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- 2021-06-23 发布
2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第十一章 统计，统计案例
第04节 统计案例
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
统计案例
(1) 会作两个有关联变量
的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系.
(2) 了解最小二乘法的思
想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
2017课标Ⅱ,理18
2016课标Ⅲ,理18
2015课标I,理19
2014课标Ⅱ,理19
1.主要考查独立性检验与其他知识的综合，联系实际.
【知识清单】
一．独立性检验
1.分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2.列联表
列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
构造一个随机变量，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3.独立性检验
利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．
4.独立性检验的步骤
①计算随机变量的观测值k，查表确定临界值k0：
P(≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
②如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．
对点练习：
通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由，计算得
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】
【考点深度剖析】
1．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法以及其简单应用．
2．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
【重点难点突破】
考点1独立性检验
【1-1】【2016北京理16】三个班共有名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；
班
6 6.5 7 7.5 8
班
6 7 8 9 10 11 12
班
3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（1）试估计班的学生人数；
（2） 从班和班抽出的学生中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是，，（单位：小时），这个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）.
【答案】（1）40（2）（Ⅲ）
【解析】
（1）由题中的表可知，在班，班，班中被调查的人数分别是5，7，8，再由分层抽样的方法可知，班的学生人数估计值是.
（3）.因为表格中三组数据的平均数分别为，，，所以总的的平均值，. 新加的三个数据，，，平均值为，比小，所以拉低了平均值，即.
【1-2】【2017届广西南宁二中等高三8月联考数学】某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下列联表：
偏爱蔬菜
偏爱肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）
A．90% B．95% C．99% D．99．9%
附：参考公式和临界值表
0．050
0．010
0．001
3．841
6．635
10．828
【答案】C
【领悟技法】
1. 独立性检验的步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式，计算的观测值；
(3)比较与临界值的大小关系作统计推断．
2. 独立性检验得出的结论带有概率性质，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值，3.841和6.635就是两个常用的临界值，一般认为当≥3.841时，则有95%的把握说事件A与B有关；当≥6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关．
【触类旁通】
【变式一】【黑龙江省海林市朝鲜中学2018届高三高考综合卷】某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如表列联表：
理科
文科
合计
男
13
10
23
女
7
20
27
合计
20
30
50
根据表中数据得到，已知，
．现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，而，这种判断出错的可能性约为 ，选D.
【变式二】【黑龙江省齐齐哈尔市2017届高三上学期第一次模拟考试数学（理）】2016年6月22 日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9: 11.
（1）根据已知条件完成下面的列联表,并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”；
（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“国际教育信息化大会”的人数为，求的分布列及数学期望.
附:参考公式，其中.
临界值表：
【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.
（2）分布列见解析，
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据统计数据，可得2×2列联表，根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；
（Ⅱ）ξ的可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列及数学期望．
试题解析：
解：（1）依题意可知，抽取的“青少年”共有人，“中老年”共有人.
完成的列联表如下：
则 ，
因为,所以有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”.
三、易错试题常警惕
易错典例：为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计
男生
5
女生
10
合计
50
已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．下面的临界值表供参考：
(参考公式：，其中)
易错分析：解答此类问题，主要有两类错误，一是不能正确理解临界值表；二是因计算繁琐，出现错误．
温馨提醒：(1)独立性检验是近几年考查渐多的知识点之一，学习中应重视，不能因高考题难度不大而“轻敌”．(2)摆脱对计算器的依赖，多做一些计算训练，提高计算能力.