2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年宁夏青铜峡市高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知i是虚数单位，复数 （　　　　）‎ A．i﹣2 B．i+2 C．﹣2 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.‎ ‎【详解】‎ 因为“”不能推出“”；‎ ‎“”能推出“”，‎ 所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎3．抛物线的准线方程为（ 　 ）‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：∵抛物线的标准方程为，‎ ‎∴其焦点在y轴上且，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的准线方程为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．‎ ‎4．已知命题是无理数;命题 ,则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对命题p和命题q的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】‎ 是无理数，故命题p是真命题，是假命题；，故命题q是假命题，是真命题，所以是真命题.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的真假性判断，属于基础题.‎ ‎5．已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆定义得，因为，所以 因为是的中点，所以=4，选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ ‎6．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ ‎，故，即，故渐近线方程为.‎ ‎【考点】‎ 本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎7．已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于( )‎ A．45 B．60 C．35 D．50‎ ‎【答案】A ‎【解析】由等比数列的性质，可知，，，也构成等比数列，再由等比数列求和公式计算．‎ ‎【详解】‎ 解：∵数列是等比数列，‎ ‎∴，，，也构成等比数列，‎ 又，，‎ ‎∴该数列的公比，且项数为4，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的性质与求和，熟记等比数列的有关性质可简化计算，属于基础题．‎ ‎8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么　　‎ A．6 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．‎ ‎【详解】‎ 抛物线中，，∴，　故选B．‎ ‎【点睛】‎ 是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．‎ ‎9．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.‎ ‎【详解】‎ 连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线 所成的角，而三角形为等边三角形，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎10．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )‎ A． B．84 C．3 D．21‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解。‎ ‎【详解】‎ 依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：‎ 由椭圆方程可得：，‎ 由椭圆定义可得：…（1），‎ 由双曲线方程可得：，，‎ 由双曲线定义可得：…（2）‎ 联立方程（1）（2），解得：，‎ 所以 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题。‎ ‎11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )‎ A．121 B．123 C．231 D．211‎ ‎【答案】B ‎【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．‎ ‎【详解】‎ 解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，‎ 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项；‎ 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，‎ 第十项为123，即，‎ 故答案为：123．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列中的规律问题，要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．‎ ‎12．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么的值为( )‎ A．21 B．76 C．264 D．642‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知各项的值，再求和即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意有，，‎ 两个数都是1，‎ 到四个数都是2，‎ 到八个数都是3，‎ 到十六个数都是4，‎ 到三十二个数都是5，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算，正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．已知 的三个顶点为 ， ，，则边上的中线长为 ． ‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：线段中点的坐标为，因此边上的中线长 ‎【考点】空间中两点间的距离公式；‎ ‎14．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则_________ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】根据双曲线的几何性质求得实轴长、虚轴长，列出方程，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意有，实轴长为2，虚轴长为，‎ ‎∴，得，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎15．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是 ‎ ‎【答案】(—, )‎ ‎【解析】略 ‎16．已知数列中，，则数列通项公式为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为 ‎ ‎【考点】构造法求数列通项公式 三、解答题 ‎17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ ‎【答案】（1）an＝2n－9（2）Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16，最小值为－16‎ ‎【解析】(1)由等差数列通项公式可得：；‎ ‎(2)由等差数列前项和公式可得：，再结合二次函数求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)设的公差为d，由题意得由 得， ‎ 所以的通项公式为； ‎ ‎ (2)由(1)得， ‎ 所以当时，取得最小值，最小值为－16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列通项公式及前项和，属基础题.‎ ‎18．（1）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．‎ ‎【答案】(1)(2) ‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组，解出即可；‎ ‎（2）根据双曲线的几何性质列出方程组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，该椭圆的焦点在x轴，设椭圆的标准方程为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴该椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴该双曲线的方程为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质的应用，是对圆锥曲线基础知识的考查，属于基础题．‎ ‎19．在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角C的大小 ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式可得值，结合范围 ‎，即可得解的值．‎ ‎（Ⅱ）利用正弦定理及面积公式可得，再利用余弦定理化简可得值，联立得从而解得周长．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理，得 ‎，‎ 在中，因为，所以 故， ‎ 又因为0＜C＜，所以． ‎ ‎（Ⅱ）由已知，得.‎ 又，所以. ‎ 由已知及余弦定理，得， ‎ 所以，从而.即 ‎ 又，所以的周长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎⑴在直三棱柱中，‎ ‎ 平面，且 矩形是正方形， ‎ 为的中点， ‎ 又为的中点， ， ‎ 又平面， 平面， ‎ 平面 ‎ ‎⑵在直三棱柱中，‎ ‎ 平面, 平面, ‎ 又， 平面， 平面， ，‎ 平面， ‎ 平面， ‎ 矩形是正方形， ，‎ 平面， ， 平面 又平面， .‎ 点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.‎ ‎21．如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点. ‎ ‎（1）求证：平面 平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）先证，，从而平面，再由面面垂直的判定定理得到平面平面．‎ ‎（2）作平面，以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由是圆的直径，得，‎ 由平面，平面，得，‎ 又，平面，平面，‎ 平面，‎ 平面，‎ 平面平面. ‎ ‎（2）如图，作平面，以点为坐标原点，分别以直线，，为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ‎ 在中，，，. ‎ 又，，，. ‎ 故，. ‎ 设平面的法向量为，则 令，则.‎ ‎，设直线与平面所成角为，‎ ‎.‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值，考查推理论证能力和运算求解能力，求解时要注意充分发挥空间想象能力，将定判定定理和性质定理的条件写完整．‎ ‎22．设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。‎ ‎（Ⅰ）求 ‎（Ⅱ）若直线的斜率为1，求b的值。‎ ‎【答案】（1）（2）,‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 消去y，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.‎ 则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