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- 2021-06-23 发布
耀华中学2019-2020学年上学期高二期中考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
2. 已知数列{an}是等差数列，若a1=2，a4=2a3，则公差d=（ ）
A. 0 B. 2 C. D.
3. 若b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为，且满足S3=S15，则Sn的最大项为（ ）
A. B. C. D.
5. 数列{an}满足a1=2，an+1=，则a2019=（ ）
A. B. C. D. 2
6. 若不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），则不等式bx2+ax+c＜0的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如果关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
1. 设常数a＞0，若对一切正实数x成立，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 数列{an}满足an=，则数列{}的前n项和为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a＞0，b＞0，且满足a+b=1，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 4 D.
4. 已知数列{an}满足{an}=，若对于任意的n∈N*都有an＞an+1，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
二、填空题（本大题共6小题）
6. 等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若，则a=______．
7. 已知p：|x-a|＜4，q：-x2+5x-6＞0，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为______．
8. 设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=______，S5=______．
9. 等比数列{an}中，如果a3•a4•a6•a7=81，则a1•a9的值为______．
10. 已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．
11. 下列命题中：
①若a2+b2=2，则a+b的最大值为2；②当a＞0，b＞0时，；
③函数的最小值为2； ④当且仅当a，b均为正数时，恒成立．
其中是真命题的是______．（填上所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共2小题）
12. 已知{an}为各项均为正数的等比数列，a1=1，a5=256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=2，5S5=2S8．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Tn=a1b1+a2b2+…anbn，求Tn．
1.
已知函数f（x）=x2+ax-b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，解关于x的不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若正数a，b满足，且对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a，b的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，
∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．
故选：C．
根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2.【答案】D
【解析】解：∵数列{an}是等差数列，若a1=2，∵a4=2+3d=2a3=4+4d，
则公差d=-2，
故选：D．
由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d的值．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：b≠0，则“a，b，c成等比数列”⇔．
因此b≠0，则“a，b，c成等比数列”是“b=”的必要不充分条件．
故选：B．
b≠0，可得“a，b，c成等比数列”⇔．即可判断出结论．
本题考查了等比数列的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，且满足S3=S15，
∴a4+a5+…+a15=0，
由等差数列的性质可知，a9+a10=0，
∵首项a1＞0，公差d≠0，
∴d＜0，
∴a9＞0，a10＜0，
则Sn的最大项为S9．
故选：C．
由已知结合等差数列的求和公式可得，a4+a5+…+a15=0，由等差数列的性质可知，a9+a10=0，结合已知可得a10＜0，a9＞0，即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
5.【答案】C
【解析】解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=，
∴a2=-3，a3=，a4=，a5=2，
故数列{an}以4为周期呈现周期性变化，
由2019÷4=504……3，
故a2019=a3=，
故选：C．
根据已知分析数列的周期性，可得答案．
本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档．
6.【答案】D
【解析】解：不等式ax2-bx+c＞0的解集是（-2，3），
所以方程ax2-bx+c=0的解是-2和3，且a＜0；
即，
解得b=a，c=-6a；
所以不等式bx2+ax+c＜0化为
ax2+ax-6a＜0，
即x2+x-6＞0，
解得x＜-3或x＞2，
所以所求不等式的解集是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故选：D．
根据不等式ax2-bx+c＞0的解集求出a、b和c的关系，
代入不等式bx2+ax+c＜0中化简，即可求出该不等式的解集．
本题考查了一元二次不等式的解法与对应一元二次方程的关系问题，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：关于x的不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对一切实数x恒成立，
当a=2时，对于一切实数x，不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0恒成立；
当a≠2时，要使对于一切实数x，不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0恒成立，
则，解得：-2＜a＜2．
综上，实数a的取值范围是（-2，2]．
故选：C．
分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，借助于二次函数的开口方向和判别式列不等式组求解．
本题考查函数恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了不等式恒成立和系数之间的关系，是中档题．
8.【答案】A
【解析】解：因为：x＞0，a＞0，
所以：9x+≥2=6a．
∴原不等式9x+≥a+1恒成立，即可转换为6a≥a+1，解得a≥．
所以a的取值范围为：[，+∞）．
故选：A．
先利用基本不等式求出的范围，再解关于a的不等式即可．
本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于常见题型，是基础题目．
9.【答案】B
【解析】解：an==（n+1），
==4（-），
可得数列{}的前n项和为4（-+-+…+-）
=4（-）=．
故选：B．
由等差数列的求和公式可得an，求得==4（-），再由数列的裂项相消求和可得所求和．
本题考查等差数列的求和公式，数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】解：因为a＞0，b＞0，且a+b=1，
所以≥9，
当且仅当时，等号成立．
故选：B．
，利用基本不等式可求得最值，注意等号成立的条件．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：∵对于任意的n∈N*都有an＞an+1，∴数列{an}单调递减，可知0＜a＜1．
①当时，n＞8，单调递减，而（n≤8）单调递减，
∴×9+2＜a8-7，解得a，因此＜a＜1．
②当时，n＞8，单调递增，应舍去．
综上可知：实数a的取值范围是＜a＜1．
故选：D．
对于任意的n∈N*都有an＞an+1，可知：数列{an}单调递减，可得0＜a＜1．再分类讨论即可得出．
熟练掌握一次函数和指数函数的单调性是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，
即z=x2-3xy+4y2，
所以，当且仅当x=2y时，取等号
所以的最大值为1，且x=2y，此时z=xy=2y2，
=，
令t=，则=3t-t2=-（t-）2+，
故选：C．
先求出取得最大值为1，得到x，y，z的关系，代入所求式子，得到关于y的函数求解即可．
考查了均值不等式的应用，一元二次函数求最值，换元法等，中档题．
13.【答案】-3
【解析】解：∵等比数列{an}中，Sn为其前n项和，，
∴a1=S1=6+a，
a2=S2-S1=12-6=6，
a3=S3-S2=24-12=12，
∵a1，a2，a3是等比数列，
∴=a1a3，∴62=（6+a）•12，
解得a=-3．
故答案为：-3．
先分别求出a1，a2，a3，再由a1，a2，a3是等比数列，能求出a的值．
本题考查实数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[-1，6]
【解析】【分析】
本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，
分别解出p，q对应的x的范围，利用q是p的充分不必要条件，即可得出.
