- 974.50 KB
- 2021-06-23 发布
铁人中学2017级高二学年下学期开学考试
数学（文）试题
试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题分，共分）
1．已知条件p：，条件q：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 命题“存在实数，”的否定为（ ）
A．存在实数， B．对所有的实数，
C．不存在实数， D．对所有的实数，
3．从个红球、个白球中随机取出个球，则取出的个球不全是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．阅读下面的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为（ ）
A. B.
C. D.
5. 用秦九韶算法计算多项式，当时，的值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知一个进制的数与十进制的数相等，那么=（ ）
A．或 B． C． D．都不对
7.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点，已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为（ ）
A. B． C. D．
9.现有名工人某天生产同一零件，生产的件数是，，，，，，，，，，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
A. B． C. D．
10.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷个点，已知恰有个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
11.如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）
A. B.
C. D.
12. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为（），（），若椭圆上存在点，使成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题部分
二、 填空题（每小题分，共分）
13. 与的最大公约数为 ．
14.设中心在原点的椭圆与双曲线有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是__________.
15. 已知双曲线:（，）的左右顶点分别为，，点是双曲线上与，，不重合的动点，若，求双曲线的离心率 ________．
16. 给出下列个命题：
①函数的图像关于对称 .
②命题，都是假命题，则命题“”为真命题.
③在空间中，，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，如果，
，，那么.
④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题（共小题，共70分）
17. (本小题满分10分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27、9、18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为、、、、、.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设为事件“编号为和的两名运动员中至少有人被抽到”，求事件发生的概率．
18. (本小题满分分)我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 (吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由；
(3)若该市政府希望使％的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由．
19. (本小题满分分)如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题（此数学题满分为分）的得分情况．乙组某个数据的个位数模糊，记为，已知甲、乙两组的平均成绩相同．
(1)求的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学，
求这两名同学的得分之和低于分的概率．
20. (本小题满分分)已知直线交抛物线于，两点，且的中点的横坐标为.求弦的长．
21. (本小题满分分)假设关于某设备的使用年限 (年)和所支出的年平均维修费用 (万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料:
(1)求回归方程.
(2)估计使用年限为年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式：
；.
22. (本小题满分分)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆，离心率，是经过抛物线的焦点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若过点的直线(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点，（在，之间），试求与面积之比的取值范围.
铁人中学2017级高二学年下学期开学考试
数学（文）试题（答案）
第Ⅰ卷 选择题、填空题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题分，共分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
C
B
C
C
A
B
D
C
A
B
二、 填空题（每小题分，共分）
13、 ． 14、 ．
15、 ． 16、 ①④________.
1．答案：B
2. 答案：D
解析：命题“存在实数，”为特称命题，其否定为全称命题，注意否定量词的同时否定结论．故选D.
3．答案：C
4. 答案：B
5. 答案：C
6. 答案：C
解析：，所以，即，解得或（舍去）.
7. 答案：A
解析：的方程为，原点到直线的距离，
整理得，所以或.所以或.
因为，所以（舍去）.故，故选A.
8. 答案：B
9. 答案：D
解析：总和为，；样本数据分布最广，即频率最大，为众数，；中位数为.
10. 答案：C
11. 答案: A
解析:由图形可知，与有公共的顶点，且，，，三点共线，易知与的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点，作准线，则的方程为
.因为点，在抛物线上，过，分别作，与准线垂直，垂足分别为点，，且与轴分别交于点，.由抛物线定义，得，
.在中，，所以.
12. 答案：B
解析：由正弦定理及，得.
在中，设，则，则，即，
得.又，所以.
由，得，显然恒成立；
由，得，即，解得或（舍去）.又，所以的取值范围是，故选B.
13.答案：
14.答案：
解析：设椭圆方程为，焦点为，．双曲线的焦点为，，，所以椭圆的离心率为，据题意得，所以，而，所以.椭圆方程为.
15.答案：
16.答案：①④
第Ⅱ卷 解答题部分
17. (本小题满分分)
答案：（1）甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、、，则共有人，分层抽样的方法从这三个协会中抽取名运动员，则抽样比为，则人、人、人，
所以应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3、1、2.
（2）①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
18. (本小题满分分)
答案：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5＝0.04，
同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2,5.3)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02.由0.04＋0.08＋0.5×＋0.20＋0.26＋0.5×＋0.06＋0.04＋0.02＝1，
解得＝0. 30.
(2)由(1)可知，位居民每人月均用水量不低于吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.
由以上样本的频率，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
300 000×0.12＝36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85，
而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85，
所以.
由，解得.
所以，估计月用水量标准为吨时，％的居民每月的用水量不超过标准．
19. 答案：（1），，所以，
又，
，
所以，所以甲组成绩比乙组稳定．
（2）记甲组名同学为：，，，；乙组名同学为：，，，.分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为：(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，
)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，共种，其中得分之和低于分的共种，所以得分之和低于分的概率.
20.答案：设，两点的坐标分别为，，的中点的坐标为．
将代入中，得方程，
当，即且时，方程有两实根，.
根据韦达定理知.又，故，解得或（舍）
从而.
21. 答案：(1)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,两变量呈线性相关关系.
，；
，，，，
所以，
可求回归方程是
(2)由(1)知,当时, (万元).
故估计使用年限为年时所支出的年平均维修费用是万元.
22. 答案：（1）设椭圆方程为（），则①
因为抛物线的焦点为，所以 ②
由①②解得，.所以椭圆的标准方程为.
(2)如下图所示，由题意知直线的斜率存在且不为零，
设的方程为
（）③
将③代入，整理得.
由得.设，，则 ④
令，则.
由此得，，且.由④得，
，
所以，即.因为，所以
解得.又因为，所以.
所以和面积之比的取值范围是（，）.