
．………………1分
①当时，，
1
+
0
-
极大值
的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………2分
②当时，令，得或 显然
1
-
0
+
0
-
极小值
极大值
的单调递增区间为，单调递减区间为，；……3分
③当时，令，得或
(i)当时,时恒成立, 上单调递增; …………4分
（ⅱ）当时,
1
+
0
-
0
+
极小值
极大值
的单调递增区间为，单调递减区间为；………5分
（ⅲ）当时，
1
-+
0
-
0
+
极小值
极大值
的单调递增区间为，单调递减区间为………6分
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；
当时, 上单调递增；
当时,的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为．………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值………8分
等价于
，，令得，所以， 所以先增后减，在处取最大值0，所以．………10分
所以 进而,所以
即,………11分
又所以函数在不存在零点． …………12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
【解析】
（Ⅰ）根据题意，的普通方程为
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分
的普通方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分
（Ⅱ）的普通方程为，联立与，得，得，所以点P坐标(1,4)
点P到 的距离 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
设,．将代入得
则 ，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分
23解：（Ⅰ）
(2)