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- 2021-06-23 发布
2.1 比较法
预习案
一、预习目标及范围
1．理解比较法证明不等式的依据．
2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．
3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．
二、预习要点
教材整理1 作差比较法
1．理论依据：①a＞b⇔ ；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔ .
2．定义：要证明a＞b，转化为证明 ，这种方法称为作差比较法．
3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．
教材整理2 作商比较法
1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔ ；②a＜b⇔＜1；③a＝b⇔＝1.
2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明 ，这种方法称为作商比较法．
3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．
三、预习检测
1.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则( )
A．ω＞u B．ω＜u C．ω≥u D.无法确定
2.下列命题：
①当b＞0时，a＞b⇔＞1；②当b＞0时，a＜b⇔＜1；
③当a＞0，b＞0时，＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，＞1⇔a＞b.
其中真命题是( )
A．①②③ B．①②④ C．④ D.①②③④
3．设a＞b＞0，x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是x________y.
探究案
一、合作探究
题型一、作商比较法证明不等式
例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab).
【精彩点拨】→→→
[再练一题]
1．已知m，n∈R＋，求证：≥.
题型二、比较法的实际应用
例2 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．
[再练一题]
2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？
题型三、作差比较法
例3已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.
【精彩点拨】 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．
[再练一题]
3．已知a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2.
二、随堂检测
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( )
A．t＞s B．t≥s C．t＜s D.t≤s
2．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D.大小不确定
3．设a，b，m均为正数，且＜，则a与b的大小关系是________．
参考答案
预习检测：
1.【解析】 ∵ω－u＝x2－xy＋y2＝＋≥0，∴ω≥u.
【答案】 C
2.【解析】 由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，＞1与a＞b不等价，④错．
【答案】 A
3.【解析】 ∵＝＝＜＝1，且x＞0，y＞0，
∴x＜y.
【答案】 ＜
随堂检测：
1.【解析】 s－t＝(a＋b2＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，
∴s≥t.
【答案】 D
2.【解析】 P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝loga.
当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，
∴loga＞0，即P－Q＞0，∴P＞Q.
综上总有P＞Q，故选A.
【答案】 A
3. 【解析】 －＝＞0.
又a，b，m为正数，
∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.
即a＞b.
【答案】 a＞b