【解答】
解：p：|x-a|＜4，解得a-4＜x＜a+4，
q：-x2+5x-6＞0，解得2＜x＜3.
∵q是p的充分而不必要条件，
∴，解得-1≤a≤6，等号不同时成立.
∴a的取值范围为[-1，6]，
故答案为[-1，6].
15.【答案】1；121
【解析】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，
又S2=4，即a1+a2=4，
即有3a1+1=4，解得a1=1
；
由an+1=Sn+1-Sn，可得
Sn+1=3Sn+1，
由S2=4，可得S3=3×4+1=13，
S4=3×13+1=40，
S5=3×40+1=121．
故答案为：1，121．
运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，an+1=Sn+1-Sn，结合条件，计算即可得到所求和．
本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，an=Sn-Sn-1，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】9
【解析】解：∵等比数列{an}中，a3•a4•a6•a7=81，
∴a3•a4•a6•a7=（a1a9）2=81，
∵，
∴a1a9=9．
故答案为：9．
利用等比数列的通项公式的性质求解．
本题考查等比数列的两项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
17.【答案】
【解析】解：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2[1+2+…+（n-1）]+33=33+n2-n ,
所以 ,
设f（n）=，令f′（n）=，
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为 .
由累加法求出an=33+n2-n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
18.【答案】①②
【解析】解：①a2+b2=2，设a=cosα，b=sinα，则a+b=（sinα+cosα）=2sin（α+）≤2，所以①正确；
②当a＞0，b＞0时，+2≥+2≥2=4，当且仅当a=b=1时等号成立，所以②正确；
③函数==+≥2=2，当且仅当x2+4=1，即x2=-3＜0时等号成立，故③不正确；
④当且仅当a，b同号时，＞0，，+≥2=2恒成立，所以a、b可以同时为负，故④不正确；
故答案为：①②
①a2+b2=2，设a=cosα，b=sinα，进而利用三角函数求解；
②③④均可利用基本不等式求解；
考查基本不等式的“一正，二定，三相等”，及三角函数在求最值时的应用，属于中档题；
19.【答案】解：（1）设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=±4，因为各项均为正数，所以q=4，所以an=4n-1．
设{bn}的公差为d，由5S5=2S8得5（5b1+10d）=2（8b1+28d），，
所以bn=b1+（n-1）d=3n-1．
（2）Tn=1•2+4•5+42•8++4n-1（3n-1），①
4Tn=4•2+42•5+43•8++4n（3n-1），②
②-①得：3Tn=-2-3（4+42++4n-1）+4n（3n-1）
=-2+4（1-4n-1）+4n（3n-1）
=2+（3n-2）•4n
∴Tn=（n-）4n+
【解析】（1）直接利用a1=1，a5=256求出公比即可求出{an}的通项公式；把5S5=2S8转化为用首项和公差来写求出公差即可求{bn}的通项公式；
（2）直接利用（1）的结论对数列{an•bn}用错位相减法求和即可求Tn．
本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
20.【答案】解：（Ⅰ）当b=2a2-3a+1时，不等式f（x）≤0，
即[x-（1-2a）][x-（a-1）]≤0．
∴①当时，不等式的解集为[a-1，1-2a]；
②当时，不等式的解集为；
③当时，不等式的解集为[1-2a，a-1]．
（Ⅱ）由f（x）≥0对于任意x∈[1，+∞）恒成立，可得b≤a+1．
∴≥=≥，
当且仅当，即a=1时取等号，
又∵，∴=3且a=1，∴b=2．
∴a，b的值分别为1，2．
【解析】（Ⅰ）由条件可得[x-（1-2a）][x-（a-1）]≤0，然后分a＜，a=和a＞三种情况解出不等式即可；
（Ⅱ）根据条件利用基本不等式可得≥3，又，从而得到=3且a=1，进一步求出b的值．
本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．